1、【名师解析】山东省青岛市 2015 届高三 3 月统一质量检测数学（理）一、选择题：本大题共 10 小题每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）（2015青岛一模）设 i 为虚数单位，复数 等于（ ）A 1+i B 1i C 1i D 1+i【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值【解析】： 解： = 故选：D【点评】： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题2（5 分）（2015青岛一模）设全集 I=R，集合 A=y|y=log2x，x2 ，B=x|y= ，则（
2、 ）A AB B AB=A C AB= D A（ IB）【考点】： 集合的包含关系判断及应用【专题】： 计算题；集合【分析】： 化简集合 A，B，即可得出结论【解析】： 解：由题意，A=y|y=log 2x，x2= （1，+），B=x|y= =1.6故选 B【点评】： 本题考查茎叶图、平均数和方差，对于一组数据通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，方差，它们分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题4（5 分）（2015青岛一模）“ nN*，2a n+1=an+an+2”是“数列a n为等差数列”的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D 即不充分也不
3、必要条件【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列的性质【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 由 2an+1=an+an+2，可得 an+2an+1=an+1an，可得数列a n为等差数列；若数列a n为等差数列，易得 2an+1=an+an+2，由充要条件的定义可得答案【解析】： 解：由 2an+1=an+an+2，可得 an+2an+1=an+1an，由 n 的任意性可知，数列从第二项起每一项与前一项的差是固定的常数，即数列a n为等差数列，反之，若数列a n为等差数列，易得 2an+1=an+an+2，故“nN *，2a n+1=an+an+2”是“数列a n为等差数列
4、”的充要条件，故选 C【点评】： 本题考查充要条件的判断，涉及等差数列的判断，属基础题5（5 分）（2015青岛一模）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的 x 的值是（ ）A 2 B C D 3【考点】： 简单空间图形的三视图【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： 根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高 x 即可【解析】： 解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V= =3x=3故选 D【点评】： 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键6（5 分）（2015青岛一模）已知双曲线 =1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线 l：x+2y+5=0，双
5、曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为（ ）A =1 B =1C =1 D =1【考点】： 双曲线的标准方程【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 由已知得 ，由此能求出双曲线方程【解析】： 解：双曲线 =1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线 l 上， ，解得 a=2 ，b= ，双曲线方程为 =1故选：A【点评】： 本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用7（5 分）（2015青岛一模）设 m，n 是不同的直线， 是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A 若 m，n ，m n，则 B 若 m，
6、n ，mn，则 C 若 m，n ，mn ，则 D 若 m，n ，mn，则 【考点】： 平面与平面之间的位置关系【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理即可判断出答案【解析】： 解：选择支 C 正确，下面给出证明证明：如图所示：mn，m、n 确定一个平面 ，交平面 于直线 lm，ml，lnn， l，l， 故 C 正确故选 C【点评】： 正确理解和掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理是解题的关键8（5 分）（2015青岛一模）函数 y=4cosxe|x|（e 为自然对数的底数）的图象可能是（ ）A B C D 【考点
