1、上海交通大学附属中学 2015 届高三上学期期中考试数学试题（说明：本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据。 ）一、填空题（本大题满分 56 分）本大题有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分1、已知等比数列 满足 ， ，则 _。na123236a7a解： ，所以 ，解得 。所以 。2316q116724a2、不等式 的解集是_。x解： ，所以解集为 。 20x (2)0x (,0)2,)3、设集合 ， ，若 ，则 _。25,log(3)Aa,B
2、abAB解： ，所以 ，解得 ，所以 。2log(3)1a2b所以 。1,B4、已知函数 ，则方程 的解为 _。34()log)fx1()4fxx解：此即 。(5、方程 的解集是_。sin2ix解： 。|or2,5kxkZ6、函数 的单调递减区间是_ 。2l(3)y解： ，解得 ，所以单调递减区间是 （或 ） 。0x(1,3)1,3)(,)7、若函数 的图像与 的图像关于 轴对称，则 _。()fyxxfx解：在函数 的图像上任取 ，有 在 的图像上。所以y(,)y(2,)y。12yx8、已知等差数列 中， ，当且仅当 时，前 项和 取得最大值，则公差na105nnS的取值范围是_。d解：等价于
3、 ，所以 ，所以 。56410d5(,2)d9、已知函数 （ ）是奇函数,则 _。()sincofxabx2aab解： 解得 ，又 ，所以 。201b10、不等式 对一切 恒成立，则符合要求的自然数 有_个。334 解：结合函数 与 图像，2()fx()1gxa在 上函数 的图像在函数 的图像上方。4 yf ()ygx， ，所以 。所以，符合要求的自然数 有 3 个。(3)6f()13f603a11、在 中，锐角 所对的边 。 的面积 ，外接圆半径 ，ABC 1bABC 10ABCS 1R则 的周长 _。 ABC解：由正弦定理，得 。又由 ，得 ；由5sin213Rsin2ABCac 52ac
4、，得 。22coba96ac所以 。所以 。()1960 103b12、若函数 无零点，则 的取值范围为 _。|3|lg1afxxa解：假若 无零点，即 无解。()|o|3|logax即函数 与 没有公共点。|yxlayx在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可知只需 。0l1a所以， 的取值范围为 。a(3,)13、已知 。若 ，则 的取值范围为 _。2loglyxbbayx解：由已知得 ， ，所以。221ya2222()11()()4abab因为 ，所以 （因为等号仅当 时取到，与 a、b 为b01ab底数矛盾） ，所以 ，所以 。 (,)a()2,)xy14、已知函数 满足：对任意 ，恒有
5、 成立；当()fx(0,)x(2)(fxf时， 。若 ，则满足条件的最小的正实数 a 是1,2215fa_。解：由知，当 时， ，所以 ；同理可得，当(,4x(,2x()24xff时， ；当 时， ；当 时，(4,8x()f81616f(16,3；当 时， ；当 时， ；当)32f32,)f,8x)28fx时， ；当 时， ；当1565x(5,x)5fx时， ；当 时， 。(,0()04f 024(04所以 ，所以 ， ，解得f aa。 9a二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号的空格内直接写结果，选对得 5 分，否则一律得零分
6、15、已知函数 定义域为 。则“函数 在 上为单调函数”是“函数)(xf,ab)(xf,ab在 上有最大值和最小值”的 (f,ab)(A) 充分但非必要条件 (B) 必要但非充分条件(C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件解：充分但非必要条件，选(A)。16、若 ，有下面四个不等式： ； ； ； 。其10ab|abab3ab中，不正确的不等式有 ()(A) 0 个 (B) 1 个 (C) 2 个 (D) 3 个解： ，所以 。所以 ，错误；错误；1ab0a|b，正确；正确。共 2 个不正确。选(C)。()()17、已知：数列 满足 ， 。则 的最小值为 ( )n161nna(A) 8 (
7、B) 7 (C) 6 (D) 5解：累加法，得 ，22()24()16na n所以 ，当且仅当 时等号取到。161n 4n所以 的最小值为 7。选(B)。na18、设函数 、 的零点分别为 与 ，则( )141()log()xfx214log()xf1x2(A) (B) (C) (D)202解：在同一坐标系下作出 ， 与 的图像，4lyx14lx()xy其中 与 的交点 P 的横坐标为 ， 与 的交点 Q 的横4logyx1()x 14log()xy坐标为 。过 P 作 x 轴的平行线，与 交点 R 的横坐标为 。2 14logyx3易知 ， ，所以 。选(A)。1323020三、解答题（本大
8、题满分 74 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤。19 （本题满分 12 分）关于 的不等式 的解集为 P，不等式 的解集为 Q。若 ，x01a2log(1)x P求实数数 的取值范围。a解：当 时， ；（ 2 分 ）(,)(,)a当 时， ；（ 4 分 ）11P当 时， 。 （ 6 分 ）a(,)(,)，所以 ，所以 （ 9 分 ）2log(1)x210x 3,1)(,Q所以 ， （ 10 分 ）所以 。（ 12 分 ）,(,)Paa 20 （本题满分 14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）已知：函数 （ ， ）的最大值为 ，最小
9、正()sincosfxpx0p12周期为 。2（）求： ， 的值与 的解析式；p()fx（）若 的三条边为 ， ， ，满足 ， 边所对的角为 求：角ABC abc2abcA的取值范围及函数 的值域。()f解：（） ，2111()sin2cossin(arct)2ppfxxxp由 ，得 。 （ 2 分 ）由 及 ，得 。 （ 4 分 ）2203所以 。 （ 6 分 ）1()sin4)fx（） 。 （ 8 分 ）2221co 2bacbcA为三角形内角，所以 。 （ 10 分 ）03所以 ， ，7466 1sin(4)126A 所以，函数 的值域为 。（ 14 分 ）()fA,21 （本题满分 1
