1、闸北区 2014 学年度第一学期高三数学（理科）期末练习卷考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码3. 本试卷共有 16 道试题，满分 150 分考试时间 120 分钟一、填空题（54 分）本大题共有 9 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得 6 分，否则一律得零分1若复数 （ 是虚数单位）是纯虚数，则实数 i2a a2若 为 上的奇函数，当 时， ，则 )(xfR0x)2(log)(xxf)2(0f3设定点 ，若动点 在函数
2、 图像上，则 的最小值为 1,0AP0yPA4用数字“ ”组成一个四位数，则数字 “ ”都出现的四位偶数有 个1,21,25设 ，圆 的面积为 ，则 Nn2214:()()nnCxynSnlim6在 中， ， 是斜边 上的两个三等分点，则 的RtAB3,MNBCAMN值为 7设函数 ，若存在 同时满足以下条件： 对任意的 ，)sin(215)(xxf)1,(0Rx都有 成立； ，则 的取值范围是 0220fxm8若不等式 的解集是区间 的子集，则实数 的取值范围为 a3， a9关于曲线 ，给出下列四个结论：1:34yxC曲线 是双曲线； 关于 轴对称；y关于坐标原点中心对称； 与 轴所围成封闭
3、图形面积小于 2x则其中正确结论的序号是 （注：把你认为正确结论的序号都填上）二、 选 择 题 （ 18 分 ） 本 大 题 共 有 3 题 ， 每 题 都 给 出 四 个 结 论 ， 其 中 有 且 只 有 一 个 结 论 是 正 确的 ， 必 须 把 答 题 纸 上 相 应 题 序 内 的 正 确 结 论 代 号 涂 黑 ， 选 对 得 6 分 ， 否 则 一 律 得 零 分 .10 “ ”是“关于 的二元一次方程组 有唯一解”的 【 】2ayx, 1)(32yaxA必要不充分条件； B充分不必要条件；C充要条件； D既不充分也不必要条件11已知等比数列 前 项和为 ，则下列一定成立的是
4、【 】nanSA若 ，则 ； B若 ，则 ； 30201540a2014C若 ，则 ； D若 ，则 S12对于集合 ，定义了一种运算 “ ”，使得集合 中的元素间满足条件：如果存在元A素 ，使得对任意 ，都有 ，则称元素 是集合 对运算“eAaeeA”的单位元素例如： ，运算“ ”为普通乘法；存在 ，使得对任意RR1，都有 ，所以元素 是集合 对普通乘法的单位元素Ra11R下面给出三个集合及相应的运算“ ”： ，运算 “ ”为普通减法；A 表示 阶矩阵， ，运算“ ”为矩阵加法；mnnN,nm （其中 是任意非空集合） ，运算“ ”为求两个集合的交集XM其中对运算“ ”有单位元素的集合序号为
5、【 】A； B； C ； D三、解答题（本题满分 78 分）本大题共有 4 题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤13 （本题满分 18 分，第（1）小题 9 分，第（2）小题 9 分）请仔细阅读以下材料：已知 是定义在 上的单调递增函数()fx(0,)求证：命题“设 ，若 ，则 ”是真命题Rba1a)1()(bfafbaf证明 因为 ，由 得 , 0b又因为 是定义在 上的单调递增函数，()fx(0,)于是有 1bfa同理有 )(f由 + 得 )1(bfaf故，命题“设 ，若 ，则 ”是真命题R,ba)1()(bfaf请针对以上阅读材料中的 ，解答以下问题：()
6、fx（1）试用命题的等价性证明：“设 ，若 ，则：R,ba1()()fabfab”是真命题；ab（2）解关于 的不等式 （其中 ） x11()(2)(2)xxxxffff014 （本题满分 20 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 8 分）如图，在海岸线 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段 ，EF FGBC该曲线段是函数 ， 的图像，图像sin()(0,(0,)yAx4,0x的最高点为 边界的中间部分为长 千米的直线段 ，且 游乐场的后(1,2)B1CDE一部分边界是以 为圆心的一段圆弧 O（1）求曲线段 的函数表达式；FGC（2）曲线段 上的入口 距海
