1、2018 届湖南省岳阳市一中高三上学期第一次月考数学（理）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数 满足 ，则 （ ）z (z2i)(2i)=5 z=A. B. C. D. 2+3i 23i 3+2i【答案】A【解析】试题分析： ,综上所述, 故选 A.(z2i)(2i)=5,z2i=52i=2+i,z=2+i+2i=2+3i考点：复数加减乘除法的运算.2. 已知 ，则 （ ）M=y|y=x2,xR,N=y|x2+y2=1,xR,yRA. B. C. D. 2,2 0,2
2、 0,1 1,1【答案】C【解析】由 中， ，得到 ，由 中 ，得到 ，即 ，则 ，y=x20 M=0,+) x2+y2=1 y1 N=(,1 MN=0,1故选 C.3. 等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于（ ）an n Sn S3=2,S6=18S10S5A. -3 B. 5 C. -31 D. 33【答案】D【解析】试题分析：因 ,则 ,故 ,故,所以 ,应选 D.S10S5考点：等比数列的前 项和及综合运用.4. 已知 ，则 （ ）tan=2(0,) cos(52+2)=A. B. C. D. 35 45 35 45【答案】D【解析】试题分析： ，tan=2,(0,)故选 D=2s
3、incossin2+cos2=2tantan2+1=2222+1=45考点：诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系5. 在如图所示的程序框图中，若输出的值是 3，则输入 的取值范围是（ ）xA. B. C. D. (4,10 (2,+) (2,4 (4,+)【答案】A【解析】设输入 ，第一次执行循环体后， ，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，x=a x=3a2,i=1，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后， ，满足退出循环的条件；故x=9a8,i=2 x=27a26,i=3，且 ，解得9a882 27a2682，故选 A.a(4,10【方法点睛】本题主要考查程序框图的循
4、环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数； (5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6. 若 的展开式中所有项的系数的绝对值之和为 1024，则该展开式中的常数项是（ ）(3x3x)nA. -270 B. 270 C. -90 D. 90【答案】C【解析】在 的展开式中,令 ,(3x+3x)n可得 展开式
5、的各项系数绝对值之和为 ,(3x3x)n 4n=22n=1024=210.n=5故 展开式的通项公式为(3x3x)5令 ,求得 ,故展开式中常数项为 .5(r3)6=0 r=3 90因此，本题正确答案是: .90点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出值即可.r+1(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 项，由特定项得出值，r+1最后求出其参数.(3)各项系数和，各项系数绝对值的和，常用赋值法处理.7. 一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体
6、积是（ ）A. B. C. D. 32 +1 +16 【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，这是半个圆柱和三棱柱组成的几何体，所以体积为.12112+12122=+1考点：三视图.8. 有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（ ）A. 34 种 B. 48 种 C. 96 种 D. 144 种【答案】C【解析】试题分析： ,故选 C.2A44A22=96考点：排列组合.9. 定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，则下列不等式一定成立的是（ R f(x) f(x+2)=f(x) x3,5 f(x)=2|x4|）A. B. f(cos6)f(sin6) f
