1、【解析】山东省实验中学 2015 届高三第二次诊断性考试理科数学试题【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面. 试题重点考查：集合、不等式、导数函数的应用、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、数列等；【题文】一、选择题（本题包括 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.每小题只有一个选项符合题意）【题文】1.集合 ，则下列结论正确的是2,1,0xAyRBA. B.0,1
2、BC. D.RC,RCA【知识点】集合及其运算 A1【答案】D【解析】A=yR|y=2 x=yR|y0，C RA=yR|y0，又 B=-1，0 ，1，（C RA）B=-1，0【思路点拨】本题利用直接法，先利用指数函数的值域性质化简集合 A，再求 CRA，最后求出 A、B 的交、并及补集等即可【题文】2.“ ”是“ ”的2ablnabA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【知识点】充分条件、必要条件 A2【答案】B【解析】2 a2 bab ，当 a0 或 b0 时，不能得到 InaInb，反之由 InaInb 即：ab 0 可得 2a2 b 成立,所以 2a
3、2 b”是“InaInb”的必要不充分条件【思路点拨】分别解出 2a2 b，InaInb 中 a，b 的关系，然后根据 a，b 的范围，确定充分条件，还是必要条件【题文】3.已知 ，则 的值为1,sinco， 且 cosA. B. C. D.7474743【知识点】二倍角公式 G6【答案】B【解析】把 sina+cosa= ，两边平方得：1+2sincos= ，1214即 1+sin2= ，解得 sin2=- ，434又 sina+cosa= sin（+ ）= ，解得：sin（+ ）= ，12421得到：0+ （舍去）或 + ，46564解得 ，所以 2（ ， ），7123732则 cos2=
4、- =- 2()4【思路点拨】把已知的等式两边平方，利用二倍角的正弦函数公式即可求出 sin2 的值，然后在把已知的等式提取 ，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦的值，判断得到 的范围，进而得到 2 的范围，利用同角三角函数间的基本关系由 sin2 的值和2 的范围即可求出 cos2a 的值【题文】4.已知函数 的定义域为 为偶函数，则实数 的值可以是fx32,1afx， 且 aA. B.2 C.4 D.623【知识点】函数的奇偶性 B4【答案】B【解析】因为函数 f（x+1）为偶函数，则其图象关于 y 轴对称，而函数 f（x）的图象是把函数 f（x
5、+1）的图象向右平移 1 个单位得到的，所以函数 f（x）的图象关于直线x=1 对称又函数 f（x）的定义域为（3-2a，a+1） ，所以（3-2a）+（a+1）=2，解得：a=2【思路点拨】函数 f（x+1）为偶函数，说明其定义域关于“0”对称，函数 f（x）的图象是把函数 f（x+1）的图象向右平移 1 个单位得到的，说明 f（x）的定义域（ 3-2a，a+1）关于“1” 对称，由中点坐标公式列式可求 a 的值【题文】5.设函数 图象的一条对称轴方程是sinco2fxA. B. C. D. 4x04x2x【知识点】三角函数的图象与性质 C3【答案】D【解析】f（x）=sinxcos2x，f
6、（- ）=sin（- ）cos2（- ）=1f（0）=0，2函数 f（x）=sinxcos2x 图象不关于 x=- 对称，排除 A；4f（-x）=sin （-x ）cos2（-x ）=-sinxcos2x=-f（x），f（x）=sinxcos2x 为奇函数，不是偶函数，故不关于直线 x=0 对称，排除 B；又 f（ ）=sin cos（2 ）=-1f（0 ）=0，故函数 f（ x）=sinxcos2x 图象不关于 x= 对称，排除22 4C；又 f（-x）=sin （-x ）cos2（-x）=sinxcos2x=f（x）f（x）关于直线 x= 对称，故 D 正确2【思路点拨】利用函数的对称性对
7、 A、B 、C 、D 四个选项逐一判断即可【题文】6.若方程 有实数根，则所有实数根的和可能是24xmA. B. C. D. 246、 、 56、 、 345、 、 468、 、【知识点】函数与方程 B9【答案】D【解析】函数 y=|x2+4x|由函数 y=x2+4x 的图象纵向对折变换所得：如下图所示：由图可得：函数 y=|x2+4x|的图象关于直线 x=-2 对称，则方程|x 2+4x|=m 的实根也关于直线 x=-2 对称，当 m0 时，方程 |x2+4x|=m 无实根，当 m=0 或 m4 时，方程|x 2+4x|=m 有两个实根，它们的和为-4，当 0m 4 时，方程|x 2+4x|