7、岸线最近距离为 千米，现准备从入口 修一条笔E直的景观路到 ，求景观路 长；（3）如图，在扇形 区域内建一个平行四ODE边形休闲区 ，平行四边形的一边在海岸线 上，一边在半径 上，另外一个顶点MPQEFOD在圆弧上，且 ，求平行四边形休闲区 面积的最大值及此时 的值MPQ15 （本题满分 20 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 7 分，第（3）小题 7 分）已知 分别是椭圆 的左、右焦点，椭圆 过点2,F:1(0,)xyCababC且与抛物线 有一个公共的焦点(3)28y（1）求椭圆 方程；（2）斜率为 的直线 过右焦点 ，且与椭圆交于 两点，求弦 的长；kl2FBA,（3） 为直线 上
8、的一点，在第（2）题的条件下，若 为等边三角形，求直P3x P线 的方程l16 （本题满分 20 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 8 分）设数列 满足： ； 所有项 ；na1Nna21n设集合 ，将集合 中的元素的最大值记为 换句话说，N,|mAm mAmb是bCy2-1MEQPO xDBGF(- 4,0)数列 中满足不等式 的所有项的项数的最大值我们称数列 为数列 的namannbna伴随数列例如，数列 1,3,5 的伴随数列为 1,1,2,2,3（1）若数列 的伴随数列为 1,1,1,2,2,2,3，请写出数列 ；n na（2）设 ，求数列 的伴随数列 的前
9、100 之和；13ananb（3）若数列 的前 项和 （其中 常数） ，试求数列 的伴n231Scna随数列 前 项和 nbmT理科答案一填空题：； ； ； ； ；4.12.3.27.44.5； ； ； 6),(),(78(,59二选择题： 0.1ACD三解答题：13. 解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题.原命题的逆否命题：设 ，若 ，则： 4 分Rba,1a1()()fabfab下面证明原命题的逆否命题为真命题：因为 ，由 得： ， 1 分, 0b又 是定义在 上的单调递增函数()fx(,)所以 （1） 1 分afb同理有： （2） 1 分()由（1）+（2）得： 1 分1()()
10、fabfab所以原命题的逆否命题为真命题所以原命题为真命题. 1 分（2）由（1）的结论有： ，即： 3 分12x(2)x当 时，即 时，不等式的解集为： 2a2log,)a分当 时，即 时，不等式的解集为： 2021102a2(,l)a分当 时，即 时，不等式的解集为： 2aR分14. 解：（1）由已知条件，得 12,A分又 2 分3,1,46T又当 时，有2 分 x22sin()3y 曲线段 的解析式为 1 分FBC,4,0x（2）由 得sin()163yx2 分1)4kxZ又 2 分,0,(3,)G1 分OG 景观路 长为 千米 1 分(3)如图， 1 分3,1,2,6CDOCD作 轴于
11、 点，在 中， 1 分xP1 1PRtsin2i1OP在 中， 1 分OM)60sin(2si0M 1 分si3co2341in)6( 1in)sico(1 PSOMPQ平 行 四 边 形分 2sin34cosin4 32co32i2 分)6(3),0(当 时，即 时：平行四边形面积最大值为 1 分23215.解（1）由题意得 2 分1(,0)F2c又 ， 234a得， ，解得 或 （舍去） ， 2 分4826a2则 ， 1 分b故椭圆方程为 1 分216xy（2）直线 的方程为 1l()k分CP1y2-1MEQPO xDBGF(- 4,0)联立方程组 2(),1.6ykx消去 并整理得 3
12、分22(3)160kx设 ， 1(,)Axy,B故 ， 1 分22k12x则 4)(21212xxk 2 分26(1)3k（3）设 的中点为 AB0(,My可得 ， 1 分20631kx 1 分2y直线 的斜率为 ，又 ，Pk3Px所以 2 分220211()kM当 为正三角形时， AB，AB可得 ， 122213()6(1)3kk分解得 1 分即直线 的方程为 ，或 1l20xy20xy分16. 解：（1）1,4,7 6 分（2）由 ，得 13nam*31log()mN 当 时， 1*2,N2b分当 时， 1 分8,348当 时， 1 分*96910263b当 时， 1,027 480827分当 时， 1Nm,18 511分 13842436021 bb分（3） 1 分aScc当 时，n12nnS 2 分*2()N由 得： 32nam*2()3nN因为使得 成立的 的最大值为 ，mb所以 1 分*1234563213, ()tttbbbN当 时：*()tN1 分21()mtTt 当 时：*3()t1 分2131()226tt m当 时：*()tN1 分23()mtT 所以 1 分*(1)321,)63(,)mttNN或
