1、2018 届湖南省岳阳市一中高三上学期第一次月考数学理第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数 满足 ，则 （ ）z25izA B C D23i332i32i2.已知 ，则 （ ）2|,|1,MyxRNyxRyMNA B C D,00,3.等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于（ ）nanS362,18S105A-3 B5 C-31 D 334.已知 ，则 （ ）tan20,5cos2A B C. D3545345.在如图所示的程序框图中，若输出的值是 3，则输入 的取值范围是（ ）x
2、A B C. D4,102,2,44,6.若 的展开式中所有项的系数的绝对值之和为 1024，则该展开式中的常数项是（ ）3nxA-270 B270 C. -90 D907.一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A B C. D321168.有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（ ）A 34 种 B 48 种 C. 96 种 D144 种9.定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，则下列不等式一Rfx2ffx3,524fx定成立的是（ ）A B cosin6ffsin1cosffC. D22si33ff
3、i2ff10.已知 为平面向量，若 与 的夹角为 ，若 与 的夹角为 ，则 （ ）,abab3ab4abA B C. D2363511.已知两定点 和 ，动点 在直线 上移动，椭圆 以 为焦点且经过1,0,Pxy3xC,AB点 ，则椭圆 的离心率的最大值为（ ）PCA B C. D5525210512.只能被 1 和它本身整除的自然数（不包括 1）叫做质数，41，43，47，53，61，71，83，97 是一个由8 个质数组成的数列，小王同学正确地写出了它的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数，试写出一个数 满足小王得出的通项公式，但它不是质数，则 （ ）PPA167
4、7 B 1681 C. 1685 D1687二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题纸上13.已知幂函数 的图象过点 ，则 的值为 yfx12,2logf14.若 ，则 sin3f3017fff15.已知三棱锥 ，满足 两两垂直，且 ， 是三棱锥 外接SABC,SC2SABCQSABC球上一动点，则点 到平面 的距离的最大值为 Q16.已知实数 满足 ，实数 满足 ，则 的最,abln130ab,cd250c22acbd小值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在 中，角 的对边分别为 ，已知向量
5、 ，且ABC,abc 2cos,1,2CmBncba.0mn（1）求角 的大小；（2）若点 为 上一点，且满足 ，求 的面积.DAB,7,23ADBCcABC18.如图 1，在 中， ， 是 边的中点，现把 沿C002,9,PAP折成如图 2 所示的三棱锥 ，使得 .CPP1（1）求证：平面 平面 ；ACPB（2）求二面角 的余弦值.19.习大大构建的“一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与.岳阳市旅游局顺潮流、乘东风，闻讯而动，决定利用旅游资源优势，撸起袖子大干一场.为了了解游客的情况，以便制定相应的策略.在某月中随机抽取甲、乙两个景点各 10 天的游客数，画出茎叶
6、图如下：（1）若景点甲中的数据的中位数是 125，景点乙中的数据的平均数是 124，求 的值；,xy（2）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据.今从这段时期内任取 4 天，记其中游客数超过 120 人的天数为 ，求概率 ； 2P（3 ）现从上图的共 20 天的数据中任取 2 天的数据（甲、乙两景点中各取 1 天） ，记其中游客数不低于 115且不高于 125 人的天数为 ，求 的分布列和期望. 20.已知点 是直线 与椭圆 的一个公共点， 分别为该椭圆的左右焦点，P:lyx21xya12,F设 取得最小值时椭圆为 .12FC（1）求椭圆 的标准方程及离心率；C（2）已知 为