8、=m 有四个实根，它们的和为-8，当 m=4 时，方程|x 2+4x|=m 有三个实根，它们的和为-6，【思路点拨】函数 y=|x2+4x|由函数 y=x2+4x 的图象纵向对折变换所得，画出函数图象可得函数 y=|x2+4x|的图象关于直线 x=-2 对称，则方程|x 2+4x|=m 的实根也关于直线 x=-2 对称，对 m 的取值分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案【题文】7.要得到一个奇函数，只需将函数 的图象sin23cosfxxA.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位66C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位 43【知识点】三角函数的图象与性质 C3【答案】A【解析】f（x）=
9、sin2x- cos2x=2sin（2x- ）3根据左加右减的原则，只要将 f（x）=sin2x- cos2x 的图象向左平移 个单位36即可得到函数 y=2sin2x 的图象，显然函数 y=2sin2x 为奇函数，故要得到一个奇函数，只需将函数 f（x）=sin2x- cos2x 的图象向左平移 个单位【思路点拨】先根据两角和与差的公式将 f（x）=sin2x- cos2x 化简，再根据左加右减的原则进行平移3从而可得到答案【题文】8.定义在 R 上的偶函数满足 ，则31,022ffxff且的值为123014fffA.2 B.1 C.0 D.【知识点】函数的周期性 B4【答案】B【解析】由
10、f（x）满足 ），即有 f（ x+3）=f（-x），33()()22fxf由 f（x）是定义在 R 上的偶函数，则 f（-x）=f（x），即有 f（x+3）=f （x），则 f（x）是以 3 为周期的函数，由 f（-1）=1，f（0）=-2 ，即 f（2）=1 ，f （3 ）=-2 ，由 f（4）=f（-1）=1，即有 f（1）=1 则 f（1）+f（2 ）+f （3）+f（2014）= （1+1-2）+f（1）=0671+1=1【思路点拨】由 f（x）满足 ，即有 f（x+3 ）=f（-x），由 f（x）是定义在 R 上的偶()()2fxf函数，则 f（-x）=f（x），即有 f（x+3 ）
11、=f（x），则 f（ x）是以 3 为周期的函数，求出一个周期内的和，即可得到所求的值【题文】9.在 中，若 的形状一定是ABCsin1cosinABCA， 则 BCA.等边三角形 B.不含 的等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 60o【知识点】解三角形 C8【答案】D【解析】sin（A-B ）=1+2cos（B+C）sin（A+C） ，sin（A-B）=1-2cosAsinB ，sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB，sinAcosB+cosAsinB=1 ，sin（A+B） =1，A+B=90，ABC 是直角三角形【思路点拨】利用三角形的内角和，结合差角的余弦公
12、式，和角的正弦公式，即可得出结论【题文】10.函数 的性质：221610fxx 的图象是中心对称图形： 的图象是轴对称图形；fxf函数 的值域为 ； 方程 有两个解.上述关于函数 的描述正确3, 10fxfx的是A. B. C. D.【知识点】单元综合 B14【答案】C【解析】函数 f（x）的最小值为 |AB|= ，函数的值域 ， +)，显然正确；223(1)313由函数的值域知，函数图象不可能为中心对称图形，故错误；又直线 AB 与 x 轴交点的横坐标为 ，显然有 f( -x)=f( +x)，函数的图象关于直线 x= 对称，故正确；令 t=f（ x），由 f(t)=1+ 得 t=0 或 t=
13、3，由函数的值32 0域可知不成立，方程无解，故错误，【思路点拨】由函数的几何意义可得函数的值域及单调性，结合函数的值域和单调性逐个选项验证即可作出判断第 II 卷（非选择题 共 100 分）【题文】二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分.将答案填在题中横线上.【题文】11.定积分 _.102xed【知识点】定积分与微积分基本定理 B13【答案】e【解析】 (2x+ex)dx=（x 2+ex） =（1 2+e1）-（0 2+e0）=e100【思路点拨】根据积分计算公式，求出被积函数 2x+ex 的原函数，再根据微积分基本定理加以计算，即可得到本题答案【题文】12.如果
14、，那么 _.2tansi5incosfx2f【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式 C2【答案】- 65【解析】f（tanx）=sin 2x-5sinxcosx= = ，22sin5icosxx2tan5t1xf（x）= ，则 f（2）=- 251x65【思路点拨】把已知函数解析式的分母 1 化为 sin2x+cos2x，然后分子分母同时除以 cos2x，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，可确定出 f（x）的解析式，把 x=2 代入即可求出 f（2）的值【题文】13.函数 ，则不等式 的解集为_.sincofxln1ff【知识点】函数的单调性与最值 B3【答案】( ， e)1【解析】