7、(sin1)f(sin23) f(sin2)f(sin23) =f(32)10. 已知 为平面向量，若 与 的夹角为 ，若 与 的夹角为 ，则 （ ）a,b a+b a3 a+b b 4 |a|b|=A. B. C. D. 233 63 53【答案】B【解析】在平行四边形 中，设 ，则 ，在 中，由正ABCD AB=a,AD=b AC=a+b,BAC=3,DAC=4 ABC弦定理可得： ，故选 B.|a|b|=sinDACsinBAC=sin4sin3=2232=6311. 已知两定点 和 ，动点 在直线 上移动，椭圆 以 为焦点且经过点 ，则椭圆A(1,0) B(1,0) P(x,y) y=
8、x+3 C A,B P的离心率的最大值为（ ）CA. B. C. D. 55 105 255 2105【答案】A【解析】试题分析： 关于直线 的对称点为 ，连接 交直线于点 ，则椭圆 的长A(1,0) l:y=x+3 A(3,2) AB P C轴长的最小值为 ，所以椭圆 的离心率的最大值为 ,故选 A.|AB|=25 Cca=15=55考点：1、椭圆的离心率；2、点关于直线的对称.12. 只能被 1 和它本身整除的自然数（不包括 1）叫做质数，41，43，47，53，61，71，83，97 是一个由8 个质数组成的数列，小王同学正确地写出了它的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现
9、它们也是质数，试写出一个数 满足小王得出的通项公式，但它不是质数，则 （ ）P P=A. 1677 B. 1681 C. 1685 D. 1687【答案】B【解析】 ，4341=2,4743=4,5347=6,6153=8,7161=10,.， 通项公式是a2a1=2,a3a2=4,a4a3=6,.,anan1=2(n1) ，取 ，得 显然不是质数， 故选 B.an=41+2+4+6+.+2(n1)=n(n1)+41 n=41 a41=4141=1681二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题纸上13. 已知幂函数 的图象过点 ，则 的值为 _y=f(x) (
10、12, 22) log2f(2)【答案】12【解析】设幂函数 ，把点 代入函数 ，得 ，解得 ，则 ，f(x)=xa f(x)=xa (12)a=22 a=12 f(x)=x12,f(2)=212，故答案为 .log2f(2)=log2212=12 1214. 若 ，则 _f(n)=sinn3 f(1)+f(2)+f(3)+f(2017)=【答案】32【解析】当 n=1 时， ;f(1)=sin3=32当 n=2 时， ;f(2)=sin23=32当 n=3 时， ;f(3)=sin=0当 n=4 时， ;f(4)=sin43=- 32当 n=5 时， ;f(5)=sin53=- 32当 n=
11、6 时， ;f(6)=sin2=0其结果以 循环，连续六项之和为 0，32，32，0，- 32，- 32，0因为 ，2017=3366+1所以 .f(1)+f(2)+f(3)+f(2017)=3360+32=3215. 已知三棱锥 ，满足 两两垂直，且 ， 是三棱锥 外接球上一动SABC SA,SB,SC SA=SB=SC=2 Q SABC点，则点 到平面 的距离的最大值为_Q ABC【答案】433【解析】试题分析：由已知，可将三棱锥 放入正方体中，其长宽高分别为 ，则到面 距离最大SABC 2 ABC的点应该在过球心且和面 垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则AB
12、C. 则到面 距离的最大值为 .2r=23 ABC23（2r)=23(23)=433考点：三棱锥的外接球【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PAa，PBb，PC c，一般把有关元素“补形” 成为一个球内接长方体，利用 4R2a 2b 2c 2 求解16. 已知实数 满足 ，实数 满足 ，则 的最小值为a,b ln(b+1)+a3b=0 c,d 2
13、dc+ 5=0 (ac)2+(bd)2_【答案】 1【解析】由题意 得 则点 是曲线 上的任意一点，ln（b+1）+a3b=0， a=3bln（b+1）， （b，a） y=3xln（x+1）由 ，得 ，则点 是直线 上的任意一点，因为 表示点2dc+ 5=0 c=2d+ 5 （d，c） y=2x+ 5 （ac）2+（bd）2到点 的距离的平方，即曲线上的一点与直线上一点的距离的平方，所以 的最小（b，a） （d，c） （ac）2+（bd）2值就是曲线上的点到直线距离的最小值的平方，即曲线上与直线 平行的切线到该直线的距离的y=2x+ 5平方，令 ，得 ，此时 ，即过原点的切线方程为 则曲线上的
