1、1 3 函数的单调性（一） 学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性. 3.会用定义证明函数的单调性 知识点一 函数的单调性 思考 画出函数f(x)x、f(x)x 2 的图像，并指出f(x)x、f(x)x 2 的图像的升降情况 如何？梳理 单调性是相对于区间来说的，函数图像在某区间上上升，则函数在该区间上为增函 数反之则为减函数 很多时候我们不知道函数图像是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙所以有 以下定义： 一般地，在函数yf(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x 1 ，x 2 A，当 x 1 f(x 2 )，那么，就称函数yf(
2、x)在区间A上是_，有时也称函数 yf(x)在区间A上是_ 如果函数yf(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，就称函数yf(x)在该子集 上具有单调性；如果函数yf(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个 函数是增函数或减函数，统称为单调函数 知识点二 函数的单调区间 思考 我们已经知道f(x)x 2 在(，0上是减少的，f(x) 在区间(，0)上是减 1 x 少的，这两个区间能不能交换？2梳理 一般地，有下列常识： (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的 端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开
3、(2)单调区间D定义域 I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大 类型一 求单调区间并判断单调性 例1 如图是定义在区间5,5上的函数yf(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及 在每一单调区间上，它是增加的还是减少的？反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集； 当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“， ”分开，不能用“” ，可以用 “和”来表示；在单调区间D上函数要么是增加的，要么是减少的，不能二者兼有3 跟踪训练1 写出函数y|x 2 2x3|的单调区间，并指出单调性类型二 证明单调性 命题角度1 证明具体函数的单调性 例2 证明f(x)
4、 在其定义域上是增函数 x反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任 意取x 1 ，x 2 且x 1 0时，f(x) 1.求证：函数f(x)在R上是增函数反思与感悟 因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x 1 )f(x 2 )，但可以借助题 目提供的函数性质来确定f(x 1 )f(x 2 )的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行 赋值 跟踪训练3 已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(mn)f(m)f(n)， 且当x0时，0f(x 2 )的 是( ) Af(x)x 2Bf(x) 1 x Cf(x)|x| Df(x)2x1 4
5、已知函数yf(x)满足：f(2)f(1)，f(1)f(1)，则x的取值范围是( ) Ax1 C11 1若f(x)的定义域为D，AD，BD，f(x)在A和B上都递减，未必有f(x)在AB上递 减 2对增函数的判断，对任意x 1 0或 0.对减函数的判断，对任意x 1 f(x 2 )，相应地也可用一个不等式来替代：(x 1 x 2 )f(x 1 )f(x 2 )0， x1 x2 f(x 1 )f(x 2 )0，故(x 1 x 2 )( )x 2 . 令xyx 1 ，yx 2 ，则xx 1 x 2 0. f(x 1 )f(x 2 )f(xy)f(y)f(x)f(y)1f(y)f(x)1. x0，f(
6、x)1，f(x)10， f(x 1 )f(x 2 )0，即f(x 1 )f(x 2 ) 函数f(x)在R上是增函数 方法二 设x 1 x 2 ，则x 1 x 2 0， 从而f(x 1 x 2 )1，即f(x 1 x 2 )10. f(x 1 )fx 2 (x 1 x 2 )f(x 2 )f(x 1 x 2 )1f(x 2 )， 故f(x)在R上是增函数 跟踪训练3 证明 对于任意实数m，n，恒有f(mn)f(m)f(n)，令m1，n0， 可得f(1)f(1)f(0)， 当x0时，0f(x)1， f(1)0，f(0)1. 令mx0，nx0， 则f(mn)f(0)f(x)f(x)1，f(x)f(x)1， 又x0时，0f(x)1，11 f(x) 1. 1 fx 对任意实数x，f(x)恒大于0. 设任意x 1 0， 0 ， 2 3 所求a的取值范围是( ，) 2 3 当堂训练 1C 2.C 3.B 4.D 5.C