15、函数 f（x）=xsinx+cosx+x 2，满足 f（-x）=-xsin（-x）+cos（-x）+（-x） 2=xsinx+cosx+x2=f（x），故函数 f（x）为偶函数由于 f（x）=sinx+xcosx-sinx+2x=x（2+cosx），当 x0 时，f（x）0，故函数在（0，+）上是增函数，当 x0 时，f（x）0，故函数在（-，0）上是减函数不等式 f（lnx）f（1）等价于-1lnx1， xe，1【思路点拨】首先判断函数为偶函数，利用导数求得函数在（0，+）上是增函数，在（-，0 ）上是减函数，所给的不等式等价于-1lnx1，解对数不等式求得 x 的范围，即为所求【题文】14
16、.已知 的一个内角为 ，并且三边长构成公差为 4 的等差数列，则 的面积为ABC120o ABC_.【知识点】解三角形 C8【答案】15 3【解析】设三角形的三边分别为 x-4，x，x+4，则 cos120= ，222(4)()1xx化简得：x-16=4-x，解得 x=10，所以三角形的三边分别为： 6，10，14则ABC 的面积 S= 610sin120=15 123【思路点拨】因为三角形三边构成公差为 4 的等差数列，设中间的一条边为 x，则最大的边为 x+4，最小的边为 x-4，根据余弦定理表示出 cos120的式子，将各自设出的值代入即可得到关于 x 的方程，求出方程的解即可得到三角形
17、的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积【题文】15.设函数 ，有以下 4 个命题：lnfx对任意的 ；1212120, fxfxf、 ， 有对任意的 ；12122121,xffx、 ， 且 ， 有对任意的 ；1exx、 ， 且 ， 有对任意的 ，总有 ，使得 .120x012,120ffxf其中正确的是_ （填写序号）.【知识点】函数的单调性与最值 B3【答案】【解析】：f（x）=lnx 是（ 0，+ ）上的增函数，对于由 f( )=ln ， =ln =， 12x12x12()ffx1212x1x故 f( ) 故错误对于，不妨设 x1x 2 则有 f（x 1）f （x
18、2），12(f故由增函数的定义得 f（x 1）-f（x 2）x 2-x1 故正确，由不等式的性质得 x1f（x 1）x 2f（x 2），故错误；对于令 e=x1x 2=e2，得 = 1 ，12()ff2ex 0（ x1，x 2），f（x 0）f（x 1）=1 ，不满足 f(x0) 故错误12()fx【思路点拨】利用对数函数的单调性性质求解即可【题文】三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.【题文】16.（本小题满分 12 分）已知函数 .223sincosinfxxx（I）求 及 的单调递增区间；（II）求 在闭区间 的最值.6ffxf,4【知识点】三角函数的图象与性质 C3【答案】 （
19、I） ，- +k , + k ,k （II）最大值为 1，最小值为-32512Z2【解析】 （I）f(x)= sin2x+ cos2x=sin(2x+ ),则 f( )= ,36322x+ ，k2k32Z单调递增区间- +k , + k ,k .51（II）由 则 2x+ ，sin(2x+ ) - ,1,x,435,6312所以最大值为 1，最小值为- 。2【思路点拨】先化简再求单调区间，求出最值。【题文】17.（本小题满分 12 分）设命题 p：函数 在区间 上单调递减；命题 q：31fxa,函数 的值域是 R.如果命题 为真命题， 为假命题，求 的取值范围.2ln1yxaq或 pq且 a【
20、知识点】命题及其关系 A2【答案】【解析】p 为真命题 在 上恒成立，在 上恒成立 q 为真命题 恒成立 由题意 p 和 q 有且只有一个是真命题P 真 q 假 p 假 q 真综上所述： . 【思路点拨】由函数 在区间-1，1上单调递减转化为其导函数 在-1 ，1 上恒成立，分离变量可求解；由函数 的值域是 R 转化为 对任意的实数有意义，因此其判别式 .再结合两命题的真假分类讨论求解 的取值范围.【题文】18.（本小题满分 12 分）在 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是 ，已知,abc.23cC，（I）若 的面积等于 ，求 ；AB3,ab（II）若 ，求三角形的面积.sin2sinA【
