《勾股定理》拓展练习(含解析).doc

1、16 勾股定理拓展练习 (含解析)一、选择题（共 3 小题，每小题 4 分，满分 12 分）1 （4 分） （1999 广西）如图，在四边形 ABCD 中，A=60 ，B=D=90，BC=2 ，CD=3，则 AB=（ ）A4 B 5 C 2 D2 （4 分）若三角形中的一条边是另一条边的 2 倍，且有一个角为 30，则这个三角形是（ ）A直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D以上都不对3 （4 分）如图，过ABC 的顶点 A 的直线 DEBC， ABC、ACB 的平分线分别交 DE 于 E、D 两点，若AB=6，AC=8，则 DE=（ ）A10 B 14 C 16 D24二、填空题（共

2、 7 小题，每小题 5 分，满分 35 分）4 （5 分）如图，P 为 ABC 边 BC 上的一点，且 PC=2PB，已知 ABC=45，APC=60 ，则ACB 的度数是 _ 5 （5 分） （1997 陕西）如图，在四边形 ABCD 中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且ABC=90，则DAB 的度数是 _ 6 （5 分）如图，四边形 ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm，CD=24cm，DA=26cm，且ABC=90，则四边形 ABCD的面积是 _ cm 27 （5 分）如图，P 是长方形 ABCD 内一点，已知 PA=3，PB=4 ，PC=5，那么 PD2 等于 _ 8

3、（5 分）如图，长方形纸片 ABCD 中，AB=3cm ，BC=4cm，现将 A、C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为 EF，则 SAEF= _ cm 29 （5 分）如图，已知A=B ，AA 1，BB 1，PP 1 均垂直于 A1B1，AA 1=17，PP 1=16，BB 1=20，A 1B1=12，则AP+PB= _ 10 （5 分）如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是 3，那么另一条直角边的长是 _ 三、解答题（共 4 小题，满分 53 分）11 （12 分）如图，在ABC 中，BAC=90，AB=AC，D 是 BC 上的点求证：BD 2+CD2=2AD212

4、 （13 分）如图：在ABC 中，AB=BC=AC，AE=CD，AD 与 BE 相交于点 P，BQAD 于 Q求证：ADCBEA；BP=2PQ13 （14 分）如图，在等腰直角ABC 的斜边上取异于 B，C 的两点 E，F，使EAF=45 ，求证：以 EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形14 （14 分）如图，在 RtABC 中， A=90，D 为斜边 BC 中点，DEDF，求证：EF 2=BE2+CF2第 1 章 勾股定理2010 年拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（共 3 小题，每小题 4 分，满分 12 分）1 （4 分） （1999 广西）如图，在四边形 ABCD 中，A=60

5、 ，B=D=90，BC=2 ，CD=3，则 AB=（ ）A4 B 5 C 2 D考点： 解直角三角形744438 专题： 计算题；压轴题分析： 分析题意构造一个直角三角形，然后利用勾股定理解答即可解答： 解：如图，延长 AD，BC 交于点 E，则E=30 在CED 中，CE=2CD=6（30锐角所对直角边等于斜边一半） ，BE=BC+CE=8，在AEB 中，AE=2AB （30 锐角所对直角边等于斜边一半）AB2+BE2=AE2，即 AB2+64=（2AB） 2，3AB 2=64，解得：AB= 故选 D点评： 本题通过作辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形的知识进行计算2 （4 分）若三角

6、形中的一条边是另一条边的 2 倍，且有一个角为 30，则这个三角形是（ ）A直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D以上都不对考点： 三角形744438 分析： 如图，分 AB 是 30角所对的边 AC 的 2 倍和 AB 是 30角相邻的边 AC 的 2 倍两种情况求解解答： 解：如图：（1）当 AB 是 30角所对的边 AC 的 2 倍时，ABC 是直角三角形；（2）当 AB 是 30角相邻的边 AC 的 2 倍时，ABC 是钝角三角形所以三角形的形状不能确定故选 D点评： 解答本题关键在于已知 30的角与边的关系不明确，需要讨论求解，所以三角形的形状不能确定3 （4 分）如图，过A

