1、东北三省三校 2015 年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题) 两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改
2、液、修正带、刮纸刀。第卷（选择题 共 60 分）一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 已 知 集 合 若 则 等 于 （ ）20,30,AbBxZ,ABbA 1 B 2 C 3 D 1 或 2 复 数 （ ） 2i ii2()i1i 的 内 角 A、 B、 C 的 对 边 分 别 为 a、 b、 c， 则 “ ”是 “ ”abcos2AB的 （ ） 充 分 不 必 要 条 件 必 要 不 充 分 条 件 充 要 条 件 既 不 充 分 也 不 必 要 条件 向 量 满 足 则 向 量 与 的 夹 角 为 （ ）a,b1,2,()(),
3、abab 456090120 实 数 是 上 的 随 机 数 ， 则 关 于 的 方 程 有 实 根 的 概 率 为 （ ）m0, x24mx 141313 已 知 三 棱 锥 的 三 视 图 ， 则 该 三 棱 锥 的 体 积 是 （ ）A 63263 2 椭 圆 两 个 焦 点 分 别 是 ， 点 是 椭 圆 上14xy12,FP任 意 一 点 ， 则 的 取 值 范 围 是 （ ）12P ,3,1,1 半 径 为 的 球 面 上 有 四 个 点 ， ， ， ， 球 心 为 点 ， AB 过 点 ， ,CB, , 则 三 棱 锥 的 体 积 为 （ ）DAB1CABCDA 363 6 已
4、知 数 列 满 足na， 则*312lll 32()581naN=（ ）10 26e29e 33510 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 要 使 输 出 的 的 值 小 于S ，则 输 入 的 值 不 能 是 下 面 的 （ ）t 8 9 10 1111 若 函 数 在 区 间 上 为 增 函 数 ， 则 实 数 的 取 值 范 围 是 （ 32()6fxmx2,m） ,2, 5,25,212 函 数 的 零 点 个 数 为 （ ）()lg1)sin2fxx开始结束输入 t0S1k3sinStk1k输出 S否是（第 10 题图）（第题图）2 正视图 侧视图俯视图 10 11 12
5、第卷（非选择题 共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答，第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分 ） 13 若 等 差 数 列 中 ， 满 足 ， 则 =_na620128a2015S14 若变量 满足约束条件 ，则 的最小值为 ,xy39xyzxy15 已 知 双 曲 线 C： ， 点 P 与 双 曲 线 C 的 焦 点 不 重 合 若 点 关 于 双 曲 线 的 上 、2164下 焦 点 的 对 称 点 分 别 为 A、 B， 点 Q 在 双 曲 线 C 的 上 支 上 ， 点
6、 P 关 于 点 Q 的 对 称 点 为 ， 则1P=_ 1PA16 若 函 数 满 足 : （ ） 函 数 的 定 义 域 是 ； （ ） 对 任 意 有()fx()fxR12,xR； （ ） . 则 下 列 命 题 中 正 确 的 是21212)f3(1)2f_. （ 写 出 所 有 正 确 命 题 的 序 号 ） 函 数 是 奇 函 数 ； 函 数 是 偶 函 数 ； 对 任 意 ， 若 ， 则()fx()fx12,nN12n； 对 任 意 ， 有 .12nR三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （本题满分 12 分）已知 的面积为 且满足 设 和 的夹角为 ABC,
7、204,ABCA（）求 的取值范围；（）求函数 的值域2cos3)4(sin)(2f18 （本题满分 12 分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象全世界也越来越关注环境保护问题当空气污染指数（单位： ）为3/gm时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为05时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为1时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数0.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.0
8、08频率组距空气污染指数（ ）3/gm0 50 100 150 200D CBAFE为 时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指1502数为 时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染3指数为 以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染2015 年月某日某省 个监测点数据统计如下：x空气污染指数(单位： )3/gm0,50,10,150,2监测点个数 15 40 y10（）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出 的值，并完成,xy频率分布直方图；（）若 A 市共有 5 个监测点，其中有 3 个监测点为轻度污染，个监测点为良从中任意选取 2
9、个监测点，事件 A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？19 （本题满分 12 分）如图，多面体 中，底面 是菱形，ABCDEFABCD，四边形 是正方形，且60平面 . E( )求证: 平面 ；/( )若 ，求多面体 的体积 .2V20 （本题满分 12 分）在平面直角坐标系 中，已知动圆过点 ，且被 轴所截得的弦长为 4.xOy(2,0)y() 求动圆圆心的轨迹 的方程;1C() 过点 分别作斜率为 的两条直线 ，交 于 两点(点 异于(,2)P2,k12,l1C,AB,点 ),若 ，且直线 与圆 相切，求 的P120kAB2:C21()xyPAB面积.21 （本题满分 12 分）已知实
