1、第三讲 最小势能原理与有限元分析的一般过程,3-1 最小势能原理,一、结构势能的定义,结构势能 内力势能，即结构弹性应变能外力势能，数值上为在假定位移下外力的虚功的负值。,结构弹性应变能可以表示为：,v 结构或弹性体的体积,外力虚功可以表示为：,最小势能原理的变分表达式为：,2、根据结构的特点，选择不同类型的单元。对复合结构可能同时用到多种类型的单元，此时还需要考虑不同类型单元的连接处理等问题。,3、根据计算分析的精度、周期及费用等方面的要求，合理确定单元的尺寸和阶次。,4、根据工程需要，确定分析类型和计算工况。要考虑参数区间及确定最危险工况等问题。,5、根据结构的实际支撑情况及受载状态，确定
2、各工况的边界约束和有效计算载荷。,在有限元法中通常选择多项式函数作为单元位移插值函数，并利用节点处的位移连续性条件，将位移插值函数整理成以下形函数矩阵与单元节点位移向量的乘积形式。,位移插值函数需要满足相容（协调）条件，采用多项式形式的位移插值函数，这一条件始终可以满足。 但近年来有人提出了一些新的位移插值函数，如：三角函数、样条函数及双曲函数等，此时需要检查是否满足相容条件。,形函数的性质：1）相关节点处的值为 1，不相关节点处的值为 0。2）形函数之和恒等于 1。,2、位移插值函数的收敛性（完备性）要求： 1） 位移插值函数必须包含常应变状态。 2）位移插值函数必须包含刚体位移。,使用最小
3、势能原理，需要计算结构势能，由弹性应变能和外力虚功两部分构成。结构已经被离散，弹性应变能可以由单元弹性应变能叠加得到，外力虚功中的体力、面力都是分布在单元上的，也可以采用叠加计算。,1、计算单元弹性应变能, 单元体积。,由几何关系,代入前式有：,令：,称单元刚度矩阵，简称单刚。,这样单元弹性应变能可以表示为：,几点说明： 1）单元刚度矩阵具有正定性、奇异性和对称性三各重要特性。所谓正定性指所有对角线元素都是正数，其物理意义是位移方向与载荷方向一致；奇异性是说单元刚度矩阵不满秩是奇异矩阵，其物理意义是单元含有刚体位移；对称性是说单元刚度矩阵是对称矩阵，程序设计时可以充分利用。,2）按照本节公式计
4、算的单元等效体力载荷向量和等效面力载荷向量称为一致载荷向量。实际分析时有时也采用静力学原理计算单元等效体力载荷向量和等效面力载荷向量，实际应用表明在大多数情况下，这样做可以简化计算，同时又基本上不影响分析结果。,四、整体分析,目的：计算整个结构的势能，代入最小势能原理：,1、计算整个结构的弹性应变能。,令：,结构整体刚度矩阵（总刚）,此时结构的弹性应变能可以表示为：,结构的弹性应变能可计算的部分只有,所以我们说，结构的弹性应变能的计算就归结为总刚的计算。,局部自由度与整体自由度的对应关系为,3）对称性 整体刚度矩阵也是是对称矩阵。 程序设计时可以充分利用这些特性来达到节约内存，提高计算效率的目的。 例如：实际程序中通常采用半三角存储、一维等带宽存储和一维变带宽存储等紧缩存储方案。,2）带状分布 带状分布是说整体刚度矩阵的非零元素全都分布在对角线附近的一个带状区域内。带状区域的宽度称为带宽，它与模型的节点编序有关，合理的节点编号，可以减小带宽。因此，很多有限元前处理软件都有带宽优化模块。,单元几何矩阵 单元刚度矩阵 单元等效体力载荷向量 单元等效面力载荷向量 结构整体刚度矩阵（总刚） 单元应力计算公式,小 结,
