1、2018 届湖北省部分重点中学高三起点考试数学（理）试题一、选择题1已知集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】因 或 ，故 ，应选答案 A。2已知复数 满足 ，则 =A. 5 B. C. D. 【答案】A【解析】画出不等式组 表示的区域如图，借助图形中的数据信息可知所求因的最值，应选答案 A。3已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据正态分布密度曲线的对称性可知，若 ，函数的对称轴是 ，所以 ，故选 B.4已知数列 为等差数列，其前 项和为 ， ，则 为（ ）A. B. C. D. 不能确定【答案】B【解析】 ， ，故选
2、 B.5某几何体的三视图如图所示( 单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm 3A. 4+ B. 4+ C. 6+ D. 6+ 【答案】D【解析】试题分析：由三视图还原原几何体如图， 是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体， 半圆柱的底面半径为 ，高为 ；直三棱柱底面是等腰直角三角形（直角边为 ） ，高为 故本题选 D.【考点】空间几何体的三视图.6在 中， “ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理可得，在 中， “ ”则 ，则 ，由倍角公式可得 ，可得，反之也成立，所以在 中， “ ”
3、是“”的充分必要条件，故选 C.【考点】正弦定理与倍角公式.7美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一。美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的。程序框图如图所示，若输入的值分别为 , , ， （每次运算都精确到小数点后两位）则输出结果为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由算法流程图中提供的算法程序可以看出：当输入 时，程序继续进行，此时，运算程序结束，输出，应选答案 D。8偶函数 f(x)在(0，+)上递增， 则下列关系式中正确的是A. abc B. acb C. cab D. cba【答案】D【解析】因 ，而 ，且 ，故，应选答案 D。9若 满
4、足条件 ，则目标函数 的最小值是A. B. 2 C. 4 D. 【答案】B【解析】画出不等式组 表示的区域如图，结合图形可以看出知点 到坐标原点的距离最大，过坐标原点所作直线 的垂线的垂足之间的距离最小时，即 ，应选答案 B。点睛：本题旨在考查线性规划的有关知识的综合运用，以及化归转化的数学思想及数形结合的思想和意识。求解本题时，充分借助题设中的条件，数形结合，综合运用所学知识分析问题和解决问题，从而使得问题简捷、巧妙地获解。10若点 的坐标满足 ，则点 的轨迹图像大致是A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由 ，得 ，所以 ， ，排除A、C、D，只有 B 符合故选 B【考点】函
5、数的图象11抛物线 的焦点为 ，过焦点 倾斜角为 的直线与抛物线相交于两点两点，若 ，则抛物线的方程为A. B. C. D. 【答案】C【解析】设直线方程为 ，代入抛物线 可得 ，记 ，则由抛物线的定义可得 ，则抛物线方程为 ，应选答案 C。12已知函数 的图象过点 ，且在 上单调，同时 的图象向左平移 个单位之后与原来的图象重合，当 ，且时， ，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题设可知该函数的周期是 ，则 过点且 可得 ，故 ，由 可得，所以由 可得 ，注意到，故 ，所以 ，应选答案A。二、填空题13已知向量 ， ，若 ，则实数 等于_【答案】【解析】 ，整理为 ，故填：7.1
6、4设 ，则 等于 _【答案】【解析】 ，所以含 项的系数是，所以 ，故填：-240.15已知等腰梯形 中 / ， ，双曲线以 为焦点，且与线段 (包括端点 、 )有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是_【答案】【解析】当双点曲线过 时，由平面几何可知 ，所以 ，即 ，此时 ，若双曲线与线段 相交，那双曲线的张口变大，离心率变大，即 ，故填： .【点睛】本题考查了双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质，求解离心率问题主要有三种方法：（1）如果题干有比较明显的几何关系时，根据几何关系直接求得 的值，进而求得 的值；（2）建立 的齐次等式或不等式，求得 或转化为关于 的等式或不等式求解；(3
