1、 理科数学试卷第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.1.若集合 2|Ax， |2xByA，则集合 B等于（ ）A （0,2） B （0,4） C （1,2） D (0,)2.已知 0a， x， y满足约束条件13()xya，若 2zxy的最小值为 1，则 a（ ）A 12 B2 C 14 D43.已知实数 ,abcd成等比数列，且曲线 3yx的极大值点为 b，极小值为 c，则 ad（ ）A4 B-4 C2 D-24.下面四个条件中，是使 b成立的必要不充分的条件的是（ ）A 1ab B 1a C 2ab D 3ab5.已知 为 的边 A上的一点，且
2、 1ABC，则实数 的值为（ ）A 23 B C 43 D6.已知 ， 为中心在原点，焦点在 x上的双曲线 E的左，右顶点，点 M在 E上， AB为等腰三角形，且顶角为 120，则 E的渐近线方程为（ ）A 20xy B 30y C 0y D 20xy7.若 22log(4)loglabab，则 aA的最小值是（ ）A16 B8 C4 D28.已知抛物线 2:16yx的焦点为 F，准线为 l， P是 l上一点， Q是直线 PF与 C的一个交点，若4PFQ，则 |（ ）A6 B8 C10 D129.设 ,abR，定义运算“ ”和“ ”如下： ,ab,ab若正数 ,cd满足4， cd，则（ ）A
3、2ab， cd B 2ab， cdC ， D ，10.已知函数 ()fx的定义域为 (0,)，且满足 ()()0fxfA（ ()fx是 f的导函数） ，则不等式2(1)1x的解集为（ ）A （-1,2） B （1,2） C (2,) D (,2)11.设实数 ,xy满足20146y，则 xy的最大值为（ ）A12 B14 C 52 D 912.已知函数 ()sin()fxAx（ ,A均为正的常数）的最小正周期为 ，当 23x时，函数()fx取得最小值，则下列结论正确的是（ ）A 0(2)f B (2)0(2)ffC f D第卷（共 90分）二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20
4、 分。13.已知函数 2,0()xf，则不等式 2()fx的解集为_.14.在极坐标中，圆 8sin上的点到直线 3R距离的最大值是_.15.已知数列 na的前 项和为 S，对任意 *nN都有 213nSa，若 2kS，则正整数 k的值为_.16.学校餐厅每天供应 500名学生用餐，每星期一有 A， B两种菜可供选择.调查表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有 20%改选 B菜；而选 菜的，下星期一会有 30%改选 A菜，用 *()naN表示第n个星期一选 菜的人数，如果 1428a，则 的值为_.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）
5、 17.（本题满分 10分）在 ABC中，角 ,所对的边分别为 ,abc，且 2cosCB（）求 B的大小；（）若点 M为 的中点，且求 M，求 sinCA的值18. （本题满分 12分）已知首项为 12的等比数列 na是递减数列，其前 n项和为 nS，且 1a，2Sa， 3成等差数列（）求数列 n的通项公式；（）若 *2log()baNA，数列 nb的前 项和为 nT，求满足不等式 216nT的最大 n值19. （本题满分 12分）如图 1，在 RtABC中， 90， 0BAC， ， DE、 分别为CBD、的中点，连接 E并延长交 于 F，将 D沿 折起，使平面 平面 BC，如图2所示（）：
6、求证： A平面 D；（）求平面 F与平面 C所成的二面角（锐角）的余弦值；（）在线段 上是否存在点 M使得 /E平面 ADC?若存在，请指出点 M的位置；若不存在，说明理由.20. （本题满分 12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1t该产品获利润 500元，未售出的产品，每 1t亏损 300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130t该农产品，以 X（单位： t， 05X）表示下一个销售季度内的市场需求量， T（单位：元）表示下一个销售季度内销商该农产品的利润.（）将 表示为 X的函数，并根据直方图估计利润 T
