1、2015 届贵州省贵阳市第一中学高三第四次月考数学理试题2015 届贵州省贵阳市第一中学高三第四次月考数学理试题参考答案第卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D C B C C D C A C A D【解析】1 ， ，故选 B.|12,|13AxxxR0,12AB2 ， 复数 z 所对应的点是 ，即是第一象限的点，故选 D(i)3iz (,3)3 sin46cos0n6s(0+6)cosin6=11，故选 Ci+i3ii0cos11= in30cs 24由 知 ，21(),
2、()xfm (0)=24ffm， ，故选 B(0)6,46,1f 21dlnx5由 且 可得 ，而由 且 不能得到 ，可见“ ”是“ll l l l”的充分非必要条件，故选 C6设二项式 展开式中不含 x 的项为 令521x 510255211()CrrrrrTxxA=，得 ， 的展开式中不含 x 的项为 ，故选 C5102r-4r521x 45T7由 ，知 ，于是 ，故选 D1()P()4P11(02)PA-8 定 义 在 R 上 的 函 数 满 足 ： ， 函 数 是 奇 函 数 fx)fxf()fx由 得 ， 的周期是 4(2)()fxf(+=2(2)=fffff而 时， ，则1,03x
3、f3333901010(log9)log814loglog99f ffA，故选 C=l=f9由题意知 解得 ，故选 A6730,30,146bba23b10由于点 所满足的线性约束条件 围成的区域面积为 7，知 ，(,)Nxy0,+2,4xym 1m且直线 与直线 的交点为 20mxy0xy(1,3)A若 取得最小值，则目标函数 过 ，uOMNA 2uxy(1,3)，故选 Cmin711由 得 230,1xy224310xm设 ，则 12(,)(,)MxyNy12123,xmy于是 与 共线，故选1212=(,)=,(31)O ， ()，A12取 ，对于函数的定义域 上的任意 ，只需 ，()l
4、gfx(0,)1x01xA则 ，可见是 上的均值函数；10101)lgl22fxx(,)取 ，对于函数的定义域 上的任意 ，只需 ，3()fx(,)1x01x则 可见是 上的均值函数，故选 D3101()02x,第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）题号 13 14 15 16答案 232106 21，【解析】13 ， ， 2,1ab222()41ababA23ab14由 ，得 根据余弦定理知 3sin4ABCS 826cosab，所以 2()ab210ab15如果执行如题图所示的程序框图，则输出 T 的值为 可见，21(3)*15)nnn
5、N-且 ，所以当输出 T 的值最大时，n 的最小值等于 621max67T16若 即 121212, ,0cos4PFFPFP则 20e若 ，则 ， =c1 c由椭圆的定义知： ， ， 12+=a2() 21e综上： 21e 三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17 （本小题满分 12 分）解：（）由 ，得 ， （1 分）3nSa12当 时， 2n 111(3)3nnnaa， （4 分）1,()2nnaa于是 ， ，32b=数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， （6 分）n3232nnb（）由（）知 ，nnb，3322loglnnnnc， （8 分）231+T
6、 ，41+2nn得 ，11=22nT （12 分）1=nn -18 （本小题满分 12 分）解：（）教工甲抽奖一次，基本事件的总数为 ,奖金 的所有可能值为310C20， 300， 600，1200， （1 分）一等奖的情况只有一种，得奖金 1200 元的概率为 ，1()20P（2 分）三球连号的情况有 1，2，3 ；2 ，3，4； 8，9，10 共 8 种情况，得奖金 600 元的概率为 ， （3 分）8(60)125P仅有两球连号中，对应 1，2 与 9，10 的各有 7 种，对应 2，3；3 ，4；8，9 各有 6种，得奖金 300 元的概率为 ，26(30)15P得奖金 0 元的概率为