7、椭圆 上关于 轴对称的两点， 是椭圆 上异于 的任意一点，直线 分别,AByQC,AB,QAB与 轴交于点 ，试判断 是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明y0,MmNnmn理由.21. 已知函数 .21l 0fxaxa（1）讨论 的单调性；（2）若 恒成立，求实数 的最大值.21fxxbb22.请考生在下面两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分（本小题 10 分）.1.选修 4-4：坐标系与参数方程直角坐标系 中，直线 （ 为参数） ，曲线 （ 为参数） ，以该直角坐标xOy:3xtly1cos:inxCy系的原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的
8、方程为 .22cos3in（1）分别求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；1C2（2）设直线 交曲线 于 两点，直线 交曲线 于 两点，求 的长.l,OAl2C,OBA2选修 4-5：不等式选讲已知函数 .31fxax（1）若 ，解不等式 ；a4f（2）若函数 有最小值，求 的取值范围.fx试卷答案一、选择题1-5:ACDDA 6-10: CBCCB 11、12：AB二、填空题13. 14. 15. 16. 1123243三、解答题17.解：（1）由 ，得 ，0mnAcos2cos0BbaC由正弦定理可得 ，siiinCA ， ，sin2cos0 ， ， .1co0,3（2） ， ，AD
9、B,2CABDCAB又 ，7,23Cc两边平方： 224cos8baba 22cos1caC由可得 ，8 .1sin32ABCSb18.【解析】在图 1 中，取 的中点 ，连接 交 于 ，则 ，POACBEACP在图 2 中，取 的中点 ，连接 ，,因为 ，所以 ，且 ，2A3在 中，由余弦定理有 ，OCB22 011cos7B所以 ，所以 .210AO又 ，所以 平面 ，,APPCB又 平面 ，所以平面 平面 ；C（2）因为 平面 ，且 ，故可如图建立空间直角坐标系，则AOCPBOE， .0,1,0,3,10,2,30B2,3,1,03ABAC显然平面 的法向量为 .n设平面 的法向量为 ，
10、则由 得 ；ABC,mxyz0mAC3,1因为二面角 为锐二面角，P故所求角的余弦值 .31cos,n19.解：（1）由题意知 ；,4Xy（2）由题意知，因为景点甲的每一天的游客数超过 120 人的概率为 ，63105任取 4 天，即是进行了 4 次独立重复试验，其中有 次发生，故随机变量 服从二项分布，则 ；043214 43 38255565PCC（3）从图中看出：景点甲的数据中符合条件的只有 1 天，景点乙的数据中符合条件的有 4 天，所以在景点甲中被选出的概率为 ，在景点乙中被选出的概率为 .100由题意知： 的所有可能的取值为 0，1，2.则 9627015P694215P14205
11、P所得分布列为：0 1 2P75.1052E20.解：（1）联立 ，得 ，21yxa22430axa直线 与椭圆有公共点，2yx ，解得 ， ，4216130aa23a又由椭圆定义知 ，2PF故当 时， 取得最小值，31此时椭圆 的方程为 ；C2xy（2）设 ，且 ，1210,ABQ0,MmNn ， ，QMk010yx即 ，001ym ，00101xyxy同理，得 ，001nx ，220010101yyxyxm又 ，2201,3x ，2220101,3xyy ，22010 210xxmnx 为定值 1.21.解：（1） ，2111xaxaafx，afxx当 时， ， 在 上单调递减；1a10x
12、af fx0,当 ，由 解得 ， 的单调递增区间为 ，00ff ,1a单调递减区间是 和 ；a， 1,当 ，同理可得 的单调递增区间为 ，单调递减区间是 和 .1afx1,a0， ,（2） 恒成立， 恒成立，2fxb 221lnxxaxb即 恒成立，ln0b，,1agagxx 在 上递增， 上递减， ，x,maln0gab ， ，lnb2lnba令 ，20,2l12lhxxhxxx 在 上递增， 上递减，120,e12,e ， ，实数 的最大值为 .12maxhabab2e22. 1.解：（1）圆 的标准方程为： ，即： ，1C221xy0xy圆 的极坐标方程为： ，即： ，2sin0sin（
13、1）曲线 ： （ 为参数） ，化为普通方程： ，展开可得：1coixy 221xy，可得极坐标方程： ，即 .20x2sin0sin曲线 的方程为 ，2C2cos3i即 化为直角坐标方程： .in223xyxy（2）直线 （ 为参数） ，可得普通方程： ，可得极坐标方程：:3xtly .3R ，22sin,cos3OAOB，2133sin24 4ABO23.解答：（1）当 时， ，1a31fxx当 时， 可化为3xfx，解得 ；432当 时， 可化为1xfx，解得 ，310x综上可得，原不等式的解集为 ；|2（2） ，13,3314,axfxax函数 有最小值的充要条件为 ，即 .fx03a3a
