1、【解析】河北衡水中学 2015 届高三上学期第五次调研考试数学理试题【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本能力为载体， ，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、程序框图、导数、数列、三角函数的性质，统计概率等；考查学生解决实际问题的能力。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1设集合 A=xI-l0)上有一点 P，过 P 作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为 A，B，平行四边形 OBPA 的面积为 1，则双曲线的离心率为A B c
2、D【知识点】双曲线及其几何性质 H6【答案】C【解析】渐近线方程是：xay=0，设 P（m ，n）是双曲线上任一点，过 P 平行于 OB：x+ay=0 的方程是：x+ay-m-an=0 与 OA 方程：x-ay=0 交点是A（ ， ） ，|OA|=| | ，P 点到 OA 的距离是：d=2man2a2121man|OA|d=1，| | . =1，212na -n2=1，a=2 ，c= ，e= m5【思路点拨】求出|OA|，P 点到 OA 的距离，利用平行四边形 OBPA 的面积为 1，求出 a，可得 c，即可求出双曲线的离心率【题文】12已知函数 f(x)= ,若关于 x 的方程 f(x)=
3、有三个不同的实根，则实数 a 的取值范围是A B c D【知识点】函数与方程 B9【答案】D【解析】如图，直线 y=x-a 与函数 y=f（x）=e x-1 的图象在 x0 处有一个切点，切点坐标为（0，0） ，此时 a=0；直线 y=|x-a|与函数 y=-x2-2x 的图象在 x0 处有两个切点，切点坐标分别是( - ， )和( - ， )，此时1234相应的 a= ，a =- ，观察图象可知，方程 f（x）=|x-a|有三个不同的实根时，实数 a 的取值范围是( -149， 0) (0， )94【思路点拨】求出直线 y=x-a 与函数 y=f（x）=e x-1 的图象在 x0 处有一个切
4、点、直线 y=|x-a|与函数 y=-x2-2x 的图象在 x0 处有两个切点时，a 的值，利用函数图象，即可求出实数 a 的取值范围【题文】第卷二、填空题：本大题其 4 小题岳小题 5 分其 20 分把答案埴在答题卡中【题文】13二项式 的展开式中常数项为 (用数字作答)【知识点】二项式定理 J3【答案】-10【解析】 ， ，得 r=3, 常数项为-1015321()rrrTCx5231(1)rrTCx【思路点拨】先写出通项在求出常数项。【题文】14已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(2)=1 且对任意 都有 f(x+3)=f(x)，则 f(2014)= 【知识点】函数的奇偶性与周期
5、性 B4【答案】1【解析】由 f(x+3)=f(x)得 T=3，则 f(2014)=f（1）=f(-2), f(x)是定义在 R 上的偶函数,所以 f(2014)=f（2）=1【思路点拨】根据函数的奇偶性和周期性求解。【题文】15已知三棱锥 PABC 的所有棱长都相等，现沿 PA，PB，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为 2 ，则三棱锥 PABC 的内切球的表面积为 【知识点】多面体与球 G8【答案】3【解析】三棱锥 P-ABC 展开后为一等边三角形，设边长为 a，则 4 = ，a=6 ，6sinaA2三棱锥 P-ABC 棱长为 3 ，三棱锥 P-AB
6、C 的高为 2 ，23设内切球的半径为 r，则 4 rS ABC= S ABC2 ，13r= ，三棱锥 P-ABC 的内切球的表面积为 4 =332 r【思路点拨】根据平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长，再根据棱长求出高，然后根据表面积公式计算即可【题文】16已知等差数列 的通项公式为 an=3n-2，等比数列bn中，b1=a1,b4=a3+1.记集合 A =，B= ，UAUB，把集合 U 中的元素按从小到大依 次排列，构成数列c。)，则数列cn)的前 50 项和 S5o= 【知识点】单元综合 D5【答案】3321【解析】根据数列a n和数列b n的增长速度，数列c n的前 50 项至多在数
