1、2018 届广西陆川县中学高三上学期开学基础知识竞赛（文科）数学试题 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.1已知全集 UR， |0Ax， |1Bx，则集合 ()UAB（ ）A |x B | C |01 D |x2.已知 a， 2b，且 ()ab， 则向量 a与向量 b的夹角为A. 6B. 4C. 34D. 4或33、已知指数函数 ()yfx的图象过点 (,27)P，则在 (0,1内任取一个实数 x，使得 ()81f的概率为（ ）A.10B. 7 C. 25 D. 354、如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的
2、 a，b 分别为 14，18，则输出的 a=（ ）A2 B 4 C6 D85.等差数列 n中的 403,1是函数 76431)(2xxf的极值点，则 2017logaA B C. D 56、设向量 21,e是两个互相垂直的单位向量，且 21,eba，则 ba（ ）A B C 2 D 47、南北朝时期的数学古籍张邱建算经有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出：下四人后入得三斤，持出：中间三人未到者，亦依等次更给，问：每等人比下等人多得几斤？”（ ）A 439 B 78 C 76 D 581（8）已知 2sin6fxx，若将它的图象向右平移 6个
3、单位，得到函数 gx的图象，则函数2 2 22正视图俯视图 侧视图gx图象的一条对称轴的方程为来源:Z.X.X.K（A） 12 （B） 4x （C） 3x（D） 2x（9）已知 ， 1At， t，若 P点是 ABC所在平面内一点，且 ABCP，当 t变化时， PB的最大值等于（A）-2 （B）0 （C）2 （D）4（10）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（A） 83（B） 4（C） 823（D） 411设函数 f（ x）在 R 上存在导数 f（ x） ，对任意的 xR 有 f（ x）+ f（ x）= x2， x（0，+）时，f（ x）x若 f（2 a） f（ a）22 a，则实数 a
4、 的取值范围为A1，+） B （，1 C （，2 D2，+）12在 C中， O为中线 D上的一个动点，若 6B，则 OAC的最小值是A.0 B.-9 C.-18 D.-24二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分； 13.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于_14.若满足条件Error!的整点(x，y)恰有 9 个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数 a 的值为_ 15.已 知 P 为 圆 C： 1)2()(2y上 任 一 点 ， Q 为 直 线 1:yxl上 任 一 点 ，则 |OQP 的 最 小 值 为 _16.等比数列 na满足： )0(1a， 3
5、,2,1a成等比数列，若 na唯一，则 的值等于_三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 已知向量 (,2)nPa， 1(,)nqa， *N，向量 P与 q垂直，且 1a.（1）求数列 n的通项公式；（2）若数列 b满足 2log1nn，求数列 nb的前 项和 nS.18. 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 M名学生作为样本，得到这 M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（1）求出表中 M， p及图中 a的值；（2）若该校高三学生有 240 人，试估计高三学生参加社区服务的次数在区间 (10,5)内的人数；（3
6、）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人，求至多一人参加社区服务次数在区间 5,0)内的概率.19. 如图，在四棱锥 PABCD中，已知 AB， DC， PA底面 BCD，且 2A，1PAD， M为 的中点， N在 上，且 3N.（1）求证：平面 PAD平面 C；（2）求证： /MN平面 PAD；（3）求三棱锥 CB的体积.20. 已知椭圆 E的中心在原点，离心率为 63，右焦点到直线 20xy的距离为 2.（1）求椭圆 的方程；（2）椭圆下顶点为 A，直线 ykxm（ 0）与椭圆相交于不同的两点 ,MN，当 A时，求 m的取值范围.21. 已知 ()ln()a
