1、上海市 6 校 2015 届高三 3 月联考数学试卷（文科） 2015 年 3 月 6 日（完卷时间 120 分钟，满分 150 分）一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分1. 已知 ， ，则 ,2sin5tan2. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是 1,Am|1BxABm3. 设等差数列 的前项和为 ，若 ， ，则 等于 nanS9a1919S4. 若 是纯虚数（ 是虚数单位） ，则实数 的值2iia为 5. 抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离24yx214xy是 6. 已知向
2、量 ， ， ，则向量 与 的夹a1baab角为 7. 执行右图的程序框图，如果输入 ，则输出的 值为 6iS8. 不等式 对任意 恒成立，则实数 的10axRxa取值范围是 9. 若 是 展开式中 项的系数，n*2,2nxN2x则 32limnnaa10. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 ，圆心角为 的扇形，则此圆锥的体积32为 开始输入 i1n？ni输出 S0S结 束n1否是11. 设 ，若不等式组 所表示的平面区域是一个锐角三角形，则,xyR320,1xya实数 的取值范围是 a12. 从 这 个整数中任意取 个不同的数作为二次函数 的系1,29032fxabc数，则使得 的概率为
3、fZ13. 已知点 为椭圆 的左焦点，点 为椭圆 上任意一点，点 的坐标为F:C21xyPCQ，则 取最大值时，点 的坐标为 4,3PQ14. 已知 、 、 为直线 上不同的三点，点 直线 ，实数 满足关系式ABlOlx，有下列命题：20xOC ； ；20BCA 的值有且只有一个； 的值有两个；x 点 是线段 的中点BA则正确的命题是 （写出所有正确命题的编号）二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用 2B 铅笔涂黑，选对得 5 分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零
4、分15. 若 ，则“ 成立”是“ 成立”的 ,abRab2ab（ ）（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件16. 下列函数中，既是偶函数，又在区间 内是增函数的为 1,2（ ）（A） （B）2logyx cos2yx（C） （D） 2lg17. 已知 和 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，下面给出的条件中mn一定能推出 的是 （ ）A） 且 （B） 且 mmA（C） 且 （D ） 且n n18. 对于函数 ，若存在区间 ，使得 ，则称函数fx,Amn,yfx为“可等域函数” ，区间 为函数 的一个“可等域区间” f fx下列函数中存在唯一
5、“可等域区间”的“可等域函数”为 （ ）（A） （B）sin2fx21fx（C） （D）1xf 2logfx三、解答题（本大题共 5 题，满分 74 分）每题均需写出详细的解答过程19. （本题满分 12 分）本题共有 2 小题，第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 6 分在 中，角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，ABCabc且 1cos2C（1）若 ， ，求 的值；3a7bc（2）若 ，求 的取值范围sinosinfAAfA20. （本题满分 14 分）本题共有 2 小题，第（1）小题满分 7 分，第（2）小题满分 7 分如图，几何体 中， 为边长为 的正方形， 为直角梯EFAB
6、CDEFABCD形， ， ， ，/AB， 490（1）求异面直线 和 所成角的大小；（2）求几何体 的体积BFED CA21. （本题满分 14 分） 本题共有 2 小题，第（1）小题满分 7 分，第（2）小题满分 7分为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本 y（万元）与处理量 x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨废弃物可得价值为 万元的某种产品，同时获得2509x10国家补贴 万元1（1）当 时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；,如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？（2）当处理量为多少吨时，每吨