7、列a n中选 50 项，数列a n的前50 项所构成的集合为1，4 ， 7，10，148，由 2n-1148 得，n8，数列b n的前 8 项构成的集合为1，2，4，8，16 ，32，64 ，128，其中1，4，16，64 是等差数列a n中的项，2，8 ，32，128 不是等差数列中的项，a 46=136128，故数列c n的前 50 项应包含数列a n的前 46 项和数列b n中的 2，8，32 ，128 这 4 项所以 S50= +2+8+32+128=332146()a【思路点拨】根据数列a n和数列b n的增长速度，判断数列c n的前 50 项中包含a n、b n的项的情况，再根据等
8、差数列求和公式即可得到结果三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【题文】17(本小题满分 12 分)在 AABC 中，A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 3acos A=cosB+bcos C(1)求 COS A 的值；(2)若 a=2 ，COS B+cosC= ，求边 c【知识点】解三角形 C8【答案】(1) (2)313【解析】(1)由 3acos A=cosB+bcos C 及正弦定理得：3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin(B-C), 3sinAcosA=sinA,A sinA0, cosA= .(0,)13(2) cosB-cosC= ,
9、cos( -A-C)+cosC= ,2323又 cosA= ， sinA= ， cosC+ sinC= ,1又 , sinC= ,22cosinC63, c=3iiaA【思路点拨】根据正弦定理及三角形中角的关系求得。【题文】18(本小题满分 12 分)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000 元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的分布列；(2)若在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率【知识点】离散型随机变量及其分布列 K6【
10、答案】(1)略(2)0.896【解析】(1)设 A 表示事件作物产量为 300kg，B 表示事件作物市场价格 6 元/kg由题设知 P(A)=0.5，P(B)=0.4利润=产量 市场价格-成本， X 可能的取值为500 10-1000=4000,500 6-1000=2000,300 10-1000=2000,300 6-1000=800P(X=4000)=(1-0.5) (1-0.4)=0.3, P(X=2000)= (1-0.5) 0.4+0.5(1-0.4)=0.5P(X=800)=0.5 0.4=0.2X 的分布列为X 4000 2000 800P 0.3 0.5 0.2(2)设 表示
11、事件第 i 季利润不少于 2000 元（i=1,2,3 ）iC由题意得 ， ， 相互独立，由（1）知123P( )=P(X=4000)+ P(X=2000)-0.3+0.5-0.8iP= + =0.89630.82.0C【思路点拨】根据 X 可能的值求出相应的概率，根据相互独立事件的概率求出结果。【题文】19(本小题满分 12 分)如图，在三棱柱 ABCA1B1 C1 中，四边形 A1ABB1 为菱形，四边形 BCClB，为矩形，若 AC=5，AB=4，BC=3(1)求证：AB1 平面 A1BC；(2)求二面角 C-AA1-B 的余弦值【知识点】单元综合 G12【答案】 （1）略（2 ） 34
12、17【解析】 （1）证明：在ABC 中 AC=5，AB=4，BC=3，所以ABC=90，即 CBAB，又因为四边形 BCC1B1 为矩形，所以 CBBB 1，因为 ABBB1=B，所以 CB平面 AA1B1B，又因为 AB1平面 AA1B1B，所以 CBAB 1，又因为四边形 A1ABB1 为菱形，所以 AB1A 1B，因为 CBA1B=B 所以 AB1面 A1BC；（2）解：过 B 作 BDAA 1 于 D，连接 CD因为 CB平面 AA1B1B，所以 CBAA 1，因为 CBBD=B，所以 AA1面 BCD，又因为 CD面 BCD，所以 AA1CD，所以，CDB 就是二面角 C-AA1-B
13、 的平面角在直角ADB 中，AB=4 ，DAB=45，ADB=90，所以 DB=2 2在直角CDB 中，DB=2 ，CB=3，所以 CD= ，217所以 cosCDB= = 1734【思路点拨】 （1）证明 AB1 面 A1BC，只需证明 AB1A 1B，CBAB 1，证明 CB平面 AA1B1B，利用四边形 A1ABB1 为菱形可证；（2）过 B 作 BDAA 1 于 D，连接 CD，证明CDB 就是二面角 C-AA1-B 的平面角，求出 DB，CD ，即可求二面角 C-AA1-B 的余弦值【题文】20(本小题满分 12 分)以椭圆 c： =1(ab0)的中心 0 为圆心，以 为半径的圆称为
