1、安徽省滁州市高级中学联谊会 2015 届高三第一学期期末联考数学（理）试题一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1、设 是虚数单位，复数 满足 ，则 的共轭复数 （ ）iz12iizzA B C D22ii2、七位裁判各自对一名跳水运动员打分后，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，关于剩余分数的说法一定正确的是（ ）A众数不变 B方差不变 C平均值不变 D中位数不变3、函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则 （ sinfx021f）A B C D212134、已知 、 满足约束条件 ，且xy230xay的最大值为 ，
2、则 （ ）2z1A B C 1D 45、以平面直角坐标系的原点为极点， 轴的正x半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线 的参数方程为l（ 为参数） ，圆 的极坐标方程为35xtyC，则圆 上的点到直线 的距离的最大值为（ ）4cosinClA B232C D 56、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B C D7897、如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果为（ ）A B C D89108、 “ ”是“直线 与函数 的图象有且仅ayxlnyxa有一个交点”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件9、若函数
3、 满足 且 ，则fx21f32fxfx（ ）2015fA B C D67 671 672310、将甲、乙等 名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（ ）A 种 B 种 C 种 182436D 种72二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 ）11、 的展开式的常数项是 6x12、设 是等差数列 的前 项和，且 ，则 nSna246532a9S13、过焦点为 的抛物线 上一点 向其准线作垂线，垂足为 ，若F24yxQ，则 Q12014、已知 、 是单位向量，其夹角为 ，若实数 、 满足 ，则ab120xy6xayb的取值范围是 2
4、xy15、在三棱柱 中， 为正三角形， 底面 ， 是1CACA1AC的中点， 是 的中点下列命题正确的是 （写出所有正确命F题的编号） 平面 ；/1平面 平面 ；CF1A平面 截该三棱柱所得大小两部分的体积比为 ；1:若该三棱柱有内切球，则 ；13若 上有唯一点 ，使得 ，则 1G1C12A三、解答题（本大题共 6 小题，满分 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）16、 （本小题满分 12 分）在 中，角 ， ， 所对边的长分别为 ，Aa， ，且 bcsinC2i证明： ；ta3t若 ，求角 的值17、 （本小题满分 12 分）如图所示的是某母婴用品专卖店根据以往销售奶粉的销售记
5、录绘制的日销售量的频率分布直方图将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立估计日销售量的平均值；求未来连续三天里，有两天日销售量不低于 袋且另一天销售量低于10袋的概率；5记 为未来三天里日销售量不低于袋的天数，求 的分布列和均值（数学期望） 18、 （本小题满分 12 分）如图，在四棱台 中， 底面 ，1CDA1DCA四边形 为正方形， ， ， 平面 CDA121/证明： 为 的中点；求二面角 的余弦值119、 （本小题满分 13 分）设函数 （ 为自然对数的底数） 1xfxae当 时，求 的最大值；1afx当 时， 恒成立，证明： ,0,xfxa20、 （本小题满分 13
6、 分）已知椭圆 （ ）的离心率为 ，短C:21xyab0a12轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 3求椭圆 的方程；C设动直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，且与直线 相交于:lykxmx点 请问：在 轴上是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求出点QQ的坐标；若不存在，请说明理由21、 （本小题满分 13 分）设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，nanSnn且 ， 224nSn证明：数列 为等比数列；1a设 ，证明： nb23nb2015 滁州市高高级中学联谊会高三第一学期期末联考数 学（理科）参考答案一、选择题：本题有 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。题号 1
