1、2017 届甘肃省高台县第一中学高三上学期期末考试数学理试题一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i是虚数单位，若，则 lgab的值是（ ）A 2 B 1 C0 D 122.已知集合 Mx，集合 20Nx，则 MN等于（ ）A 12x B 01 C 2x D 2x3.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入 的值为 1，则输出的 S值为（ ）A64 B73 C512 D5854.已知等比数列 na中，各项都是正数，且 1a， 32， 2a成等差数列，则 91078a（ ）A 12 B 12 C. D 5.某学
2、校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为 20 4， ，40 6， 80， ， 10， ，若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是（ ） A45 B50 C.55 D606.已知 1a， 2b，且 ab，则向量 a与向量 b的夹角为（ ）A 6 B 4 C. 3 D 237.“ 0a”是“函数 1fxax在区间 0 ， 内单调递增”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充分必要条件 D既不充分也不必要条件8.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A 2865 B 60125 C.5612 D 30659.将函数 3cosinyxR
3、的图象向左平移 0m个单位长度后，所得到的图象关于 y轴对称，则 m的最小值是（ ）A 6 B 12 C. 3 D 5610.已知 0 210101xaxaLax，则 8a等于（ ）A 5 B5 C.90 D18011.设抛物线 2:30Cypx的焦点为 F，点 M在 C上， 5F，若以 MF为直径的圆过点 0 2， ，则 的方程为（ ）A 24yx或 28 B 2yx或 28 C. 24yx或 216x D 2yx或1612.已知函数 210xfe与 2lngxxa的图象上存在关于 y轴对称的点，则 a的取值范围是（ ）A 1 e， B e， C. 1 e， D 1 e，二、填空题（每题 5
4、 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.定积分 42016xd 14.已知 y， 满足约束条件102y，求 221zxy的最小值是 15.若三棱锥 PABC的最长的棱 2PA，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是 16.已知数列 na满足 1， *1nnaN，则 2016S 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分）ABC中，角 BC， ， 所对分别分别是 abc， ， ，且 1os3A.（1）求 2coscs2A的值；（2）若 3a，求 面积的最大值.18. （本小题满分 12 分）心理学家
5、分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同不（男 30 女 20） ，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况如下表：（单位：人）几何题 代数题 总计男同学 22 8 30女同学 8 12 20总计 30 20 50（1）能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在 5-7 分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在 6-8 分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率.（3）现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取
6、两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 的分布列及数学期望 EX.附表及公式 2Pk0.150.10.50.250.10.50.1.72.763.841.46.357.89.822nadbckd.19. （本小题满分 12 分）如图，三棱锥 PABC中， 底面 ABC， 90， 2PBCA， E为 PC的中点，点 F在A上，且 2F.（1）求证： BE平面 PAC；（2）求直线 与平面 F所成角的正弦值.20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 2:10xyCab的离心率为 63，以原点 O为圆心，椭圆 C的长半轴长为半径的圆与直线260x相切.（1）求椭圆 的
7、标准方程；（2）已知点 A， B为动直线 20ykx与椭圆 C的两个交点，问：在 x轴上是否存在定点 E，使得 E为定值？若存在，试求出点 E的坐标和定值；若不存在，请说明理由.21. （本小题满分 12 分）已知函数 12lnxxef.（1）求曲线 yf在 处的切线方程；（2）证明： 1fx.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲已知 ABC 中， A， D为 BC 外接圆劣弧 A上的点（不与点 A、 C重合） ，延长 BD至 E，延长 D交 的延长线于 F.（1）求证： CDFE；（2）求证： A