14、点到直线距y=31x+1=3x+2x+1 y=2 x=0 y=0 y=2x，离的最小值的平方 .故答案为 1d2 ( 522+(1)2)2 1点睛：本题考查了导数的几何意义和两平行线之间的距离公式，关键是弄清所要求表达式的几何意义以及构造新函数，属于中档题三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，角 的对边分别为 ，已知向量 ，且 .ABC A,B,C a,b,c m=(cosB,cos2C21),n=(c,b2a) mn=0（1）求角 的大小；C（2）若点 为 上一点，且满足 ，求 的面积.D AB AD=DB,|CD|= 7
15、,c=23 ABC【答案】(1) ；（2） .3 23【解析】试题分析：（1）利用平面向量的数量积公式列出关系式，根据二倍角的余弦函数公式， 利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出 的值；（2）利用向量的几何运算法则和向量的模的计算公式以及余弦定理和三角形的面积公式即可求出.试题解析：（1）由 ，得 ，mn=0 ccosB+(b-2a)cosC=0由正弦定理可得 ，sinCcosB+(sinB-2sinA)cosC=0 ， ，sinA-2sinAcosC=0 sinA0 ， ， .cosC=12 C(0,) C=3（2） ， ，AD=DB CD-CA=CB-CD,2CD=CA+CB又
16、 ，|CD|= 7,c=23两边平方： 4|CD|2=b2+a2+2abcosC=b2+a2+ab=28 c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=12由可得 ，ab=8 .SABC=12absinC=2318. 如图 1，在 中， ， 是 边的中点，现把 沿 折成如图 2ABC AC=2,ACB=900,ABC=300 P AB ACP CP所示的三棱锥 ，使得 .ABCP AB= 10（1）求证：平面 平面 ；ACP BCP（2）求二面角 的余弦值.BACP【答案】(1)证明见解析；（2） .33113【解析】试题分析：（1）做辅助线可得 ， ，且 ，再由余弦定理有AECP AO
17、CP AO= 3OB2=12+(23)22123cos300=7AO2+OB2=10=AB2AOOB又 平面 平面 平面 ；（2）因为 平面 ，且AOCP,CPOB=OAO PCB ACP CPB AO CPB，故可如图建立空间直角坐标系，求得平面 的法向量为 和平面 的法向OCOE ABC n=(0,1,0) ABC所求角的余弦值 .m=( 3,3,1) cos=|cos|=37=217试题解析： （1）在图 1 中，取 的中点 ，连接 交 于 ，则 ，CP O AO CB E AECP在图 2 中，取 的中点 ，连接 ， ，因为 ，所以 ，且 ，CP O AO OB AC=AP=CP=2
18、AOCP AO= 3在 中，由余弦定理有 ，OCB OB2=12+(23)22123cos300=7所以 ，所以 AO2+OB2=10=AB2 AOOB又 ，所以 平面 ，AOCP,CPOB=O AO PCB又 平面 ，所以平面 平面AO ACP ACP CPB（2）因为 平面 ，且 ，故可如图建立空间直角坐标系，则AO CPB OCOE，O(0,0,0),C(1,0,0),A(0,0, 3),P(1,0,0),B(2, 3,0)，显然平面 的法向量为 设平面 的法向量为 ，则由 得 ；故ABC n=(0,1,0) ABC m=(x,y,z) m=( 3,3,1)所求角的余弦值 .cos=|c
19、os|=313=31313考点：1、线面垂直；2、面面垂直；3、二面角.19. 习大大构建的“一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与.岳阳市旅游局顺潮流、乘东风，闻讯而动，决定利用旅游资源优势，撸起袖子大干一场.为了了解游客的情况，以便制定相应的策略.在某月中随机抽取甲、乙两个景点各 10 天的游客数，画出茎叶图如下：（1）若景点甲中的数据的中位数是 125，景点乙中的数据的平均数是 124，求 的值；x,y（2）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据.今从这段时期内任取 4 天，记其中游客数超过 120 人的天数为 ，求概率 ； P(2)（3）现从
