1、2018 届河南省郑州外国语学校高三上学期第一次月考数学（理）试题一、选择题1集合 与 之间的关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】对于集合 ，当 （ ）时， ， ；当 （ ）时， ， ，故选 C.2两个数集 ， ，从集合 到集合 的映射 满足，则这样的映射 个数为（ ）A. 10 B. 15 C. D. 【答案】A【解析】由于 ，故题意等价于从 中选取 3 个数，最小者为，中间者为 ，最大者为 ，故共有 种，即映射 个数为 10，故选 A.3若函数 ，那么 （ ）A. 1 B. 3 C. 15 D. 30【答案】C【解析】由于 ，当 时， ，故选 C.4函数 的定义域为（ ）
2、A. B. C. D. 【答案】D【解析】要使函数有意义，需满足 解得 ，故函数的定义域为，故选 D.5下列说法正确的是（ ）A. “ ”是“ 在 处取得极值的充分条件”B. 命题“ ”的否定是“ ”C. 命题“若 ，则 ”为真命题D. “ ”是“ ”的必要不充分条件【答案】C【解析】对于 A、例如： 在 处有极值，但 处不可导，所以 ，不必要，而 在 处的导数为 0，但不取得极值，不充分，“ ”是“在 处取得极值的即不充分也不必要条件，故 A 错误；对于 B、命题“”的否定是 ，故 B 错误；对于 C、命题“若 ，则 ”的逆否命题为：若 ，则 ，为真命题，故 C 正确；对于D、 “ ”是“
3、”的充分不必要条件，故 D 错误，故选 C.6已知 是 上的增函数，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得： ，解得： ，故选 D.点睛：本题主要考查了分段函数的单调性， “交界”位置大小关系的比较是关键，也是最容易忽视的地方，要使得分段函数在 上单调递增，需满足一次函数递增 ，对数函数递增即 ，同时要有 成立，根据不等式组得解.7设 表示不大于 的最大整数，则对任意实数 ，有（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】A、设 ，则 ， ，即 ，所以 选项错误；对 C，设 ， ， ，所以 C 选项为假；对 D，设 ， ，所以 D 选项为假， 故选 B.8若
4、 ，则 （ ）A. -4 B. -2 C. 0 D. 2【答案】A【解析】 ， ， ， ， ，故选 A.9已知函数 ，把函数 的偶数零点按从小到大的顺序排成一个数列，该数列的前 10 项的和 等于（ ）A. 45 B. 55 C. 90 D. 110【答案】C【解析】当 时，有 ，则 ，当 时，有，则 ，当 时，有 ，则，当 时，有 ，则 ，以此类推，当 （其中 ）时，则 ，函数的图象与直线 的交点为： 和 ，由于指数函数为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点，将函数 和 的图象同时向下平移一个单位，即得到函数 和 的图象，取 的部分，可见它们有两个交点 ，即当 时，方程 有两个根 ， ；当
5、 时，由函数图象平移可得的零点为 1，2；以此类推，函数 与 在 ， ，上的零点分别为：3，4；5， 6； ， ；综上所述函数的偶数零点按从小到大的顺序排列所得数列为：0，2， 4，其通项公式为，前 项的和为 ，故选 C.点睛：本题考查了分段函数的应用，考查了函数零点的判断方法，考查了等差数列的和的求法，是中档题；由分段函数解析式得到函数 在 时的分段解析式，首先求得函数 在 上的零点，然后根据函数的图象平移得到函数在 ， ， ， 上的零点，得到偶数零点按从小到大的顺序排列的数列，利用等差数列的前 项和得答案.10已知点 在曲线 上， 为曲线在点 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是（ ）A.
6、B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：，所以倾斜角的范围是 ，故选 D.【考点】导数的几何意义【方法点睛】本题主要考察了导数的几何意义， ，而根据导数的几何意义，在某点处的导数就是在这点处切线的斜率，所以本题主要是求函数的导数，根据导数的范围求倾斜角，对于 的形式，可采用上下同时除以 ，利用基本不等式求函数的范围.11设 ，定义在区间 上的函数， 的值域是 ，若关于 的方程 有实数解，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数 的值域是 ， ， ， ，或 ， ；又关于 的方程 有实数解， ， ，则 ，则 ，即 的取值范围 ，故选 B.12已知 ，并设： 至少有
7、 3 个实根； ：当 时，方程 有 9 个实根； ：当 时，方程 有 5 个实根，则下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. 仅有 D. 【答案】A【解析】 的导数为 ，当 或 时， ， 递增；当时， ， 递减，可得 取得极大值， 取得极小值 ，作出的图象（如图）：令 ，对于 至少有 3 个实根，即有 ，若 ，则 ，此时只有一解，故 为假命题；对于 ：当 时，方程 有 9 个实根，由， 在 内有三个解，在 轴上方不妨设，由图象可得 共有 9 个实根，故 为真命题；对于 ：当 时，方程 有 5 个实根，由 ， ，可得 和 2，由图象可得有 3 个实根， 有 2 个实根，共有 5 个实根故 为真