8、BCFB.23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：极坐标系与参数方程已知曲线 C的参数方程为 310cosinxy（ 为参数） ，以直角坐标系原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；（2）若直线的极坐标方程为 1sinco，求直线被曲线 C截得的弦长.24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 3 0fxm， ， 30fx的解集为 2 ， ， .（1）求 的值；（2）若 xR， 21fxt成立，求实数 t的取值范围.高三数学（理）试题答案一、选择题1-5:CABCB 6-10:BCDAD 11、12：CB二、填空题
9、13.4 14. 12 15. 43 16. 10832三、解答题17.解：（1） 22 2 21cos1cos114coscs2cos 39BCBCAA （2）由余弦定理：222243cos33abbcbcc， 94c，当且仅当 32b时，有最大值 94， 1cosA， 0 ， ，221sin1cos3A， max93i24ABCSbc .18.解：（1）由表中数据得 2K的观测值250850.65.02439K，所以根据统计有 7.%的把握认为视觉和空间能力与性别有关.（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 x， y分钟，则基本事件满足的区域为 5768xy（如图所示）设事件 A为“乙比
10、甲先做完此道题 ”，则满足的区域为 xy，由几何概型 128P，即乙比甲先解答完的概率为 18.（3）由题可知在选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人，抽取方法有 28C种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有 2615C种，恰有一人被抽到有 126C种，两人都被抽到有 21种. X可能取值为 0，1，2， 508PX，387P，2，X的分布列为：0 1 2P15282818 15028EX.19.解：（1）证明： PB底面 AC，且 底面 ABC， PB，由 9BCA，可得 ，又 P， 平面 ，注意到 E平面 ， ACBE， BC， 为 中点， P， PA， 平面 .（2）如图，以 为原点，
11、BC所在直线为 x轴， B为 z轴建立空间直角坐标系，则 2 0C， ， ， 2 0A， ， ， 2P， ， ， 1 0E， ， ，14 33BFPB， ，设平面 E的法向量 mxyz， ， ，由 0m， 0得 2403，即 2xyz，0，取 1x，则 y， 1z， 1m， ， ，2 0AB， ， 6cos 3AB， 6sin3，直线 AB与平面 EF所成角的正弦值 .20.解：（1）由 e得 63ca，即 ca又以原点 O为圆心，椭圆 C的长轴长为半径的圆为 22xya，且与直线 260xy相切，所以 22a代入得 2c，所以 bc，所以椭圆 C的标准方程为216xy.（2）由 216xyk
12、得 222310kxk，设 1 Axy， ， 2 Bxy， ，所以2123k，2163kx，根据题意，假设 轴上存在定点 0Em， ，使得 2EAAB为定值，则 11221212 ABxmyxyxy， ，224kkkm2231063k要使上式为定值，即与 k无关， 2231036m，得 73m.此时， 22569EAB，所以在 x轴上存在定点 7 03E， 使得 2EAB为定值，且定值为 59.21.解：（1）函数 fx的定义域为 0 ， ，12lnxxeef ，由题意可得 f， f，故曲线 yfx在 1处的切线方程为 12yex；（2）证明：由（1）知， 12lnxfe，从而 fx等价于 l
13、nx，设函数 lg，则 1lnx，所以当 0 e， 时， 0gx；当 x， 时， .故 g在 10 e， 上单调递减，在 1 e， 上单调递增，从而 x在 ， 上的最小值为 g，设函数 2xhe，则 1xhe，所以当 0 1， 时， 0；当 x， 时， hx.故 h在 0 1， 上单调递增，在 1 ， 上单调递减，从而 x在 +， 上的最大值为 he，因为 min max1ghe，所以当 0x时， g，即 1f.22.解：（1）证明： A、 B、 C、 D四点共圆 CDF， ABC， ABC，且 D，EF， .（2）由（1）得 ABF，又 BADF，所以 D 与 相似， ABF， 2，又 C，
14、 ABF， ，根据割线定理得 D， ABCDFB.23.解：（1）曲线 C的参数方程为 310cosinxy（ 为参数）曲线 的普通方程为 223x，曲线 表示以 3 1， 为圆心， 10为半径的圆，将 cosinxy代入并化简得， 6cos2in，即曲线 C的极坐标方程为 i.（2）直线的直角坐标方程为 1yx，圆心 到直线的距离为 32d，弦长为 9202 .24.解：（1） fxm，所以 3fxm， 0m， 或 ，又 0f的解集为 2 ， ， ，故 2.（2） 231fxt等价于不等式 2331xt，4 1321322 xgx xx， ，故 max72g，则有 23t，即 2310t，解得 12t或 t.