10、4 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快。已知每投放 a（ ，且14 ）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度 （克/ 升）随着时aR y间 （分钟）变化的函数关系式近似为 ，其中 。若x ()yafx608()1542xf 多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和。根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于 4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用。（）若只投放一次 4 个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？（）若第一次投放 2 个单位的洗衣液， 6 分钟后再投放 个单位的洗衣液，要
11、使接a下来的 4 分钟中能够持续有效去污，试求 的最小值（按四舍五入精确到 ） 。a0.1解：（）因为 ，所以 。 （ 1 分 ）4a40482xy 则当 时，由 ，解得 ，所以此时 。 （ 3 分 ）0x 6x 04x 当 时，由 ，解得 ，所以此时 。 （ 5 分 ）41 04 8x 8综上，得 ，若一次投放 4 个单位的洗衣液，则有效去污时间可达 8 分钟。8 （ 6 分 ）（）当 时， （ 8 分 ）610x 162(5)(1)8yxa， （ 10 分 ）104a6()424a当且仅当 时等号取到。 （因为 ，所以 能取x1a 16,10x到）所以 y 有最小值 。 （ 12 分 ）8
12、4a令 ，解得 ， 2164a 所以 的最小值为 。（ 14 分 ）a.22 （本题满分 16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分）设等差数列 的前 n 项和为 ，已知 ， 。anS4a50S（）求 的表达式；n（）设 为数列 的前 n 项积，是否存在实数 a，使得不等式A1na对一切 都成立？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由；21n*N（）将数列 依次按 1 项，2 项，3 项，1 项，2 项，3 项循环地分为 ，na 1()a， ， ， ， ，分别计算各个括号内各数之23(,)a456(,)7(89,)a01(,)a和，设由这些和按原来括
13、号的前后顺序构成的数列为 ，求 的值。nb2015解：（）因为数列 是等差数列，由 ，得 ，所以公差 。 （ 2 分 ）n53S36d所以 （ ） 。 （ 4 分 ）2()na*N（）设 ，121()()n ngAaa（法一，比商法）因为，21()233483) 1ngan 并且 ，所以 。 （法一结束， 8 分 ）()0gn()1)gn（法二，比差法）因为 121(1)()()231)nnaa12 ()n。22121(48348)()() 0nnnaa所以 。 （法二结束， 8 分 ）gn单调递减，所以 。()max3()(1)2g因为不等式 对一切 都成立，所以 。 （ 10 分 ）1nA
14、n*Nmax3()2gn（）数列 依次按 1 项，2 项，3 项，1 项，2 项，3 项循环地分为 ， ，a ()4,6； ， ， ；，每一次循环记为一组。由于每一个循环(8,102)(46,8)(0,4)含有 3 个括号，故 是第 672 组中第 2 个括号内各数之和。2015b由分组规律知， 组成首项 ，公差8015,b 24610b的等差数列。 （ 14 分 ）524db其中 是这个数列的第 672 项，所以 。 （ 16 分 ）01 2015(7)423 （本题满分 18 分，第 1 小题 5 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 7 分）已知函数 ， （ ） 。|2|1()xafe
15、|1()xafeR（）若 ，求 在 上的最小值；12f,（）若 对于任意的实数 恒成立，求 的取值范围；12()()fxfxxa（）当 时，求函数 在 上的最6a 1212()|()|fxfg1,6x小值。解：（）对于 ， ，2,3x1()Fx)(2xF21a2a0 11所以 （ 1 分 ） ， （ 3 分 ）|3|213()xxfee312xe当且仅当 ，即 时等号成立（ 4 分 ） ，所以 。 （ 5 分 ）min()2fe（） 对于任意的实数 x 恒成立，即 对于任121()()fxfx 12()fxf意的实数 x 恒成立，亦即 对于任意的实数 x 恒成立，|aae所以 ，即 对于任意的
16、实数 x 恒成立。 （ 7|a |2|a分 ）又 对于任意的实数 x 恒成立，|21|(1)(|xxax故只需 ，解得 ，所以 的取值范围为 。 （ 11 分 ）|a 02 0,2（） ， （ 12 分 ）121()|()|fxfxg122()()fxfx因为 与 的底数都同为 e，外函数都单调递增，1()f2f所以，比较 与 的大小关系，只须比较 与 的大小关系。x()|1|xa|x令 ， ，1()|Fa2|1Fxa，其中 ， 。 （ 13 分 ）122()xG 6 1,x（法一）因为 ，所以 。6a 2a 令 ，得 ，由题意可得如下图象：（ 14 分 ）1a（1 ）当 ，即 时， ， ；6
17、2a 46 min2()()GxF1min()gxe（2 ）当 ，即 时， ，1 72a i1627a；27min()agxe（3 ）当 ，即 时， ， ；（ 171672a min1()(2)0GxFa0min()1gxe分 ）综上所述， 。 （ 18 分 ）27min1()46agxe （法二）对于 （ ）2()|1Fxa,x因为 ，所以 。16a 2min2()F对于 （ ） 。()|)|x,6x因为 ，所以 ，所以 1a（1 ）当 时， ，所以 ；72 ,1min1()(2)0Fxa（2 ）当 时， ，函数 在 上为减函数，6 6|,6所以， 。1min1()()|7|Fxa又令 解得 ，可知（2-1）当 时，a4742a ；（2-2）当 时， 。1min2min()()xx 6 1min2min()()Fxx综上， ， （下略） 。727in201()4aG