7、】： 函数的图象【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 先验证函数 y=4cosxe|x|是否具备奇偶性，排除一些选项，在取特殊值 x=0 时代入函数验证即可得到答案【解析】： 解：函数 y=4cosxe|x|，f（x）=4cos（x）e |x|=4cosxe|x|=f（x），函数 y=4cosxe|x|为偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 BD，又 f（0）=y=4cos0e |0|=41=3，只有 A 适合，故选：A【点评】： 本题主要考查函数的图象，关于函数图象的选择题，通常先验证奇偶性，排除一些选项，再代特殊值验证，属于中档题9（5 分）（2015青岛一模）对于函数 y=sin（2x
8、），下列说法正确的是（ ）A 函数图象关于点（ ，0）对称B 函数图象关于直线 x= 对称C 将它的图象向左平移 个单位，得到 y=sin2x 的图象D 将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的 倍，得到 y=sin（x ）的图象【考点】： 函数 y=Asin（x+）的图象变换；正弦函数的图象【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： A，将 x= 代入可得 y0，故不正确；B，将 x= 代入可得：y= 1，由正弦函数的图象和性质可知正确；C，求出平移后的函数解析式即可判断D，求出平移后的函数解析式即可判断【解析】： 解：A，将 x= 代入可得：y=sin（2 ）=1，故不正确；B，将 x= 代入
9、可得：y=sin（2 ）= 1，由正弦函数的图象和性质可知正确；C，将它的图象向左平移 个单位，得到 y=sin=sin（2x+ ）的图象，故不正确；D，将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的 倍，得到函数 y=sin（4x ）的图象，故不正确故选：B【点评】： 本题考查正弦函数的对称性、周期性，考查综合分析与应用能力，属于中档题10（5 分）（2015青岛一模）已知点 G 是 ABC 的外心， 是三个单位向量，且 2 + + = ，如图所示，ABC 的顶点 B，C 分别在 x 轴的非负半轴和 y 轴的非负半轴上移动，O 是坐标原点，则| |的最大值为（ ）A B C 2 D 3【考点】： 向量
10、的加法及其几何意义【专题】： 平面向量及应用【分析】： 根据题意，得出：G 是 BC 的中点，ABC 是直角三角形，且斜边 BC=2；点 G 的轨迹是以原点为圆心、1 为半径的圆弧；OA 经过 BC 的中点 G 时，| |取得最大值为 2| |【解析】： 解：点 G 是ABC 的外心，且 2 + + = ，点 G 是 BC 的中点，ABC 是直角三角形，BAC 是直角；又 是三个单位向量，BC=2；又ABC 的顶点 B、C 分别在 x 轴和 y 轴的非负半轴上移动，点 G 的轨迹是以原点为圆心、1 为半径的圆弧；又| |=1，OA 经过 BC 的中点 G 时，| |取得最大值，最大值为 2|
11、|=2故选：C【点评】： 本题考查了平面向量的加法与减法的几何意义与应用问题，是基础题目二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分11（5 分）（2015青岛一模）已知函数 f（x）=tanx+sinx+2015，若 f（m）=2，则 f（m）= 4028 【考点】： 函数奇偶性的性质【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 根据解析式得出 f（x）+f（x）=4030，f（m）+f（m）=4030，即可求解【解析】： 解：函数 f（x）=tanx+sinx+2015，f（x）=tanx sinx+2015，f（x）+f （x）=4030，f（m）+f （ m）=4030，f（
12、m）=2，f（m）=4028故答案为：4028【点评】： 本题考查了函数的性质，整体运用的思想，属于容易题，难度不大12（5 分）（2015青岛一模）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 132 ；【考点】： 程序框图【专题】： 图表型；算法和程序框图【分析】： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 s，i 的值，当 i=10 时，不满足条件i11，退出循环，输出 s 的值为 132【解析】： 解：模拟执行程序框图，可得i=12，s=1满足条件 i11，s=12，i=11满足条件 i11，s=132，i=10不满足条件 i11，退出循环，输出 s 的值为 132故答案为：132【点评】：
13、 本题主要考查了程序框图和算法，依次正确写出每次循环得到的 s，i 的值是解题的关键，属于基本知识的考查13（5 分）（2015青岛一模）设 a=12（3x 22x）dx，则二项式（ax 2 ） 6 展开式中的第 6 项的系数为 24 【考点】： 定积分；二项式系数的性质【专题】： 导数的概念及应用；二项式定理【分析】： 先根据定积分的计算法则求出 a 的值，再根据二项式展开式的通项公式求出第 6 项的系数【解析】： 解：a= 12（3x 22x）dx=（x 3x2）| =4，（ax 2 ） 6=（4x 2 ） 6，T k+1= ，T 6=T5+1= 4x3，=24x 3，展开式中的第 6 项