7、BC 的顶点 A 的直线 DEBC， ABC、ACB 的平分线分别交 DE 于 E、D 两点，若AB=6，AC=8，则 DE=（ ）A10 B 14 C 16 D24考点： 勾股定理；平行四边形的性质744438 分析： BE 为ABC 的角平分线，EBC=ABE，CD 为ACB 的角平分线，则 ACD=DCB，因为 BCDE，根据平行线的性质，内错角相等，可得出 AD=AC，AB=AE，所以 DE=AD+AE=AB+AC，从而可求出 DE 的长度解答： 解：由分析得：EBC= ABE，ACD=DCB ；根据平行线的性质得：DCB=CDE， EBC=BED；所以ADC=ACD， ABE=AEB

8、，则 AD=AC，AB=AE；所以 DE=AD+AE=AB+AC=6+8=14；故选 B点评： 本题考点：平行四边形的性质两直线平行，则内错角相等然后根据角度相等可得出ADC 和 ABE 为等腰三角形所以 DE 的长度等于 AB 和 AC 的和二、填空题（共 7 小题，每小题 5 分，满分 35 分）4 （5 分）如图，P 为 ABC 边 BC 上的一点，且 PC=2PB，已知 ABC=45，APC=60 ，则ACB 的度数是 75 考点： 三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理744438 专题： 计算题分析： 根据三角形内角和定理求出DCP=30，求证 PB=

9、PD；再根据三角形外角性质求证 BD=AD，再利用BPD是等腰三角形，然后可得 AD=DC，ACD=45从而求出ACB 的度数解答：解：过 C 作 AP 的垂线 CD，垂足为点 D连接 BD；PCD 中，APC=60，DCP=30，PC=2PD，PC=2PB，BP=PD，BPD 是等腰三角形，BDP= DBP=30，ABP=45，ABD=15，BAP=APCABC=6045=15，ABD=BAD=15，BD=AD，DBP=4515=30，DCP=30，BD=DC，BDC 是等腰三角形，BD=AD，AD=DC，CDA=90，ACD=45，ACB=DCP+ACD=75，故答案为：75点评： 此题主

10、要考查学生三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，综合性较强，有一定的拔高难度，属于难题5 （5 分） （1997 陕西）如图，在四边形 ABCD 中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且ABC=90，则DAB 的度数是 135 考点： 勾股定理的逆定理744438 分析： 由已知可得 AB=BC，从而可求得BAC 的度数，再根据已知可求得 AC：CD：DA=2 ：3：1，从而发现其符合勾股定理的逆定理，即可得到ADC=90，从而不难求得DAB 的度数解答： 解： AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且ABC=90，AB=BC，BAC=ACB=4

11、5，AB：BC：AC=2 ：2：2 =1：1： ，AC：CD：DA=2 ：3：1，AC2+AD2=CD2DAC=90，DAB=45+90=135点评： 此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解及运用能力6 （5 分）如图，四边形 ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm，CD=24cm，DA=26cm，且ABC=90，则四边形 ABCD的面积是 144 cm 2考点： 勾股定理的逆定理；勾股定理744438 分析： 连接 AC，根据勾股定理可求得 AC 的长，再根据勾股定理的逆定理得，ADC 也是直角三角形，分别求得两个三角形的面积即可得到四边形 ABCD 的面积解答： 解：连接 ACAB=

12、6cm，BC=8cm，ABC=90 AC=10cmCD=24cm，DA=26cmAC2+CD2=AD2ACD=90SABC= 68=24cm2SACD= 1024=120cm2四边形 ABCD 的面积=24+120=144cm 2点评： 此题主要考查学生对勾股定理逆定理及三角形面积的理解及运用能力7 （5 分）如图，P 是长方形 ABCD 内一点，已知 PA=3，PB=4 ，PC=5，那么 PD2 等于 18 考点： 勾股定理744438 分析： 可过 P 作 AD、AB 的平行线，将矩形 ABCD 分割成四个小矩形，然后根据勾股定理求出PA、PB、PC、PD 四条线段的长度的数量关系，然后再