7、 ， （4 分）4优秀教工甲抽奖一次所得奖金 的分布列如下：0 300 600 1200P 12471515120（6 分） （8 分）17()03602902451E（）由（）知数学组获得抽奖机会的教师 1 人中奖的概率为 ，1324P而 4 人抽奖是彼此相互独立的，所以数学组中奖人数 ，,B（10 分）故 （12 分）134()2D19 （本小题满分 12 分）（）证明：因为 ， ，60AB2AD由余弦定理得 （2 分）23从而 ，故 （3 分）2BD， ， ， （4 分）PAC 平 面 BAC平 面 PB又 ，所以 ， （5 分）D平 面故 （6 分）（）解：方法一： ， ，PABC 平
8、 面 DABC平 面，PDA由（）知 ，又B,， 平 面如图 1，过 A 作 ，垂足为 E，连接 ED，EP则 ， 是二面角 的平面角，DB APBD图 1（9 分）在 Rt AED 中， ， ，2,3,7ADEA21cos7DEA即二面角 的余弦值为 （12 分）PB1方法二：如图 2，以 D 为坐标原点，射线 DA，DB，DP 分别为 x，y，z 的正半轴建立空间直角坐标系 ，则 ， ， xyz(2,0)A(,230)B(,2)P， ， ， （8 分）(2,30)AB,3PB,C设平面 的法向量为 ，(,)mxyz则 0,mPBA即 3,0xyz因此可取 (,13)m平面 PBD 的法向量
9、为 ， （10 分）(2,0)nDA则 ，2cos,7故二面角 APBD 的余弦值为 （12 分）1720 （本小题满分 12 分）解：（）由双曲线的定义可知，曲线 C 是以 ， 为焦点的双曲线1(2,0)F2(,0)的左支，且 ， ，从而 ，2c1ab曲线 C 的方程为 ， （2 分）2(0)xy由 得 ，21,ykx2()kx设 ， ，1(,)A2(,)Bxy则 ，212,kxkA直线与双曲线的左支交于不同两点 A、 B，图 2（4 分）221220,()8()0,kkxkA解得： （5 分）1（） 222111()4BkxkxxA，22214kA22()k，2()5k，426130或 ，
10、2k又 ， ，1 62k直线 AB 的方程为 ， （7 分）0xy设 ，由已知 得 ，(,)QxyOABQ12(,)(,)(,)Qxyxy1212,(0)xy又 ， ，126kx212122) 41kkx点 （9 分）4,Q将点 Q 的坐标代入曲线 C 的方程得 ，2416得 ，但当 时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，22Q 点坐标为 ， （10 分）(3,2)Q 到 AB 的距离为 ， 6(21105的面积 （12 分）ABQ 1215S21.（本小题满分 12 分）（）解：函数 的定义域为 ， （1 分）()fx(0,)在区间 上单调递增，()fx 2,在区间 上恒成立， （3 分）
11、ax (2,)在区间 上恒成立， （4 分）21a (,)令 ，则 ，()Mx 22(1)(1)xx当 时， ，有 ，(2,)()04)3Mxa 的取值范围为 （6 分）4,3（）证明：函数 的定义域为 ， （7 分）()Fx(0,)22()lnFxaa， （8 分）22l(l)x令 ，22ln()(l)xPaa则222lnll()xx （10 分）222l(l)(ln)4xxxa令 ，则 ，()lnQ1()Qx显然 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，x0,1,)min()(1)Qx则 ，故 （12 分）()4Pa 1()24Fx22 （本小题满分 10 分） 【选修 41：几何证明选讲】
12、证明：（）如图 3，D， E 分别为ABC 边 AB，AC 的中点，图 3，DFBC ，,A 四边形 BDFC 是平行四边形， （2 分）CFBD,AA ，四边形 ADCF 是平行四边形， ， AFCD又 ， BCF ,CDB DBC 是等腰三角形 ， （5 分）（）由（）知 ， AA,F GDBC（7 分），GFBC DABDC （9 分） （10 分）2,BCGGA23 （本小题满分 10 分） 【选修 44：坐标系与参数方程】解：（）把直线 l 的参数方程 （t 为参数）代入曲线 C 的普通方程：12,3,xy，化简得 （2 分）2()1yx2410t设 ，则 ， （3 分）12,PAtBt12t12t （5 分）|()44(0)214ttt（）设 ，则 ，M12()则 ，1323,Mxy （7 分）(3,)