7、的平均处理成本最少？22. （本题满分 16 分）本题共有 3 小题，第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 6 分，第（3）小题满分 6 分已知各项为正数的数列 中， ，对任意的 ， 成等na1*kN2121,kka比数列，公比为 ； 成等差数列，公差为 ，且 kq212,k kd（1）求 的值；2a（2）设 ，证明：数列 为等差数列；1kbqkb（3）求数列 的前 项和 kdkD23. （本题满分 18 分）本题共有 3 小题，第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 6 分，第（3）小题满分 8 分如图，圆 与直线 相切于点 ，与 正半轴交于点 ，与直线O20xyPxA在第一象限的
8、交点为 . 点 为圆 上任一点，且满足 ，yxBCOOCxyB动点 的轨迹记为曲线 ,D（1）求圆 的方程及曲线 的轨迹方程；（2）若直线 和 分别交曲线 于点 、 和 、 ，yxABD求四边形 的周长；ABC（3）已知曲线 为椭圆，写出椭圆 的对称轴、顶点坐标、范围和焦点坐标PBO xyAC2015 年上海市高三年级 六校联考 数学试卷（文科）答案一、填空题1. 2. 3. 4. 5. 431,19012256、 7. 8. 9. 10. 24,8311、 12. 13. 14 ,3901二、选择题15. C 16. A 17. C 18. B三、解答题19. 解：（1）在 中， B所以 c
9、oscs21in2，所以 3 分6B3由余弦定理 ，22cosbaB得 20c解得 或 6 分1（2） sin(3cosin)fAA122. 9 分si6由（1）得 ，所以 ， ，3B23AC20,3则 . 2,62A .sin(1, .3,2fA 的取值范围是 . 12 分fA31,220. 解：（1）解法一：在 的延长线上延长至点 使得 ,连接CDMCD.,MEBD由题意得， ， ， 平面 ，AF,EF 平面 ， ，同理可证 面 .AEEAB ， ，/CF 为平行四边形， .则 （或其补角）为异面直线 和BDF所成的角. 3 分由平面几何知识及勾股定理可以得 26210MEBM， ，在 中
10、，由余弦定理得23cos 6E 异面直线的夹角范围为 ，0, 异面直线 和 所成的角为 7 分DFB3arcos6解法二：同解法一得 所在直线相互垂直，故以 为原点，,ACED所在直线,ACE分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ,xyz2 分可得 ，0,2,40,2DFB ，(,)()得 . 4 分6E设向量 夹角为 ，则,0242cosFBD 36 异面直线的夹角范围为 ，, 异面直线 和 所成的角为 7 分FBE3arcos6（2）如图，连结 ，过 作 的垂线，垂足为 ，则 平面 ，且CDNBCDEF.BN9 分 11 分EFABDVEABEFV1133CCSSB NM BFEA C
11、DBFED CAx yzNBFED CA11(42)233.6 几何体 的体积为 .14 分EFABCD621. 解：（1）根据题意得，利润 和处理量 之间的关系：Px(0)Pxy25902 分7， . 31,5 ， 在 上为增函数，1,x23Px10,5可求得 . 5 分0 国家只需要补贴 万元，该工厂就不会亏损 77 分（2）设平均处理成本为9 分950yQx， 11 分1当且仅当 时等号成立，由 得 9x0x3因此，当处理量为 吨时，每吨的处理成本最少为 万元 301014 分22. 解：（1）由题意得， ， 或 . 23a2a2a22 分故数列 的前四项为 或 . n1,46,134
12、分（2） 成公比为 的等比数列，212,kkakq成公比为 的等比数列31 ，kkq2kka又 成等差数列，212, .kka得 ， ， 6 分2121kq1kq，kk ， ，即 .11kk kq11kkq1kb 数列数列 为公差 等差数列，且 或 . kbd1q12q8 分 或 . 10 分1k32k（3）当 时，由（2）得 .b11,kkbq，21ka，22222131 11kk a kk ，2kaq. 13 分211 3,2kk kdD当 时，同理可得 ， . 16 分b4kdk解法二：（2）对 这个数列，猜想 ， 下面用数学归纳1,3, *123Nmq法证明：）当 时， ，结论成立.
13、m121q）假设 时，结论成立，即 .*Nk123kq则 时，由归纳假设， . 由 成等差数列可2121,3kkkaa212,kka知 ，于是 ，2122kkk 12kkq 时结论也成立 .m所以由数学归纳法原理知 . *13Nmq7 分此时 .1221kbkq同理对 这个数列，同样用数学归纳法可证 . 此时1,246 1kq.kbkq 或 . 10 分k32k（3）对 这个数列，猜想奇数项通项公式为 .1, 2213ka显然结论对 成立. 设结论对 成立，考虑 的情形.k由（2） ， 且 成等比数列，1,23kqN2121,kka故 ，即结论对 也成立.2 221 3kka 1k从而由数学归纳法原理知 .于是 （易见从第三项起221k23k每项均为正数）以及 ，此时 . 4kda 24D13 分对于 这个数列，同样用数学归纳法可证 ，此时1,246 21ka.21,kkka此时 . 16 分33D23. 解：（1）由题意圆 的半径 ，O2213r故圆 的方程为 . 2 分21xy由 得， ，OCAB22CxAyB即 ，得22 cos60（ ）为曲线 的方程.（未写 范围不扣分）41xy3,xy,xy分（2）由 解得： 或 ，21yx3xy3所以，A（ ， ） ，C（ ， ）33同理，可求得 B（1,1） ，D（1,1）