13、代值计算解答： 解：如图，过 P 作 AD、AB 的平行线，原矩形被分成四个小矩形；由勾股定理得：PA2=a2+b2，PC 2=c2+d2；PB2=b2+c2，PD 2=a2+d2；因此：PA 2+PC2=PB2+PD2，即：3 2+52=42+PD2，解得，PD 2=18点评： 此题考查了矩形的性质和勾股定理的应用，正确地得到 PA、PB 、PC、PD 四条线段之间的数量关系至关重要8 （5 分）如图，长方形纸片 ABCD 中，AB=3cm ，BC=4cm，现将 A、C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为 EF，则 SAEF= cm 2考点： 翻折变换（折叠问题） 744438 分析： 由翻折的

14、性质知 DF=DF，CE=AE，且 CE=BCBE，故由勾股定理求得 BE 的长，再证得 ABEADF，有 AF=ADFD，则 SAEF= AFAB解答： 解：由题意知，DF=DF，CE=AE，在 RtABE 中，AB 2+BE2=AE2，AB2+BE2=（BC BE） 2，即 32+BE2=（4 BE） 2，解得：BE= ，DAF+EAF=EAF+BAE=90，DAF=BAE又D= B=90，AD =CD=ABDAFBAEFD=DF=BE=AF=ADFD=4 =SAEF= AFAB= 3= 故本题答案为： 点评： 本题考查了翻折的性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理9 （5 分）如图，已知

15、A=B ，AA 1，BB 1，PP 1 均垂直于 A1B1，AA 1=17，PP 1=16，BB 1=20，A 1B1=12，则AP+PB= 13 考点： 勾股定理744438 分析： 过 P 做 A1B1 平行线，得到两个直角三角形，利用勾股定理解出 AP 和 BP 的长，再计算 AP+PB解答： 解：方法一：如图：AD=AA1A1D=1716=1；BC=B1BB1C=2016=4；又A= BtanA=tanBCP=4DPCP= ，DP= AP= ，BP= = 故 AP+PB= =13方法二：过 p 点作 A1B1 平行线，分别交 AA1 于 D 点，交 BB1 于 F 点，延长 BP 交

16、AA1 于 c 点，过 C 点作 CG 垂直于 BB1 于 G 点AA1， BB1 分别垂直于 A1B1AA1BB1 又A= B，A=ACP，三角形 ACP 为等腰三角形，AP=CPAP+BP=CP+PB=CBFDA1B1，FD 垂直于 AA1，D 为 AC 的中点又 PP1=16，AA 1=17，BB 1=20AD=DC=FG=1，BF=4BG=BF+FG=4+1=5在直角三角形 CGB 中CG=A1B1=12BG=5CB2=CG2+BG2=122+52CB=13=AP+PB点评： 考查了勾股定理和三角函数在直角三角形中的应用10 （5 分）如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一

17、条直角边的长恰是 3，那么另一条直角边的长是 4 考点： 勾股定理744438 分析： 根据勾股定理，两边的平方和等于第三边的平方，设另一条直角边 a，根据勾股定理可以得出斜边为，根据边长的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合边长为整数，进而得出 a的值解答： 解：设另一个直角边为 a，则根据勾股定理可以得出斜边为 ，由三角形的边长关系：3+a ，边长为整数，a=4，即斜边为 5即另一条直角边的长是 4点评： 本题考查了勾股定理的应用，属于比较简单的题目，需要熟练掌握三、解答题（共 4 小题，满分 53 分）11 （12 分）如图，在ABC 中，BAC=90，AB=AC，D 是

18、BC 上的点求证：BD 2+CD2=2AD2考点： 勾股定理744438 专题： 证明题分析： 作 AEBC 于 E，由于BAC=90，AB=AC ，所以 BE=CE，要证明 BD2+CD2=2AD2，只需找出BD、CD、AD 三者之间的关系即可，由勾股定理可得出AD2=AE2+ED2，AE 2=AB2BE2=AC2CE2，ED=BD BE=CECD，代入求出三者之间的关系即可得证解答： 证明：作 AEBC 于 E，如上图所示：由题意得：ED=BD BE=CECD，在 ABC 中， BAC=90，AB=AC，BE=CE= BC，由勾股定理可得：AB2+AC2=BC2，AE2=AB2BE2=AC