8、命题，则 为真命题； ，仅有 ， 均为假命题，故选 A.点睛：本题考查命题的真假判断，主要是考查函数的单调性和极值，以及换元思想和数形结合思想，考查复合命题的真假，以及判断能力，属于中档题；求出 的导数和单调区间、极值，画出图象，令 ， ，讨论 的范围，结合函数 的图象判断假， ， 为真，再由复合命题的真假判断，即可得到答案.二、填空题13 ， ，则 的值_ 【答案】54【解析】由 ， 得： ，则 ，故答案为 54.14已知 是定义在 上的奇函数， ，当 时， ，则的解集为_【答案】【解析】由 是定义在 上的奇函数， ，故 ，设 ，则，即 时， 是增函数，当 时， ，此时 ； 时， ，此时 ，
9、又 是奇函数，所以 时，； 时 则不等式 等价为 或 ，即或 ，即 或 ，则不等式 的解集是 ，故答案为.点睛：本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用在判断函数的单调性时，常可利用导函数来判断构造函数函数解决本题的关键；构造函数 ，求函数的导数，判断函数 的单调性，将不等式进行转化即可.15已知函数 （ 且 ）的图像上关于直线 对称的点有且仅有一对，则实数 的取值范围为_【答案】【解析】作出如图：，因为函数 （ 且 ） ，的图象上关于直线 对称的点有且仅有一对，所以函数 ， 在 上有且只有一个交点，当对数函数的图象过 点时，由 ，解得 ；当对数函数的图象过 点时，由 ，解得 ，当对数函数的图象
10、过 时，由 ，所以 的取值范围为 ，故答案为 . 16函数 的定义域为 ，则下列命题正确的序号为_在同一个坐标系中，函数 与函数 的图像关于直线 对称； 的图像关于点 成中心对称，且对任意的实数 都有 ，则 的图像关于 对称；函数 对于任意 ，满足关系式 ，则函数 是奇函数【答案】【解析】设函数 与 的图象关于直线 对称，则 ，即 ，解得 ，即函数 与 的图象关于直线 对称，故正确；对于，函数 的图象既关于点 成中心对称，则 ，而对于任意，又有 ， ，即 ，又根据 ，可得函数周期 ， ， 的图象关于直线 对称，故正确；对于， ，函数 的图象关于 对称，而函数 是把 向左平移 个单位得到的，函数
11、 是奇函数，故正确，故答案为.点睛：本题考查命题的真假判断与应用，考查复合函数的性质问题，若对函数定义域内的任意一个变量 ，都有， ，则函数关于点 成中心对称； ，则函数图形关于直线 对称，该题是中档题.三、解答题17已知 ， ，命题“若 则 ”为假命题，命题“若 则 ”为真命题，求实数 的取值范围.【答案】 .【解析】试题分析：根据分式不等式以及一元二次不等式求出命题 和 ，命题“若则 ”为假命题，命题“若 则 ”为真命题可得出 为 的充分不必要条件， ，从而求出 的范围.试题解析： ， ，因为“若 则 ”假， “若 则 ”真，所以 为 的充分不必要条件，所以 为 的充分不必要条件，所以 ，
12、所以有 或 ， （或写成 （等号不能同时成立） ）解得 .18已知函数 ，其中实数 .（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；（2）若 在 处取得极值，试讨论 的单调性.【答案】 （1） .（2） 在区间 ， 上是增函数，在区间 ，上是减函数.【解析】试题分析：（1）求出函数的导数及在点 处的值，然后求出在该点的切线方程；（2）根据函数的导数与极值的关系求出 的值，然后根据函数的导数与单调性的关系讨论函数的单调性.试题解析：（1）当 时， ，而 ，因此曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .（2） ，由（1）知 ，即 ，解得 .此时 ，其定义域为 ，且 ，由 得 ， .当 或 时， ；当 且 时，
13、 ，综上， 在区间 ， 上是增函数，在区间 ， 上是减函数.点睛：本题主要考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为函数在该点处切线的斜率，函数的导数与单调性和极值的关系，函数在某点处取得极值即在该点处导数为 0，由 ，得函数单调递增， 得函数单调递减.19设 为奇函数， 为常数.12logaxfxa（1）求 的值；a（2）判断函数 在 上的单调性，并说明理由.f,x【答案】(1) （2）f(x)在 x(1,+)上是增函数.1【解析】试题分析：（1）由于已知函数是奇函数，根据奇函数的定义可得，结合对数的运算性质解方程可得 的值；（2）由（1）得函数的0fxf a解析式，设 且 ，根据对数的性
14、质，判断 与 的12,12x12fxf0关系，进而根据单调性的定义，可得答案.试题解析：（1） 为奇函数， 对定义域12logafxff内的任意 都成立， ， ，x1122ll0x11ax解得 或 （舍去）1a（2）由（1）知： ，设 ，12logxfx12,x设 ，则 ，12x11220 ，122loglx ， ，11222llogxx12fxf 在 上是增函数f,20已知函数 ， ，其中 .（1）当 时，求 的单调区间；（2）证明：对任意的 ， 在区间 内均存在零点.【答案】 （1） 的单调递增区间是 ， ； 的单调递减区间是 .（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由 ，令 ，解得 或 ，解出不等式 和 ，故而可得单调区间；（2）由（1）可知，当 时， 在内递减， 内单调递增，进而分类讨论：当 ，即 时， 在递减，在 递增；当 ，即 时， 在 内递减，在 内单调递增利用零点存在定理可证对任意 ， 在区间内均存在零点.试题解析：（1） ，令 ，解得 或 ， ， ，当 变化时， ， 的变化情况如下表： 所以， 的单调递增区间是 ， ； 的单调递减区间是 .（2）证明：由（1）可知， 在 内的单调递减，在 内单调递增，以下分两种情况讨论：（）当 ，即 时， 在 内单调递减， .所以对任意 ， 在区间 内均存在零点.（2）当 ，即 时， 在 内单调递减，在 内单调递增，若 ， .
