1、2017 届湖南长沙雅礼中学高三月考（四）数学（理）试题一、选择题1设集合 ， ，则下列结论正确的是（ ）1,M21|xNA B NMC DR【答案】B【解析】试题分析：由题意得，集合 或 ，所以1|2|0Nxx12，故选 B.NM【考点】集合的运算.2在复平面内，复数 满足 ，则 的共轭复数对应的点位于（ z|31|)(iiz）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【解析】试题分析：由题意得 ，所以|13|2(1)iiz ii，故选 A.1zi【考点】复数的运算及复数的表示.3在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题 是“甲降落在指定范围” ，p是“乙降落在指定范围
2、” ，则命题“至少一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ q）A B )(p)(qpC Dq【答案】C【解析】试题分析：由题意得命题“至少一位学员没有降落在指定范围”可表示只有一位学员没有落在指定范围或两位学员都没有落在指定范围，所以可表示为，故选 C.)(qp【考点】复合命题的判定与表示.4函数 的图象的一条对称轴方程为（ ）xxy2cos3sinA B 12x1C. D3x6x【答案】B【解析】试题分析：由题意得，函数 ，令sin23cos2in()3yxx解得 ，所以函数的其中一条对称轴的方程为 ，故选 B.23x12x 1【考点】三角函数的图象与性质.5一个三棱锥的正视图和俯视图如下图
3、所示，则该三棱锥的侧视图可能为（ ）【答案】D【解析】试题分析：根据几何体三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则” ，则该三棱锥的侧视图可能为选项 D，故选 D.【考点】空间几何体的三视图.6四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是（ ）A72 B96 C. 144 D240【答案】C【解析】试题分析：先从 为男生中选 为捆绑在一起，和剩余的 为男生，插入到422为女生所形成的空隙中，所以共有 种不同的排法，故选 C.2 341A【考点】计数原理及排列的应用.7已知函数 的图象如图所示，则函数 的图象可)0(sinabxy )(logbxya能是（ ）【答案】
4、A【解析】试题分析：由图象可知， ，所以函数 可视01,ab)(logbxya为函数 的图象向左平移 个单位，故选 A.logayx【考点】函数图象的应用.8从混有 5 张假钞的 20 张一百元纸币中任意抽取 2 张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率为（ ）A B 19187C. D42【答案】D【解析】试题分析：设事件 表示“抽到的两张都是假票” ，事件 表示“抽到的两AB张中失少有一张假票” ，则所求的概率为 ,有(|)PB，所以 ，故选 D.22155500(),()CCPAB 251| 7CA【考点】事件的独立性与条件概率.9公元 263 年左右，我国数学家刘
5、徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的 值为（ ）n参考数据： ， ， .732.1258.0si 1305.7sinA12 B24 C. 48 D96【答案】B【解析】试题分析：模拟执行程序框图，可得： ，不满足036,sin2S条件；不满足条件03.10,2,6sin3SnS，满足条件，退出循环，输出结果，故选 B.415.16【考点】程序框图的应用.【方法点晴】本题主要考查了程序框图的计算与输出，其中解答中
6、涉及到循环结构的程序框图的应用，特殊角的三角函数值的求解，循环计算的判定等知识点的综合考查，试题比较基础，属于基础题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理、运算能力，正确理解循环结构的循环计算是解答的关键.10如图，正方体 的棱长为 ，以顶点 为球心，2 为半径作一1DCBA3A个球，则图中球面与正方体的表面相交得到的两段弧长之和等于（ ）A B 6532C. D 67【答案】A【解析】试题分析：如图，球面于正方体的两个面都相交，所得的交线分别为两类，一类在顶点 所在的是三个面上，即 、面 和面 上，另一类在A1ABCD1A不过顶点 的三个面上，即 、面 和面 上，在面 上，1C1
7、1B交线为弧 且过球心 的大圆上，因为 ，则 ，同理EF2,3E16E，所以 ，所以弧 的长为 ，而这样的弧共有三条，6BA6AF6在面 上，交线为弧 且在距离球心为 的平面上与球面相交所得的小圆上，1CG1此时，小圆的圆心为 ，半径为 ，所以 ，所以弧 的长为 ，B12BFG12于是所得曲线的长为 ，故选 A.65【考点】空间几何体的性质及综合应用.11 为双曲线 右支上一点， 分别为双曲线的左、右焦点，且P1942yx21,F，直线 交 轴于点 ，则 的内切圆半径为（ ）021F2AP1A2 B3 C. D31【答案】A【解析】试题分析：如图所示，记 与 的内切圆相切于点 ，则12,AF1
8、P,NM，则1,NMPQN，则 ，则122FAM12Q21()()FPFP，即 ，所以 ，由 ，得 ，所4PQa128c4以 ，故选 A.cea【考点】双曲线的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到双曲线的标准方程、双曲线的定义及其几何形会的应用，离心率的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中灵活应用双曲线的定义，进行化简求值是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.12已知实数 满足 ，则 的最小值ba, Rcba,0ln52 22)()(cba为（ ）A B 212C. D39【答案】C【解析】试
9、题分析：用 代换 ，用 代换 ，则 满足 ，即xayb,xy25ln0xy，以 代换 ，可得点 ，满足 ，所以求解25lnyxc(,)0的最小值即为求解曲线 上的点到直线 的2)()(bca2lyxxy距离的最小值，设直线 与曲线 相切于点 ，则0xym5n0(,)P，则 ，解得 ，所以切点 ，又由54fx00541fx0x1,2点 到直线 的距离为 ，故选 C.Py23d【考点】导数的应用问题.【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到导数的运算、导数的几何意义、曲线在某点的切线方程的求解与应用，以及点到直线的距离公式等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，
