1、1 第四章 函数应用 学习目标 1.体会函数与方程之间的联系，会用二分法求方程的近似解.2.了解指数函数、 幂函数、对数函数的增长差异.3.巩固建立函数模型的过程和方法，了解函数模型的广泛应 用 1对于函数yf(x)，xD，使f(x)0的实数x叫作函数yf(x)，xD的零点 2方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)0有实数根函数 yf(x)的图像与x轴有 交点函数 yf(x)有零点 3函数的零点的存在性定理：如果函数yf(x)在区间a，b上的图像是连续不断的一条 曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)，使得f(c)0. (1)函数
2、yf(x)在区间a，b内若不连续，则f(a)f(b)0与函数yf(x)在区间(a，b) 内的零点个数没有关系(即：零点存在性定理仅对连续函数适用) (2)连续函数yf(x)若满足f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来函 数yf(x)在区间(a，b)内的零点不一定有f(a)f(b)0，若yf(x)为单调函数，则一 定有f(a)f(b)0. 4二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度， 计算时及时检验 5解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力一方面要加强对常见函数模型的理 解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓
3、宽知识面求解函数 应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为： 类型一 函数的零点与方程的根的关系及应用 例1 已知函数f(x)x2 x ，g(x)xln x，h(x)x 1的零点分别为x 1 ，x 2 ，x 3 ， x 则x 1 ，x 2 ，x 3 的大小关系是_ 反思与感悟 (1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)0有实数根函数 yf(x)的 图像与x轴有交点函数 yf(x)有零点 (2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图像研究与x轴的交点个数或转化成两个函 数图像的交点个数进行判断2 跟踪训练1 若函数f(x)2 x a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(
4、) 2 x A(1,3) B(1,2) C(0,3) D(0,2) 类型二 用二分法求函数的零点或方程的近似解 例2 在下列区间中，函数f(x)e x 4x3的零点所在的区间为( ) A. B. ( 1 4 ，0 ) ( 0， 1 4 ) C. D. ( 1 4 ， 1 2 ) ( 1 2 ， 3 4 ) 反思与感悟 (1)根据f(a 0 )f(b 0 )0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解再确定初 始区间 (2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间对应的结果是相同的，但二分的次 数相差较大 (3)取区间中点c，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(a n ，b
5、 n )中， |a n b n |，那么区间(a n ，b n )内任意一个数都是满足精度的近似解 跟踪训练2 已知函数f(x)log a xxb(a0，且a1)，当2a3b4时，函数 f(x)的零点x 0 (n，n1)，nN * ，则n_. 类型三 函数模型及应用 例3 如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1 千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx (1k 2 )x 2 (k0)表示的 1 20 曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标 (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度
6、为3.2千米，试问它的横坐标a不 超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由反思与感悟 在建立和应用函数模型时，准确地把题目要求翻译成数学问题(如最大射程翻 译成y0时求x的最大值)非常重要另外实际问题要注意实际意义对定义域、取值范围的 影响3 跟踪训练3 某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系 ye kxb (e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0的保鲜时间是192 小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是_小时 1已知函数f(x)a x xa(a0，a1)，那么函数f(x)的零点有( ) A0个 B1个 C2个 D至少1个 2.
7、如图所示是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x之间函数关系的图像若用 黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( ) 3若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点 分别位于区间( ) A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内 C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)内 4设函数f(x)log 3a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是_ x2 x 5已知方程2 x 10x的根x(k，k1)，kZ，则k_. 1对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图像、确定方程 的根；对于连续函数，利用
8、零点存在性定理，可用来求参数的取值范围 2函数模型的应用实例的基本题型 (1)给定函数模型解决实际问题； (2)建立确定的函数模型解决问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题 3函数建模的基本过程如图：45 答案精析 题型探究 例1 x 1 x 2 x 3 解析 令x2 x 0，得2 x x； 令xln x0，得ln xx； 在同一坐标系内画出y2 x ，yln x，yx的图像，如图可知x 1 0x 2 1.令h(x) x 10，则( ) 2 10， x x x 所以 ， x 1 5 2 即x 3 ( ) 2 1.所以x 1 x 2 x 3 . 1 5 2 跟踪训练1 C 显然f(x)在(0
9、，)上是增函数，由条件可知f(1)f(2)0，即 (22a)(41a)0， 即a(a3)0，解得0a3. 例2 C f(x)是R上的增函数且图像是连续的，且f(0)e 0 4030，f(1) e430.f(x)在(0,1)内有唯一零点f( )e 1 4 4 3e 1 4 20，f( ) 1 4 1 4 1 2 e 1 2 4 3e 1 2 10， 1 2 f(x)在 内存在唯一零点 ( 1 4 ， 1 2 ) 跟踪训练2 2 解析 a2， f(x)log a xxb在(0，)上为增函数，且f(2)log a 22b， f(3)log a 33b. 2a3b4， 0log a 21，22b1.
10、2log a 22b0.6 又1log a 32，13b0， 0log a 33b2， 即f(2)0，f(3)0. 又f(x)在(0，)上是增函数， f(x)在(2,3)内必存在唯一零点 例3 解 (1)令y0 ，得kx (1k 2 )x 2 0，由实际意义和题设条件知x0，k0， 1 20 故x 10，当且仅当k1时取等号 20k 1k2 20 k 1 k 20 ( k 1 k ) 22 20 2 所以炮的最大射程为10千米 (2)因为 a0，所以炮弹可击中目标 存在k0，使3.2ka (1k 2 )a 2 成立 关于 k的方程a 2 k 2 20aka 2 640有正根 1 20 判别式 (20a) 2 4a 2 (a 2 64)0a6. 所以当它的横坐标a不超过6时，可击中目标 跟踪训练3 24 解析 依题意得Error!两式相除可得 e 22k ，故e 11k ，故e 33kb e 33k e b 24，即该食品 1 4 1 2 在33的保鲜时间是24小时 当堂训练 1D 2.D 3.A 4(log 3 2,1) 5.2