7、不少于 57000元的概率；（）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若 10,)X，则取 105X，且 的概率等于需求量落入 10,)的概率）求利润 T的数学期望.21. （本题满分 12分）已知点 (0,2)M，椭圆2:1(0)xyEab的焦距为 23，椭圆 E上一点G与椭圆长轴上的两个顶点 A， B连线的斜率之积等于 4.（）求 E的方程；（）设过点 的动直线 l与 E相交于 P， Q两点，当 OP的面积最大时，求 l的直线方程.22.（本小题满分 12分）已知函数 ()2xfea是奇函数.（）求实数 a的
8、值，并判断 的单调性；（）设函数 ()24()gxfbfx，当 0时， ()0gx恒成立，求实数 b的取值范围.厦门一中 2014 级高三（上）暑假第三次检测理科数学试题参考答案一、选择题1.C 2. A 3.D 4.B 5. 6.C 7. A 8. 9. A 10.B 11.C 12.D二、填空题13.2，2 ； 14.6； 15. 2； 16.301；三、解答题17.（）解：（1） 2cosaCbB， coscosaBbCa， cosB.3分 0， 3.5分.（）在 AC中，由余弦定理得： 222cosACaBac，在 BM中，由余弦定理得 1144McA.7分 ， 221342aca.由
9、正弦定理得 sin3A.10分18.解：（）设等比数列 n的公比为 q，由题知 1，又 na为递减数列，于是 12q， 1()2nnaq.6分（） 2log()nnbaA， 11()()nnT A23 1()22n.7分两式相减得： 21 1()11()()()222nnn nnT AA1()nA， ()nnT.10分 26n，解得 4. 的最大值为 4.12分19.解：（）在 RtABC中 90， D为 AC的中点， BDA， 60BC， ABD为等边三角形. E为 的中点， E于 .面 面 C，且交于 BD，在 中， 面 .4分（）由结论 面 ， F，由题意知 E，又 AE，如图，以 为坐
10、标原点，分别以 DA、 、 所在直线为 x轴、 y轴、 z轴，建立空间直角坐标系.由（）可得 2ABC， 1B.在等边三角形 D中， 33EF、 、 ，则 (0)(10)()(0)(,0)(,20)EBAC， ， 、 ， ， 、 ， ， 、 ， ， 、 ， 、 ， ，则 3,C， 、 3， ， .易知平面 EF的一个法向量为 (1ED， ， .设平面 AD的法向量为 (,)nxyz，则 0n，即 03.取 1x得 (,1),6分 5cos,)nED.平面 AF与平面 C所成的锐二面角的余弦值为 158 分（）设 AMF，其中 0,1， 3(,0)AM， 3(,)，其中 ,. (,0(1)3EA
11、.10分由 0EMnA，得 3(1)30，解得 30,14.在线段 F上存在点 ，使 /EM平面 ADC，且 :3:4F.12分20.解：（）当 ,)X时， 53()890TXX，当 130,5时， 01360，所以 89,6,5.TX3分利润 不少于 57000元当且仅当 1205.4分由直方图知需求量 ,的频率为 0.30+0.25+0.15=0.7，所以下一个销售季度内的利润 T不少于57000元的概率的估计值为 0.7.6分（）依题意可得 T的分布列0.1 0.2 0.3 0.4P45000 53000 61000 65000T的数学期望为 ()450.130.2610.3650.49
12、0ET.12分21.解：（）设 0,Gxy，则200()bax，由条件知，201yxa，即得2214ba.2分又 233cb，所以 2a， 1b，故椭圆 E的方程为214xy.5分（）当 lx轴时不合题意，故设直线 :lk， 1(,)Pxy， 2(,)Q.将 :2lyk代入214y得 2(4)620x， 6430k.从而22123|kPQx.又点 O到直线 P的距离 21dk，所以 O的面积24|1SdPQkA.8分设 2430kt，则 t， 24412tStA.当且仅当 2t即 7k时取等号，且 7k满足 0.10分所以，当 OPQ的面积最大时， l的方程为 :2lyx.12分22.解：（）
13、因为 ()2xfea是奇函数，所以 ()(ffx，即 2)xea，解得 1.2分因为 ()xfe，所以 (20xxfeeA，当且仅当 0时，等号成立，所以 )在 ,)上单调递增.4 分（） 2()24()4()xxgxfbfebe2 8xee2 2()()()()()4(1)x xxxeeeb 21xxeeb.7分当 (1)b即 2时， ()0gx，等号仅当 0x时成立，所以 ()gx在 ,)上单调递增.而 0g，所以对任意 ， .9分当 2b时，若 x满足 22xeb，即 20ln(1)xbb时， ()0gx.而 (0)g，因此当 0ln(1)时， )g，不符合题意.11 分综上知， 的取值范围是 ,.12分