7、2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A D B A D B C C B C二、填空题：本题有 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11 12 13 14 15153634,12三、解答题：本题有 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（16）解析：（）ABC ，C (AB)， sinCsin(A B)2sin(AB )，即 sinAcosBcos AsinB2sinAcosB2cos AsinB，sinAcosB3cosAsinB，tanA3tanB （6 分）（）解法一：由正、余弦定理及 sinAcosB3cosAsinB，得，bcaacb232化简得 ，
8、又 c=2b，故 A60.（12 分）13,cos,2b解法二：由正弦定理知 sinC2sinB，则 2sin(AB)2sinB，A2B，代入 tanA3tanB 中整理得 3tanB，解得 tanB ，B30，A60.（12 分）2tanB1 tan2B（17）解析：（）估计平均值为250.15750.251250.31750.22250.1117.5.（3 分）（）不低于 100 袋的概率为 0.6，低于 50 袋的概率为 0.15，设事件 A 表示有两天日销售量不低于 100 袋且另一天销售量低于 50 袋，则 P(A)C (0.6)20.150.162 （6 分）2 3（）不低于 15
9、0 袋的概率为 0.3，XB(3，0.3) ，P(X0)C (0.7)30.343，P( X1)C (0.7)20.30.441，0 3 1 3P(X2)C 0.70.320.189，P(X3) C 0.330.0272 3 3 3X 的分布列为：X 0 1 2 3P 0.343 0.441 0.189 0.027均值 EX30.30.9 （12 分）（18）解析：（）连接 AD1，则 D1C1DC AB ，A 、E、C 1、D 1 四点共面，C 1E平面 ADD1A1，则 C1EAD 1，四边形 AEC1D1 为平行四边形，AED 1C11，E 为 AB 的中点 （6 分）（）建立如图所示的
10、空间直角坐标系 D-xyz，则 A(2，0，0) ，E(2，1，0)，C 1(0，1，2) ，(2，1，0)， (0 ，1，2) ， (0，1，0)， (2，1，2)， DE DC1 AE AC1设平面 DEC1 的法向量为 m (x，y ，z )，则 ，2x y 0y 2z 0)令 x1，得 m(1 ，2，1)设平面 AEC1 的法向量为 n (a，b，c)，则，b 0 2a b 2c 0)令 a1，得 n(1，0，1).cos 故二面角 AC 1ED 的余弦值为 （12 分）（19）解析：（）当 a1 时，f (x)e x(1x)e xxe x当 x0 时，f (x)0，f (x)在 (0
11、，)上单调递减；当 x0 时，f (x)0，f (x)在 (，0)上单调递增故 f (x)在 x0 处取得最大值 f (0)0 （5 分）（）当 x( ，0)时， 1 (ax )exx1 即 ax ，f (x)x x 1ex令 g(x)x ，g(x)1 0，则 g(x)在(，0) 上是增函数，g(x)g(0) 1，a1x 1ex xex当 x(0 ，)时， 1 (ax )exx1，ax ，由知 g(x) ，f (x)x x 1ex ex xex令 h(x)e xx，h(x)e x10，则 h(x)h(0) 1，g(x )0，g(x)g(0) 1，a1.故 a1 （13 分）A B C D A1
12、 B1 C1 D1 E y x z （20）解析：()由已知得 ，2213cab243ab解 得（4 分）21.3xyC椭 圆 的 方 程 为（）假设在 x 轴上存在定点 满足条件，设 ，则1(,0)Mx0(,)Pxy(2,),Qkm由 ,得 .2143ykm22(43)84kkm ,即 ，可知 .2226()1)0223km0此时 , （8 分）0024,3kxykx4,P（ ） ., ,1()MPm1(2,)Q= ，3)kxkm211(4)3kxx.21119420,x当 即 时存在点 ,使得 .（13 分）()4PMQ为 定 值（21）解析：（）当 n1 时，T 1S 1a 1，则 2a
13、14a 12，a 11当 n2 时，2T 22(a 1a 1a 2)4(a 1a 2)6，a 23当 n2 时，2T n1 4S n1 (n1) 2(n1) ，2Sn2T n2T n1 4S n(n 2n)4S n1 ( n1) 2(n1)，S n2S n1 n，则 Sn1 2S n(n1) ，an1 S n1 S n2S n2S n1 12a n1，a n1 12(a n1) ，当 n1 时也符合，故数列a n1 是等比数列 （7 分）（）由（）知 an1(a 11) 2n1 2 n， ,nbb1b 2b n ，22 322 423 n 12n令 T ，则 T ，22 322 423 n 12n 12 222 323 n 12n 1两式相减得 T1 ，T3，12 122 123 12n n 12n 1 32 n 32n 1 32b 1b 2b n3 （13 分）