10、数 为常数，函数 a2ln)(axxf（）若曲线 在 处的切线过点 ，求实数 值；fy1),0(a（）若函数 有两个极值点 )(x12,x求证： ；求证： ， 02a()f21)(xf请从下面所给的 22 , 23 , 24 三题中任选一题做答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。请考生在第 22 , 23 , 24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号22 （本题满分 10 分）选修 4-1:几何证明选讲如图，在 中， ，以 为直径的圆ABC90AB交 于点 ，点 是
11、 边的中点，连接 交圆OEDOD于点 .M（）求证： 是圆 的切线；O（）求证： .M23 （本题满分 10 分）选修 4-4: 坐标系与参数方程 已知曲线 的极坐标方程是 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为Ccos2轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是 （ 为参数）x ltymx213.（）求曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；Cl（）设点 ，若直线 与曲线 交于 两点，且 ，求实数P)0,(mlCBA, 1|PBA|的值.24 （本题满分 10 分）选修 4-5: 不等式选讲设函数 .|2|12|)(xxf（）解不等式 ；0fCDMOBEA（）若 ，使得 ，求实数 的
12、取值范围.Rx0 mxf42)(0东北三省三校 2015 年三校第一次联合模拟考试文科数学试题参考答案一 、 选 择 题二 填 空 题13 4030 14 6 15 16 16 三.解答题17 （本小题满分 12 分）解：（）设 中角 的对边分别为 ，ABC ，abc则由已知： ， ， 4 分2sin1bc4cos0b可得 ，所以： 6 分ta),4（） 2()si3csf1cs23cos2 8 分1no in2oin1， ， )2,4)3,62s3 即当 时， ；当 时， 51max(f4min()f1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12D A C C B B C A C A
13、D DD CBAFE所以：函数 的值域是 12)(f3,2分18 （本小题满分 12 分）解：（） 10503.x3415yy2 分08.75132.05分（）设 A 市空气质量状况属于轻度污染 3 个监测点为 1,2,3, 空气质量状况属于良的 2个监测点为 4,5,从中任取 2 个的基本事件分别为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共 10 种， 8分其中事件 A“其中至少有一个为良”包含的 基本事件为(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共 7 种， 10分所以事
14、件 A“其中至少有一个为良”发生的概率是 . 1210)(AP分19 （本小题满分 12 分）( )证明： 是菱形， .ABCD/BD0.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.008频率组距空气污染指数（ ）3/gm0 50 100 150 200又 平面 ， 平面 ， 平面 .BCADEADE/BCADE2 分又 F是正方形， ./BF平面 ， 平面 ，平面 . 4 分/平面 ， 平面 ， ，BBF平面 平面 .C/AED由于 平面 ，知 平面 . 6 分F/FAE( )解 ： 连接 ，记 O.A是菱形， ，且 由 平面 ， 平面 ， .DEBBCD平面 ，
15、平面 ， ，平面 于 ，CF即 O为四棱锥 E的高. 9分由 AB是菱形， ，则 为等边三角形，由 ，则60BCDAB2AE，1D， ， ， . 1232BEFS1336BEFBDEFVSO3BDEFV分 20 （本小题满分 12 分）解: () 设动圆圆心坐标为 ，半径为 ，由题可知 ；(,)xyr22()4xyrx动圆圆心的轨迹方程为 424yx分() 设直线 斜率为 ,则 1lk12:(1);:(1).lklykx点 P（1,2）在抛物线 上24yx22480(1)yxkk设 , 恒成立，即 有12,ABy,121k1844,PPkky代入直线方程可得 621()xk分同理可得 722(
16、)4,kkxy分 921221()()ABkykx分不妨设 .:ABlyxb因为直线 与圆 相切，所以 解得 或 1,C|2|,3b当 时, 直线 过点 ,舍3bP当 时, 由 ；12216104yxx32,|1328AB到直线 的距离为 ， 的面积为 . 12PABdAB4分21 （本小题满分 12 分）（）解：由已知: ,切点 1 分/()ln12(0)fxax(1,)Pa切线方程: ,把 代入得: 3 分()ya（）证明：依题意: 有两个不等实根 /()0fx1212,()xx设 则: ln2ga/ (0)ga()当 时: ,所以 是增函数,不符合题意; 5 分/()0x)x()当 时:
17、由 得: 0/ 12a列表如下: x(,) 1(,)2a/()g0x 极大值 = ,解得: 8max)(g1()ln()02a102a分（注：以下证明为补充证明此问的充要性，可使其证明更严谨，以此作为参考，学生证明步骤写出上述即可）方法一：当 且 时 ， ， 当 且 时0xxln1x0x)(g在 上必有一个零点1,)2a当 时，设 ，xxxhln( xxh21)(/ 4,04,4)(/xh 极大值 时， 即4x024ln)(hxxln时， 11axg设 ， 由 ， 时，xt22tax012ta在 上有一个零点0)()(,)综上，函数 有两个极值点时 ，得证xfy021a方法二有两个极值点,即 有两个零点,2ln)(axf/()ln2(0)fxx即 有两不同实根.12设 , ,xhl)(2/l)(xh当 时， ；当 时，0/10)(/ 1x, ,1)(/xh 极大值