7、)通过特殊值或特殊位置，求出 16若函数 有四个零点,则实数 的取值范围是_【答案】【解析】因 ，故令 ，则 ，故问题转化为求函数 有四个实数根时实数 的取值范围。当 时，只有两个实数根，不合题设；当 时， ，解之可得 ，当 时，方程 只有两个实数根，不合题设，故 且 ；又由可得 ，求导可得或 舍去，当 时， 恰好有四个实数根，应填答案 。点评：解答本题的关键是运用换元转化的数学思想，先将令 ，则，故问题转化为求函数 有四个实数根时实数 的取值范围。进而借助函数的图像与导数的有关知识进行分析求解，从而探求出实数 的取值范围，使得问题巧妙获解。三、解答题17等差数列 的前 项和为 ，数列 是等比
8、数列，满足 ，（1）求数列 和 的通项公式；（2）令 ,设数列 的前 项和为 ,求 .【答案】 （1） ， ;（2） .【解析】 （1）设数列 的公差为 ，数列 的公比为 ，则由 得 解得 ，所以 ， .（2）由（1）可知， ， -得： .18在如图所示的多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为正方形，底面 ABFE 为直角梯形，为直角， 平面 ABCD 平面 ABFE.（1）求证： ；（2）若 求二面角 的余弦值. 【答案】 （1）见解析;（2） .【解析】 【试题分析】 （1）依据题设条件，运用线面垂直的性质定理推证；（2）建立坐空间直角坐标系，运用空间向量求解：（1）底面 为直角梯
9、形， ， ， ，平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ， ，设 ，以 所在直线分别为 轴建立如图坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ， .（2）由（1）知 是平面 的一个法向量，设 是平面 的法向量， ， ， ， ， ，由 ，得，由 ，得 ，令 ，得 ，故 是平面的一个法向量， ，即二面角 的余弦值为 .点睛：本题旨在考查空间的直线与平面之间的位置关系以及空间向量在解决空间的角度、距离等方面的综合运用。解答第一问时，直接借助空间直角坐标系，运用空间向量的有关知识进行推证使得问题获证；第二问的求解过程中，充分借助向量的数量积公式，运用转化与化归的数学思想及数形结合的思想和意识进行求解，从
10、而使得问题简捷、巧妙地获解。19随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取 10 名购物者进行采访，5 名男性购物者中有 3 名倾向于选择网购，2 名倾向于选择实体店，5 名女性购物者中有 2 名倾向于选择网购，3 名倾向于选择实体店 （1）若从 10 名购物者中随机抽取 2 名，其中男、女各一名，求至少 1 名倾向于选择实体店的概率； （2）若从这 10 名购物者中随机抽取 3 名，设 X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求 X 的分布列和数学期望【答案】 （1） （2） 【解析】 【试题分析】 （1）先设“至少 1 名倾向于选择实体店”为事件 A，
11、 则 表示事件“随机抽取 2 名， （其中男、女各一名）都选择网购” ， 再运用对立事件的概率公式求出 P（A）=1P =1 = （2）先求出 X 的取值为 0，1，2，3 的概率 P（X=k）= ， P（X=0 ）= ，P（X=1）= ，P （X=2）= ，P（X=3）= 再运用随机变量的数学期望公式计算出数学期望E（X）=0 +1 +2 +3 = 解：（1）设“至少 1 名倾向于选择实体店”为事件 A， 则 表示事件“随机抽取 2 名， （其中男、女各一名）都选择网购” ， 则 P（A）=1P =1 = （2）X 的取值为 0，1，2，3P（X=k）= ， P（X=0）= ，P（X=1）=
12、 ，P（X=2）= ，P（X=3）= E（X）=0 +1 +2 +3 = 20已知椭圆 C： 的离心率为 ，左焦点为 ，过点 且斜率为 的直线 交椭圆于 A，B 两点（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）在 y 轴上，是否存在定点 E，使 恒为定值？若存在，求出 E 点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由【答案】 （1） ；（2）存在，理由见解析【解析】试题分析：（1）由右焦点求得 值，由离心率求得 值，进而 ，从而确定椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，借助于根与系数的关系将 转化为用两交点 坐标来表示，进而转化为直线的斜率 和 点坐标 来表示，观察关系式得到为定值时需满足的条件试题解析：（1）由已知可得 ，解得 ，所求的椭圆方程为（2 ）设点 且斜率为 的直线 的方程为由 得 ，则解得设 ，则
