1、第 21章 一元二次方程一、选择题1有下列关于 x的方程：ax 2+bx+c=0，3x（x4）=0，x 2+y3=0， +x=2，x 33x+8=0， x25x+7=0其中是一元二次方程的有（ ）A2 B3 C4 D52方程 2（x+1） 2=1化为一般式为（ ）A2x 2+4x+2=1 Bx 2+4x=1 C2x 2+4x+1=0 D2x 2+2x+1=03用配方法解方程 x22x5=0 时，原方程应变形为（ ）A（x+1） 2=6 B（x+2） 2=9 C（x1） 2=6 D（x2） 2=94方程 x2=x的解是（ ）Ax=1 Bx=0 Cx 1=1，x 2=0 Dx 1=1，x 2=05
2、下列方程中，一定有实数解的是（ ）Ax 2+1=0 B（2x+1） 2=0 C（2x+1） 2+3=0D（ xa） 2=a6若关于 x的一元二次方程（k1）x 2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是（ ）Ak5 Bk5，且 k1 Ck5，且 k1 Dk57一元二次方程 x24x+4=0 的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C无实数根 D无法确定8已知 3是关于 x的方程 x2（m+1）x+2m=0 的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长为（ ）A7 B10 C11 D10 或 11二、填空题9当方程
3、（m+1）x2=0 是一元二次方程时，m 的值为 10已知 x2+x1=0，则 3x2+3x9= 11若一元二次方程 ax2bx2016=0 有一根为 x=1，则 a+b= 12若关于 x的一元二次方程 x2x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m的值可能是 （写出一个即可）13若矩形 ABCD的两邻边长分别为一元二次方程 x27x+12=0 的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为 14某公司在 2014年的盈利额为 200万元，预计 2016年的盈利额将达到 242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在 2015年的盈利额为 万元三、解答题15解方程：x 21=2（x+1
4、）16先化简，再求值：（ +4） ，其中 x的值是方程 x2+x=0的根17在实数范围内定义一种新运算“”，其规则为：ab=a 2b 2，根据这个规则：（1）求 43 的值；（2）求（x+2）5=0 中 x的值18已知：关于 x的一元二次方程 x2+2x+k=0有两个不相等的实数根（1）求 k的取值范围；（2）当 k取最大整数值时，用合适的方法求该方程的解19如图，某农场有一块长 40m，宽 32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为 1140m2，求小路的宽20已知关于 x的一元二次方程（a+c）x 22bx+（ac）=0，其中 a，b，
5、c 分別为ABC三边长（1）若方程有两个相等的实数根试判断ABC 的形状，并说明理由；（2）若ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根21某商场销售一批童装，平均每天可售出 20件，每件盈利 40元为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定适当降价据测算，每件童装每降价 1元，商场平均每天可多售出 2件若商场每天要盈利 1200元，且要让顾客有更多的实惠，则每件童装应降价多少元？22为进一步发展基础教育，自 2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014 年该县投入教育经费 6000万元2016 年投入教育经费 8640万元假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同（1）求这两年该
6、县投入教育经费的年平均增长率；（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算 2017年该县投入教育经费多少万元23阅读材料：如果 x1，x 2是一元二次方程 ax2+bx+c=0的两根，那么有x1+x2= ，x 1x2= 这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例x1，x 2是方程 x2+6x3=0 的两根，求 x12+x22的值解法可以这样：x 1+x2=6，x 1x2=3 则 x12+x22=（x 1+x2） 22x 1x2=（6） 22（3）=42请你根据以上解法解答下题：已知 x1，x 2是方程 x24x+2=0 的两根，求：（1） 的值；（2）（x
7、1x 2） 2的值第 21章 一元二次方程参考答案与试题解析一、选择题1有下列关于 x的方程：ax 2+bx+c=0，3x（x4）=0，x 2+y3=0， +x=2，x 33x+8=0， x25x+7=0其中是一元二次方程的有（ ）A2 B3 C4 D5【考点】一元二次方程的定义【分析】根据一元二次方程的定义得到在所给的方程中是一元二次方程的有 3x（x4）=0， x25x+7=0【解答】解：下列关于 x的方程：ax 2+bx+c=0，3x（x4）=0，x 2+y3=0， +x，x 33x+8=0， x25x+7=0其中是一元二次方程为 3x（x4）=0， x25x+7=0故选 A【点评】本题
8、考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 2的整式方程叫一元二次方程2方程 2（x+1） 2=1化为一般式为（ ）A2x 2+4x+2=1 Bx 2+4x=1 C2x 2+4x+1=0 D2x 2+2x+1=0【考点】一元二次方程的一般形式【分析】利用完全平方公式把括号展开，化为 ax2+bx+c=0的形式即可【解答】解：把方程左边两式相乘得 2x2+4x+2=1整理得，2x 2+4x+1=0故选 C【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，即一般地，任何一个关于 x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式 ax2+bx+c=0（a0）这种形式叫一元二次方程的一般形式
9、3用配方法解方程 x22x5=0 时，原方程应变形为（ ）A（x+1） 2=6 B（x+2） 2=9 C（x1） 2=6 D（x2） 2=9【考点】解一元二次方程-配方法【专题】方程思想【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方【解答】解：由原方程移项，得x22x=5，方程的两边同时加上一次项系数2 的一半的平方 1，得x22x+1=6（x1） 2=6故选：C【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2的
10、倍数4方程 x2=x的解是（ ）Ax=1 Bx=0 Cx 1=1，x 2=0 Dx 1=1，x 2=0【考点】解一元二次方程-因式分解法【专题】计算题【分析】方程移项后提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0转化为两个一元一次方程来求解【解答】解：方程移项得：x 2x=0，分解因式得：x（x1）=0，可得 x=0或 x1=0，解得：x 1=1，x 2=0故选 C【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键5下列方程中，一定有实数解的是（ ）Ax 2+1=0 B（2x+1） 2=0 C（2x+1） 2+3=0D（ xa） 2=
