1、第二篇 运动学,水土学院理论力学课程组,电 子 教 程,水土学院理论力学课程组,电 子 教 程,第六章 刚体的基本运动,6-1 刚体的平动6-2 刚体的定轴转动6-3 转动刚体上各点的速度和加速度6-4 角速度、角加速度的矢量表示速度、加速度的矢量积表示,由于研究对象是刚体，所以运动中要考虑其本身形状和尺寸大小，又由于刚体是几何形状不变体，所以研究它在空间的位置就不必一个点一个点地确定，只要根据刚体的各种运动形式，确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。,第六章 刚体的基本运动,6-1 刚体的平动,刚体内任一直线在运动过程中始终平行于初始位置，称为刚体的平行移动，简称平动或平移。,1、
2、直线平动,一、定义,刚体上各点的运动轨迹为直线。,6-1 刚 体 的 平 动,2、曲线平动,刚体上各点的运动轨迹为曲线。,如图所示，由刚体平动的定义，rAB是常矢量，且有,二、运动特征,同理，, 刚体的平动可归结为研究刚体内任一点的运动。,6-2 刚 体 的 定 轴 转 动,一、定义,刚体上在运动过程中其上任一点到一固定轴的距离都保持不变，具有这样一种特征的刚体的运动称为刚体的定轴转动，该固定轴称为刚体的转轴。,6-2 刚 体 的 定 轴 转 动,如图所示转角，是固定面A与固连在转动刚体上的动平面B的夹角。 确定了刚体的位置，它的符号规定如下：从z 轴正向看去，逆时针为正 ，顺时针为负。因而刚
3、体绕定轴转动的运动方程为,转角是代数量，单位用弧度(rad)。,二、定轴转动刚体的转动方程, = (t),2、定轴转动刚体的角速度,角位移,6-2 刚 体 的 定 轴 转 动,任一瞬时刚体转动的快慢和转向可用来表示。,平均角速度,角速度,2、定轴转动刚体的角速度,6-2 刚 体 的 定 轴 转 动,角速度,工程中常用单位还有 n 转/分(r / min),n与 的关系为:,角速度为代数量。其正负号这样来确定，从 z 轴的正端向负向看，刚体逆时针转动为正，顺时针转动为负。单位用rad/s(弧度/秒）。,2、定轴转动刚体的角速度,6-2 刚 体 的 定 轴 转 动,平均角加速度,角加速度,角加速度
4、是代数量，单位用rad/s2，规定逆时针转向为正。如果与 同号，则为加速转动, 反之则为减速转动。,当刚体作定轴转动时，刚体内每一点都作圆周运动，圆心在转轴上，圆心所在平面与转轴垂直，半径R等于该点到轴线的距离。用自然法， D在 dt 时间内，走过的弧长为,Ds=D R,6-3 转动刚体内各点的速度和加速度,6-3 转动刚体内各点的速度和加速度,一、点的运动方程,二、速度,三、加速度,s= R,6-3 转动刚体内各点的速度和加速度,三、加速度,全加速度大小为,方向为,6-3 转动刚体内各点的速度和加速度,结论: （1）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到转轴的距离
5、成正比。（2）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度 a 的方向与半径间的夹角 都相同。, 例6-1,【解】,荡木用两条等长的钢索平行吊起。钢索长为l，单位为m。当荡木摆动时钢索的摆动规律为 ，其中 t 为时间，单位为s；转角0的单位为rad，试求当t=0和t=2s时，荡木的中点M的速度和加速度。,由于两条钢索O1A和O2B的长度相等，并且相互平行，于是荡木AB在运动中始终平行于直线O1O2，故荡木作平移。,M,为求中点M 的速度和加速度，只需求出A点（或B点）的速度和加速度即可。点A在圆弧上运动，圆弧的半径为l。如以最低点O为起点，规定弧坐标s向右为正，则A点的运动方程为, 例6-1,【解
6、】,A点的速度,A点的加速度, 例6-1,【解】,代入t = 0和t = 2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点M在这两瞬时的速度和加速度。计算结果如下：,已知物块的高度为h，以v0匀速运动，试求OA杆的转动方程、角速度和角加速度。,转动方程为,角速度为,角加速度为, 例6-2,【解】, 例6-3,【解】,滑轮的半径r=0.2m，可绕水平轴O转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体A（如图），已知滑轮绕轴O的转动规律=0.15t3 ，其中t以s计，以rad计，试求t=2s时轮缘上M点和物体A的速度和加速度。,首先根据滑轮的转动规律，求得它的角速度和角加速度,代入 t =2 s，
7、 得,轮缘上 M 点上在 t =2 s 时的速度为, 例6-3,【解】,加速度的两个分量,总加速度 aM 的大小和方向,A点的速度和加速度 aM 分别为, 例6-4,已知AB以0 t 绕A定轴转动，且OA=h 求O1B的转动方程和角速度方程。,运动方程为,【解】,角速度方程为, 例6-5,【解】,已知AB杆与轮O1固定在一起，带动轮O2作定轴转动。求轮O1和轮O2轮缘上任一点的速度和加速度。,AB杆与轮O1作曲线平动，杆AC、杆BD和轮O2作定轴转动。,6-4 角速度、角加速度的矢量表示速度、加速度的矢量积表示,一、角速度矢和角加速度矢,大小：,方向：右手螺旋定则确定,6-4 角速度、角加速度
8、的矢量表示速度、加速度的矢量积表示,二、速度、加速度的矢量积表示,设刚体上一点M相对于角速度矢量 的起点A的位置用矢径 r 表示， r 与 之间的夹角为，,则M点：,由此，据线性代数知,（转动刚体上点的速度矢积表示法）,6-4 角速度、角加速度的矢量表示速度、加速度的矢量积表示,二、速度、加速度的矢量积表示,在转轴上任取一点O 为原点，点M 的矢径以r 表示，则点M的速度可以表示为,大小,方向正好与点M的速度方向一致。,6-4 角速度、角加速度的矢量表示速度、加速度的矢量积表示,二、速度、加速度的矢量积表示,加速度也可以用矢量积表示为,不难证明,于是得,6-4 * 角速度、角加速度的矢量表示速
9、度、加速度的矢量积表示,刚体以角速度绕定轴Oz转动，其上固连有动坐标系Oxyz（如图），试求由O点画出的动系轴向单位矢i，j，k 端点A，B，C的速度。,A,6-4 角速度、角加速度的矢量表示速度、加速度的矢量积表示,A点是定轴转动刚体内的一点，有,先求端点 A 的速度。设 A 点的矢径为rA ，则A点的速度为,故,A,6-4 角速度、角加速度的矢量表示速度、加速度的矢量积表示,同理可得 vB 和 vC 的矢量表达式。,于是得到一组公式,称为 泊松公式。,A,1. 是非题,【思考题】,2.选择题,(1).某瞬时，刚体上任意两点A、B的速度分别用vA 、vB,(3).如图所示机构中， M为AB上的点。且 。 。若O1A按 的规律绕 轴转动， 则M点的轨迹是（ ）,A.半径为 圆,B.半径为 圆,C.半径为 圆,D.与 平行的直线,M,O1,A,O2,B,3、平板 放置在两个半径为 的圆筒上,如图所示。在某瞬时,平板具有向右的匀加速度 ,在同一瞬时的圆筒周边上一点的加速度 ,假设平板A 与圆筒之间无滑动,试求该瞬时平板 的速度 。,答案： vA0.86m/s,THE END,