10、以及转化与化归思想的应用，本题的解答中求解 的最小值转化为求解曲线 上22)()(cba 25lnyx的点到直线 的距离的最小值是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试0xy题.二、填空题13已知平面向量 满足 ，则 ba, 3,2|,3| ba|2|ba【答案】 7【解析】试题分析：由题意得 ，所2|4437以 .|2|ba【考点】向量的运算.14设函数 ，若 ，则 0,23)(xf 1)(0xf0【答案】 1【解析】试题分析：由题意得，当 时，令 ，当 时，00321xx0x令 ，所以 .00x0x1【考点】分段函数的应用.15已知 满足 ， 的最大值为 ，若正数 满足yx,132yyx
11、z2mba,，则 的最小值为 mbaba4【答案】 23【解析】试题分析：作出不等式组所对应的平面区域：如图所示，由 得2zxy，平移直线yxz，由图象可知直线 经过点 时，直线 的截22yxz(3,0)Ayxz距最大，此时 最大，代入可知目标函数的最大值为 ，即 ，则z max6z6b14144()5()66baab，当且仅当 时，即 等号成立，所以352 22,4b的最小值为 .ba41【考点】简单的线性规划的应用.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中涉及到利用简单的线性规划求解目标函数的最值，基本不等式求最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力
12、，以及数形结合思想的应用，试题比较基础，属于基础题，本题的解答中正确作出不等式组所表示的平面区域，利用线性规划求解目标函数的最大值是解答的关键.16 在xaxaxxxf )14()cos(in3)si)(cosin(co21) 上单调递增，则实数 的取值范围为 0,a【答案】 )1【解析】试题分析：由题意得，函数可化简为，()cos23(incos)(41)fxaxax则 ，又因为 ，i,02设 ，且sncsi(),4txx，所以 在22(io)1nco1sin2x2()340ftat上恒成立，即 在 上恒成立，设 ，1,t234ta,gt，当 时可求得 ，所以实数 的取值范围为 .,ttma
13、x1gta),1【考点】利用导数研究函数的单调性.【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性的应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、以及三角函数的恒等变换和三角函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中正确理解题意，转化为导数的应用是解答的关键.三、解答题17某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期 12
14、 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日温差 （）x10 11 13 12 8发芽数 （颗）y23 25 30 26 16该农科所确定的研究方案是：先从这 5 组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验.（1）求选取的 2 组数据恰好是不相邻的 2 天数据的概率；（2）若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，求 关于 的线性回归方程 ；yxabxy（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过 2 颗，则认为得到的线
15、性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（注： ）xbyaxyxnybniiiiiinii ,)(1212 【答案】 （1） ；（2） ；（3）该研究所得到的线性回归方程是可靠的535y【解析】试题分析：（1）根据题意列举出从 组数据中选取 组数据共有 种情况，5210每种情况都是可能出现的，满足提偶见的时间包括基本事件有 种，根据等可能时间6的概率作出结果；（2）根据所给的数据，先作出 的平均数，即作出本组数据的样,xy本中心点，根据最小二乘法求出线性规划方程的系数，写出线性回归方程；（3）根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 颗，就认为得到的线性回归方程是可2靠
16、的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的.试题解析：（1）设抽到不相邻两组数据为事件 ，因为从 5 组数据中选取 2 组数据共A有 种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况共有 4025C种，所以 ，故选取的 2 组数据恰好是不相邻的 2 天数据的概率为 .5314)(AP 53（2）由数据，求得 ， ，1)(x 7)6305(y.973yx， ，9726130251ii 3412231ix，432x由公式求得.3,2543973123 xbyaxybiii所以 关于 的线性回归方程 .yy（）当 时， ，同样地，当 时，0x 2|3|,235x 8x，
17、所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的.2|167|,3825y【考点】等可能事件的概率；回归分析.18如图，在四棱锥 中， 平面 ， 平面 ，ABCDPBCP/DABP.BCA（1）证明：平面 平面 ；BAPD（2）点 为线段 （含端点）上一点，设直线 与平面 所成角为 ，求MMPDC的取值范围.sin【答案】 （1）证明见解析；（2） 23,46sin【解析】试题分析：（1）分别取 中点 ，连接 ，则四边形BPA,OE,为平行四边形，可通过 平面 ，进而证得平面 平面 ；DEOCCBAPD（2）由（1）可得 两两垂直，以 为原点建立空间直角坐标系 ，OE, xyzO求出向量 和平面平面 的一个法向量为 ，根据向量所成的角，PMDP)0,31(n即可求解 的取值范围.sin试题解析：（1） 平面 ， ，分别取 中点 ，连接/CABC/BPA,E,，则 ，所以四边形 为平行四边形，OED, EO, DE ， ， 平面 ，/P 平面 ，平面 平面 .ABAP（2）由（1）可得 两两垂直，OEBC,以 为原点建立空间直角坐标系 ，如图，Oxyz则由已知条件有： ，)0,1(),3(),0(PD