19、2CE2，AD2=AE2+ED2，2AD2=2AE2+2ED2=AB2BE2+（BDBE ） 2+AC2CE2+（CECD） 2=AB2+AC2+BD2+CD22BDBE2CDCE=AB2+AC2+BD2+CD22 BCBC=BD2+CD2，即：BD 2+CD2=2AD2点评： 本题主要考查勾股定理，关键在于找出直角三角形利用勾股定理求证，本题主要运用“等量代换” 求出BD、CD、AD 三者之间的关系12 （13 分）如图：在ABC 中，AB=BC=AC，AE=CD，AD 与 BE 相交于点 P，BQAD 于 Q求证：ADCBEA；BP=2PQ考点： 等边三角形的判定与性质744438 专题：

20、 证明题分析： （1）由已知可得ABC 是等边三角形，从而得到BAC=C=60 ，根据 SAS 即可判定 ADCBEA；（2）根据全等三角形的性质可得到ABE= CAD，再根据等角的性质即可求得BPQ=60 ，再根据余角的性质得到PBQ=30 ，根据在直角三角形中 30的角对的边是斜边的一半即可证得结果解答： 证明：（1）AB=BC=AC，ABC 是等边三角形BAC=C=60AB=AC，AE=CD ，ADCBEA（2）ADC BEA，ABE=CADCAD+BAD=60，ABE+BAD=60BPQ=60BQAD，PBQ=30BP=2PQ点评： 此题主要考查学生对等边三角形的性质及全等三角形的判定

21、及性质等知识点的综合运用能力13 （14 分）如图，在等腰直角ABC 的斜边上取异于 B，C 的两点 E，F，使EAF=45 ，求证：以 EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形考点： 勾股定理的逆定理744438 专题： 证明题分析： 由 A 作垂线交 BC 于 H，设BAE=y，设 BH=AH=CH=1，从而用正切函数表示出EH，HF，EF ，BE，CF，再将 x=tany 代入化简，根据勾股定理的逆定理可得到 CF2+BE2=EF2，从而可判定以 EF，BE，CF 为边的三角形是直角三角形解答： 解：由 A 作垂线交 BC 于 H设BAE=y，设 BH=AH=CH=1则EH=tan（45

22、y）=HF=tanyEF=EH+HF= +tanyBE=1EH=CF=1tany令 x=tany，则EF=x+BE=CF=1xCF2+BE2=（1x） 2+（ ） 2=（x+ ） 2=EF2故这三条线段可做成直角三角形点评： 此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的运用能力14 （14 分）如图，在 RtABC 中， A=90，D 为斜边 BC 中点，DEDF，求证：EF 2=BE2+CF2考点： 勾股定理；全等三角形的判定与性质744438 专题： 证明题分析： 延长 ED 到 G，使 DG=DE，连接 EF、FG、CG，由于 DF=DF， EDF=FDG=90，DG=DE ，可得出EDFGDF

23、，所以 EF=FG，同理证出 BE=CG，所以要证明 EF2=BE2+CF2，只需证明 FG2=FC2+CG2 即可解答： 证明：延长 ED 到 G，使 DG=DE，连接 EF、FG、CG，如图所示：DF=DF，EDF= FDG=90，DG=DEEDFGDF（SAS） ，EF=FG又 D 为斜边 BC 中点BD=DC又BDE=CDG，DE=DGBDECDG（SAS）BE=CG，B=BCGABCGGCA=180A=18090=90在 RtFCG 中，由勾股定理得：FG2=CF2+CG2=CF2+BE2EF2=FG2=BE2+CF2点评： 本题考查勾股定理的应用，关键在于找出相应的直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方，证明过程中运用到全等三角形的判定和等价替换的方法