11、a【考点】解一元二次方程-直接开平方法【分析】根据非负数的性质和直接开平方法解方程进行判断【解答】解：A、由原方程得到：x 2=10，故本方程无解；B、直接开平方得到：2x+1=0，由此可以求得 x的值，故本方程有实数解；C、由原方程得到：（2x+1） 2=30，故本方程无解；D、当 a0 时，本方程无解故选：B【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法形如 x2=p或（nx+m）2=p（p0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程6若关于 x的一元二次方程（k1）x 2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是（ ）Ak5 Bk5，且 k1 Ck5，且 k1 Dk5
12、【考点】根的判别式；一元二次方程的定义【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于 k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论【解答】解：关于 x的一元二次方程（k1）x 2+4x+1=0有两个不相等的实数根， ，即 ，解得：k5 且 k1故选 B【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是得出关于 k的一元一次不等式组本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合一元二次方程的定义以及根的判别式得出不等式组是关键7一元二次方程 x24x+4=0 的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个
13、相等的实数根C无实数根 D无法确定【考点】根的判别式【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根【解答】解：在方程 x24x+4=0 中，=（4） 2414=0，该方程有两个相等的实数根故选 B【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是代入方程的系数求出=0本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式得正负确定方程解得个数是关键8已知 3是关于 x的方程 x2（m+1）x+2m=0 的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长为（ ）A7 B10 C11 D10 或 11【考点】解一元二次方程-因
14、式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质【分析】把 x=3代入已知方程求得 m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可【解答】解：把 x=3代入方程得 93（m+1）+2m=0，解得 m=6，则原方程为 x27x+12=0，解得 x1=3，x 2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰ABC 的两条边长，当ABC 的腰为 4，底边为 3时，则ABC 的周长为 4+4+3=11；当ABC 的腰为 3，底边为 4时，则ABC 的周长为 3+3+4=10综上所述，该ABC 的周长为 10或 11故选：D【点评】本题考
15、查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根也考查了三角形三边的关系二、填空题9当方程 （m+1）x2=0 是一元二次方程时，m 的值为 1 【考点】一元二次方程的定义【分析】根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答【解答】解：因为原式是关于 x的一元二次方程，所以 m2+1=2，解得 m=1又因为 m10，所以 m1，于是 m=1故答案为：1【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a0）特
16、别要注意 a0 的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点本题容易忽视的条件是 m1010已知 x2+x1=0，则 3x2+3x9= 6 【考点】代数式求值【专题】计算题【分析】已知等式变形求出 x2+x的值，原式变形后把 x2+x的值代入计算即可求出值【解答】解：由 x2+x1=0，得到 x2+x=1，则原式=3（x 2+x）9=39=6故答案为：6【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键11若一元二次方程 ax2bx2016=0 有一根为 x=1，则 a+b= 2016 【考点】一元二次方程的解【分析】由方程有一根为1，将 x=1 代入方程，整理后即可得到 a+b的值【解答
17、】解：把 x=1 代入一元二次方程 ax2bx2016=0 得：a+b2015=0，即 a+b=2016故答案是：2016【点评】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程12若关于 x的一元二次方程 x2x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m的值可能是 0 （写出一个即可）【考点】根的判别式【专题】开放型【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式=b 24ac0，建立关于 m的不等式，求出 m的取值范围【解答】解：一元二次方程 x2x+m=0 有两个不相等的实数根，=14m0，解得 m ，故 m的值可能是
18、0，故答案为 0【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0，a，b，c 为常数）的根的判别式=b24ac当0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程没有实数根注意本题答案不唯一，只需满足 m 即可13若矩形 ABCD的两邻边长分别为一元二次方程 x27x+12=0 的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为 5 【考点】矩形的性质；解一元二次方程-因式分解法；勾股定理【专题】压轴题【分析】首先解方程求得方程的两个根，即可求得矩形的两边长，然后利用勾股定理即可求得对角线长【解答】解：方程 x27x+12=0，即（x3）（x4）=0，则 x3
19、=0，x4=0，解得：x 1=3，x 2=4则矩形 ABCD的对角线长是： =5故答案是：5【点评】本题考查了一元二次方程的解法以及矩形的性质，正确解方程求得矩形的边长是关键解一元二次方程的基本思想是降次14某公司在 2014年的盈利额为 200万元，预计 2016年的盈利额将达到 242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在 2015年的盈利额为 220 万元【考点】一元二次方程的应用【专题】增长率问题【分析】可通过设出营业额增长的百分率 x，根据等量关系“2016 年的营业额等于 2014年的营业额乘（1+增长的百分率）乘（1+增长的百分率）”列出一元二次方程求解增长的百分率，再通过一元一次方程解得：2015 年的盈利额等于 2014年的营业额乘（1+增长的百分率）【解答】解：设盈利额增长的百分率为 x，则该公司在 2015年的盈利额为 200（1+x）；由题意得，200（1+x） 2=242，解得 x=0.1或2.1（不合题意，舍去），故 x=0.1该公司在 2015年的盈利额为：200（1+x）=220 万元故答案为：220【点评】此题考查增长率的定义，同学们应加强培养对应用题的理解能力，判断出题干信息，列出一元二次方程去求解三、解答题