20、上图的共 20 天的数据中任取 2 天的数据（甲、乙两景点中各取 1 天） ，记其中游客数不低于 115且不高于 125 人的天数为 ，求 的分布列和期望. 【答案】(1) ， ；（2） ；（3） .3 4328625 12【解析】试题分析：（1）利用景点甲中的数据的中位数是 ，景点乙中的数据的平均数是 ， 直接求解 的值；（2）游客数超过 人的的天数是独立重复试验，根据独立重复试验概率公式求解即可， （3）求出 的所有可能的取值为 ，求出概率得到分布列，然后求解期望即可.试题解析：（1）由题意知 ；X=3,y=4（2）由题意知，因为景点甲的每一天的游客数超过 120 人的概率为 ，610=3
21、5任取 4 天，即是进行了 4 次独立重复试验，其中有 次发生，故随机变量 服从二项分布，则 ； P(2)=C04(35)0(1-35)4+C14(35)(25)3+C24(35)2(25)2=328625（3）从图中看出：景点甲的数据中符合条件的只有 1 天，景点乙的数据中符合条件的有 4 天，所以在景点甲中被选出的概率为 ，在景点乙中被选出的概率为 .110 410由题意知： 的所有可能的取值为 0，1，2.则 P(=0)=910610=2750P(=1)=110610+910410=2150P(=2)=110410=250所得分布列为： 0 1 2P 2750 2150 125.E()=
22、02750+12150+2125=1220. 已知点 是直线 与椭圆 的一个公共点， 分别为该椭圆的左右焦点，设P l:y=x+2x2a2+y2=1(a1) F1,F2取得最小值时椭圆为 .|PF1|+|PF2| C（1）求椭圆 的标准方程及离心率；C（2）已知 为椭圆 上关于 轴对称的两点， 是椭圆 上异于 的任意一点，直线 分别与 轴交A,B C y Q C A,B QA,QB y于点 ，试判断 是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.M(0,m),N(0,n) mn【答案】(1) ；（2） .x23+y2=1 1【解析】试题分析：（1）联立 ，得 ，由此利用韦达定理、椭
23、圆定义，结合y=x+2x2a2+y2=1 (a2+1)x2+4a2x+3a2=0已知条件能求出椭圆 的方程；（ 2）设 ，且 ，由已知求出C A(x1,y1),B(x1,y1),Q(x0,y0) M(0,m),N(0,n)，由此能求出 为定值 .m=x0y1x1y0x0x1,n=x0y1+x1y0x0+x1 mn 1试题解析：（1）联立 ，得 ，y=x+2x2a2+y2=1 (a2+1)x2+4a2x+3a2=0直线 与椭圆有公共点，y=x+2 ，解得 ， ，=16a4-4(a2+1)3a20 a23 a 3又由椭圆定义知 ，|PF1|+|PF2|=2a故当 时， 取得最小值，a= 3 |PF
24、1|+|PF2|此时椭圆 的方程为 ；离心率为 ；Cx23+y2=1 63（2）设 ，且 ，A(x1,y1),B(x2,y1),Q(x0,y0) M(0,m),N(0,n) ， ，kQA=kQMy0-y1x0-x1=y0-mx0即 ，y0-m=x0(y0-y1)x0-x1 ，m=y0-x0(y0-y1)x0-x1=x0y1-x1y0x0-x1同理，得 ，n=x0y1+x1y0x0+x1 ，mn=x0y-x1y0x0-x1=x0y1+x1y0x0+x1 =x20y21-x21y20x20-x21又 ，x203+y20=1,x213+y21=1 ，y20=1-x203,y21=1-x213 ， 为
25、定值 1.mn(2) 【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程方程、圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21. 已知函数 .f(x)=alnx+(a+1)x12x2(a0)（1）讨论 的单调性；f(x)（2）若 恒成立，求实数 的最大值.f(x)12x2+ax+b ab【答案】(1) 当 时， 在 上单调递减；当 ， 的单调递增区间为 ；单调递减区a=1 f(x) (0,+) 01 f(x) (1,a) (0，1) (a,+)e2【解析】试题分析：（1）求出 的导数，通过 的讨论，分别令 得增区间，f(x) a=1,01 f(x)0