14、的系数为24，故答案为：24【点评】： 本题考查了定积分的计算法则和根据二项式展开式的通项公式，属于与基础题14（5 分）（2015青岛一模）若目标函数 z=kx+2y 在约束条件 下仅在点（1，1）处取得最小值，则实数 k 的取值范围是 （4，2） 【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出 k 的取值范围【解析】： 解：作出不等式对应的平面区域，由 z=kx+2y 得 y= x+ ，要使目标函数 z=kx+2y 仅在点 B（1，1）处取得最小值，则阴影部分区域在直线 z=kx+2y 的右上
15、方，目标函数的斜率 大于 x+y=2 的斜率且小于直线 2xy=1 的斜率即1 2，解得4k2，即实数 k 的取值范围为（4，2），故答案为：（4，2）【点评】： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法根据条件目标函数仅在点（1，1）处取得最小值，确定直线的位置是解决本题的关键15（5 分）（2015青岛一模）若 X 是一个集合， 是一个以 X 的某些子集为元素的集合，且满足：X 属于 ，属于 ； 中任意多个元素的并集属于 ； 中任意多个元素的交集属于 则称 是集合 X 上的一个拓扑已知集合 X=a，b，c，对于下面给出的四个集合 ：=，a，c，a，b，c；=，b
16、 ， c，b，c，a，b，c；=，a，a，b，a，c；=，a，c，b，c，c，a ，b，c 其中是集合 X 上的拓扑的集合 的序号是 【考点】： 集合的包含关系判断及应用【专题】： 压轴题；新定义【分析】： 根据集合 X 上的拓扑的集合 的定义，逐个验证即可：ac=a，c，a，ba，c=a，b，c，因此都不是；满足：X 属于 ，属于 ； 中任意多个元素的并集属于 ； 中任意多个元素的交集属于 ，因此是，从而得到答案【解析】： 解：=，a，c ，a ，b，c ；而a c=a， c，故不是集合 X 上的拓扑的集合 ；=，b ， c，b，c，a，b，c，满足：X 属于 ， 属于 ； 中任意多个元素的
17、并集属于 ； 中任意多个元素的交集属于 因此是集合 X 上的拓扑的集合 ；=，a，a，b，a，c；而a ，b a ，c=a，b，c ，故不是集合 X 上的拓扑的集合 ；=，a，c，b，c，c，a ，b，c 满足：X 属于 ，属于 ； 中任意多个元素的并集属于 ； 中任意多个元素的交集属于 因此是集合 X 上的拓扑的集合 ；故答案为【点评】： 此题是基础题这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16（12 分）（2
18、015青岛一模）设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知，b=3（）求角 B；（）若 sinA= ，求ABC 的面积【考点】： 余弦定理；正弦定理【专题】： 解三角形【分析】： （I）利用正弦定理与余弦定理即可得出；（II）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式即可得出【解析】： 解：（） ， ，a 2b2=acc2， ，B（0，）， （）由 b=3， ， ，得 a=2，由 ab 得 AB，从而 ，故 ，ABC 的面积为 【点评】： 本题考查了正弦定理与余弦定理、正弦定理、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17（
19、12 分）（2015青岛一模）某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请 20 名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院 机械工程学院 海洋学院 医学院 经济学院人数 4 6 4 6（）从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言，求这 3 名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（）从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言，设来自医学院的学生数为 ，求随机变量 的概率分布列和数学期望【考点】： 离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量的期望与方差【专题】： 概率与统计【分析】： （）从 20 名学生随机选出 3 名的方法数为 ，选出 3 人中任意两个均不属于同一学院的方法数为，由此利用等可能事件概率计算公式能求出这 3 名学生中任意两个均不属于同一学院的概率（） 可能的取值为 0，1， 2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 的概率分布列和数学期望【解析】： （本小题满分 12 分）