21、知识点】解三角形 C8【答案】 （I）a=b=2（II）3【解析】 （I）SABC= absin60=3ab=412由余弦定理得 4=a+b-2ab a+b=8(a-b)=8-24=0,a=b=2（II）sinC+sin(B-A)=2sin2Asin-(A+B)+sin(B-A)=2sin2Asin(A+B)+sin(B-A)=2sin2AsinAcosB+cosAsinB+sinBcosA-cosBsinA=2sin2A2sinBcosA=2sinAcosAcosA(sinA-sinB)=0当 cosA=0,即 A=90时 B=180-90-60=30由正弦定理 得 a= ,b=sin90i
22、3sin60abc432S=1/2absinC=23/3 当 sinA=sinB 时 A=B 或 A=-B(舍去 )则 A=B=60ABC 是等边三角形 a=b=c=2,S= =32【思路点拨】根据余弦定理求出边，根据正弦定理求出面积。【题文】19.（本小题满分 12 分）已知数列 满足， .na*143nanN（I）若数列 是等差数列，求 的值；na1（II）当 时，求数列 的前 n 项和 ；12anS【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和 D2【答案】 （1）a 1=- （II）略【解析】 （1）若数列a n是等差数列，则 an=a1+（n-1）d，a n+1=a1+nd由 an+1+a
23、n=4n-3，得（a 1+nd）+a 1+（n-1）d=4n-3，即 2d=4，2a 1-d=-3，解得，d =2， a1=- （2）当 n 为奇数时，S n=a1+a2+a3+a_=a1+（a 2+a3）+（a 4+a5）+（a n-1+an）=2 +42+4+(n-1)-3 =235当 n 为偶数时，S n=a1+a2+a3+an=（a 1+a2）+（a 3+a4）+ （a n-1+an）=1+9+（4n-7）= 2【思路点拨】 （1）根据数列a n是等差数列，写出通项 an=a1+（n-1）d，a n+1=a1+nd ，结合 an+1+an=4n-3，可求 a1 的值；（2）分类讨论：n
24、 为奇数，S n=a1+（a 2+a3）+ （a 4+a5）+ （a n-1+an） ； n 为偶数，Sn=a1+a2+a3+an=（a 1+a2）+（a 3+a4）+（a n-1+an） 进行分组求和即可【题文】20.（本小题满分 13 分）已知函数 的图像关于 y 轴对称，其图像32fxbcxde过点 ，且在 处有极大值 .0,A2x18（I）求 的解析式；f（II）对任意的 ，不等式 恒成立，求 t 的取值范围.xR20fxt【知识点】导数的应用 B12【答案】 （I）f（x）=-2x 4+3x2-1（II）7-4 ，+）3【解析】 （I） f（x）关于 y 轴对称，f （x）为偶函数，
25、即 f（x）=f（-x ），a（-x ） 4+b（ -x） 3+c（-x） 2+d（-x）+e=ax 4+bx3+ax2+dx+e 得 b=d=0，图象过 A（0，-1）得 e=-1，f（x）=ax 4+cx2-1 又 f（x ）在 x= 处有极大值 ，318f ( )=0 且 f( )= ，解得 a=-2，c=3，f（x）=-2x 4+3x2-1；3218（2）f（x）t （x 2+1），t =42312()7(1)6x=7-2(x2+1)+ 7 -2(x2+1)+ 7-4 ，当且仅当 2(x2+1)=2626即 x2= -1 的取等号，t 的取值范围为7-4 ，+）33【思路点拨】 （1）
26、先根据函数 f（x）=ax 4+bx3+cx2+dx+e 的图象关于 y 轴对称，求出 b 和 d 的值，再根据函数的图象经过点（0，-1 ）求出 e，然后根据在 x= 处有极大值 ，建立一等量关系，再根据切点在18曲线上建立一等式关系，解方程组即可求得结果；（2）根据对任意 xR，不等式 f（x）-tx 2-t0恒成立，分离参数，进而利用基本不等式即可求得结果【题文】21.（本小题满分 14 分）已知函数 上有两个极值点 且3210fxax在 ， 12x，.（I）求实数 的取值范围；（II）证明： .12xa2【知识点】导数的应用 B12【答案】 （1）0a （2）略【解析】 （1）解：f
27、（x）= x3+x2+ax+1，f（x）=2x 2+2x+a，由题意知方程 2x2+2x+a=0 在（-1，0）上有两不等实根，设 g（x）=2x 2+2x+a，其图象的对称轴为直线 x=- ，故有 ，解得 0a(1)0()()2ag12（2）证明：由题意知 x2 是方程 2x2+2x+a=0 的大根，从而 x2（- ，0），1由于 0a ，ax 2 x2，f（x 2）= x23+x22+ax2+1 x23+x22+ x2+1，1设 h（x）= x3+x2+ x+1，x（- ，0），h（x）=2（x+ ） 2+ 01h（x）在（- ，0）递增，h（x）h（- ）=21，即 f（x 2） 成立。1【思路点拨】 （1）求导数知方程 2x2+2x+a=0 在（-1，0）上有两不等实根，可得 ，即可求实数 a 的取值范围；()01()()2ga（2）确定 ax2 x2，可得 f（x 2）= x23+x22+ax2+1 x23+x22+ x2+1，1设 h（x）= x3+x2+ x+1，x（- ，0），h （x）在（- ，0 ）递增，即可证明结论11