14、该椭圆的“伴随” 已知椭圆 C 的离心率为 ，且过点 (1)求椭圆 C 及其“伴随”的方程；(2)过点 P(0，m)作“伴随”的切线 交椭圆 C 于 A，B 两点，记AOB(O 为坐标原点)的面积为 ，求 的最大值【知识点】椭圆及其几何性质 H5【答案】 （1）x 2+y2=1 (2)1【解析】 （1）椭圆 C 的离心率为 ，即 c= a，由 c2=a2-b2，则 a=2b，32设椭圆 C 的方程为 椭圆 C 过点( ， )214yxb13214bb=1，a=2，以 为半径即以 1 为半径，2a椭圆 C 的标准方程为 +x2=1，椭圆 C 的“ 伴随”方程为 x2+y2=14y（2）由题意知，
15、|m|1易知切线 l 的斜率存在，设切线 l 的方程为 y=kx+m，由 得( +4) +2k mx+m2-4=0，214ykxm2设 A，B 两点的坐标分别为（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，则 x1+x2=- ，x 1x2= k4k又由 l 与圆 x2+y2=1 相切，所以 =1，k 2=m2-12m所以| AB|= = ，21k21()4x23则 S AOB= |AB|= ，|m|123mS AOB= 1（当且仅当 m= 时取等号）所以当 m= 时，S AOB 的最大值为 133【思路点拨】 （1）由椭圆 C 的离心率，结合 a，b，c 的关系，得到 a=2b，设椭圆方程，再
16、代入点( ， )，即可得到椭圆方程和“伴随” 的方程；23（2）设切线 l 的方程为 y=kx+m，联立椭圆方程，消去 y 得到 x 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得到 AB 的长，由 l 与圆 x2+y2=1 相切，得到 k，m 的关系式，求出三角形 ABC 的面积，运用基本不等式即可得到最大值【题文】21(本小题满分 12 分)设函数 f(x)= +aln(x+1)(1)若函数 y=f(x)在区间 上是单调递增函数，求实数以的取值范围；(2)若函数 y=f(x)有两个极值点 x1，x2 且 x1x2，求证：【知识点】导数的应用 B12【答案】 （）-4，+ ） （）略【解析】 （
17、）根据题意知：f（x）= 0 在1，+）上恒成立21xa即 a-x2-2x 在区间1 ，+ ）上恒成立-2x 2-2x 在区间1 ，+ ）上的最大值为-4，a-4；经检验：当 a=-4 时，f (x)= 0，x1，+） 241a 的取值范围是-4 ，+） （）f (x)= =0 在区间（-1，+）上有两个不相等的实数根，21xa即方程 2x2+2x+a=0 在区间（-1，+）上有两个不相等的实数根记 g（x）=2x 2+2x+a，则有 ，解得 0 a 12()f12x 1+x2=-1， 2x22+2x2+a=0，x 2=- + ， - x2 011 2221()()ln()f令 k(x)= ，
18、 x (- ， 0)2()l(1xk(x)= p(x)= 2ln12ln(1)xp (x)= ，p (- )=-4， p(0)=2236)x12在 x0 (- ， 0)使得 p（x 0）=0 当 x (- ， x0)，p（x）0；11当 x（x 0，0）时，p（x）0而 k（x）在( - ， x0)单调递减，在（x 0，0）单调递增，2k (- )=1-2ln2 0 k(0)=0，当 x (- ， 0)， k(x) 0，k（x）在( - ， 0)单调递减，1即 0 - +ln221f【思路点拨】 （）已知原函数的值为正，得到导函数的值非负，从而求出参量的范围；（）利用韦达定理，对所求对象进行消元，得到一个新的函数，对该函数求导后，再对导函数求导，通过对导函数的导导函数的研究，得到导函数的最值，从而得到原函数的最值，即得到本题结论请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分【题文】22(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图所示，圆 0 的直径为 BD，过圆上一点 A 作圆 O 的切线 AE，过点 D 作DE AE 于点 E，延长 ED 与圆 O 交于点 C(1)证明：DA 平分 BDE(2)若 AB=4，AE=2，求 CD 的长