7、fxR. （1）若函数 的图象在点 1,(f处的切线平行于直线 0xy，求 a的值；（2）讨论函数 ()fx在定义域上的单调性；（3）若函数 在 ,e上的最小值为 32，求 a的值.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分（10 分）.22.在平面直角坐标系 xOy中，已知曲线 1C： cosinxy（ 为参数） ，以平面直角坐标系 xOy的原点O为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线 l： (2cosin)6.（1）将曲线 1C上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 3、2 倍后得到曲线 C，试写出直线 l的直角坐标方程和曲线
8、2的参数方程；（2）在曲线 上求一点 P，使点 到直线 l的距离最大，并求出此最大值.23. 已知函数 ()fx（1）解不等式： 1(3)4fx；（2）已知 2a，求证： R， ()2fafx恒成立 .参考答案（文科）一、1D 2.D3.A4.A 5.A 6.B7.B8.C9.B10.A11. B 12.C二、13. 4 14. -1 15. 25 16. 3117. 【答案】（1）向量 P与 q垂直， 10nna ，即 12nna， 12na na是以 1 为首项，2 为公比的等比数列， 1n. （2） logba， nb 1nn， 23142nSL， 234nSL，由 得， 2341122
9、(1)nnnnnn 1()()nnS18.【答案】（1）由分组 0,5)内的频数是 10，频率是 0.25 知， 10.25M，所以 4M.因为频数之和为 40，所以 124m， 4.0.mp，因为 a是对应分组 15,20)的频率与组距的商，所以245a.（2）因为该校高三学生有 240 人，分组 ,)内的频率是 0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间的人数为 60 人.（3）这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 26m人，设在区间 20,5)内的人为1234,a，在区间 25,30)内的人为 12,b，则任选 2 人共有 12(,)a， 13(， 14(a
10、，()b， 12()， (a， 4(， ()a， (,)， 34,， 3b， 2,)， ,)b，42,， ,15 种情况，而两人都在 5,30内只能是 12b一种，所以所求概率为 15P.19.【答案】（1）证明： PA底面 BCD， 底面 ABCD，故 P；又 DC， ，因此 平面 ，又 平面 C，因此平面 平面 .（2）证明：取 P的中点 E，连接 ,MA，则 /E，且 12MD，又 1，故 2ME. 又 AB， C， /DB，又 3,NB. 12N， /A，且 ，故四边形 为平行四边形， /ME，又 平面 P， 平面 PAD，故 /平面 PA.（3）解：由 PA底面 BCD， PA的长就
11、是三棱锥 PBCD的高， 1PA.又 111222BDCSh，故 336PBBDCVS.20.【答案】（1）设椭圆的右焦点为 (,0)c，依题意有2c又 0c，得 2，又 63a， a 21ba，椭圆 E的方程21xy.（2）椭圆下顶点为 (0,)A，由 23kmx消去 ，得 22(31)630kxkm直线与椭圆有两个不同的交点 2222364(1)()0kmk，即 2k设 1(,)Mxy， 2(,)Ny，则 122631kmx，231xk 12122kk 中点坐标为 3(,)1D AMN， A， 1ADMNk，即213mk， 得231km把 代入 231k，得 201，解得 m， 的取值范围
12、是 1(,2).21.【答案】（1） 2()afx由题意可知 1，故 2a.（2） 2()xfx当 0a时，因为 0， ()0f，故 ()fx在 0,)为增函数；当 时，由 2()xaf，得 a；由 20xa，得 xa，所以增区间为 ,，减区间为 (,)，综上所述，当 0a时， )fx在 0为增函数；当 时， ()fx的减区间为 (0,)，增区间为(,).（3）由（2）可知，当 时，函数 ()fx在 1,e上单调递增，故有 3(1)2fa，所以 32不合题意，舍去.当 0时， fx的减区间为 (0,)a，增区间为 (,)a.若 e，即 ，则函数 fx在 1,e上单调递减，则 3()12af，
13、不合题意，舍去.若 ，即 0时，函数 ()fx在 ,e上单调递增.3(1)2fa，所以 32不合题意，舍去.若 e，即 1a时， 3()ln()12fa，解得 ，综上所述， e22.【答案】（1）由题意知，直线 l的直角坐标方程为： 260xy曲线 2C的直角坐标方程为： ()13，曲线 2的参数方程为： cos2inxy（ 为参数）.（2）设点 P的坐标 (3,)，则点 P到直线 l的距离为：03cos2in64si(655d，当 0sin(6)1时，点 3(,1)2P，此时 max425d.23.【答案】（1）解： ()()4fxf，即 4x，当 0时，不等式为 1，即 32， 0x是不等式的解；当 x时，不等式 x，即 1恒成立， 1是不等式的解；当 1时，不等式为 4，即 5x， 5是不等式的解，综上所述，不等式的解集为 12.（2）证明： 2a， ()(fxfxWWW. 2222axaxax xR， ()(fxf恒成立.
