1、1柯西不等式【柯西不等式的主要内容】1. 柯西主要贡献简介：柯西（Cauchy） ，法国人，生于 1789 年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.2.二维形式的柯西不等式： 若 ,abcdR，则 , 当且仅当 时, 等号成立.22 2()()()abcdacbd证法 10.（综合法） 2222()()()acbd当且仅当 时, 等号成立.证法 20.（构造法）分析： 222()()acbdabcd222()4()0acbd而 的结构特征 4(那么， 证：设 ，2
2、22()()fxabxacbdx 0 恒成立.2c . 得证.证法 30.（向量法）设向量 ， ， 则 ， .(,)mab(,)ncd|m|n ，且 ，有 . n ,os| |m . 得证. 变式 10. 若 ,abcdR，则 |22bdaccba或 bdac22；变式 20. 若 ,，则 ()()bd ；变式 30.（三角形不等式）设 321,yxyx为任意实数，则：2221 3()()()()3. 一般形式的柯西不等式：设 n为大于 1 的自然数， ,iabR( i1,2,n)，则： .当且仅当 时, 等号成立. (若 0ia时，约定 0ib， i1,2, ).变式 10. 设 ,(1,2
3、),iiRn 则： iniiba212)(.当且仅当 时, 等号成立. 2变式 20. 设 (1,2),iabin 则： ini ba21)(. 当且仅当 nbb21时,等号成立.如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！柯西不等式的应用：例 1. 已知实数 ,abcd满足 3bcd， 22365abcd. 试求 a的最值例 2 在实数集内 解方程2294863xyz例 3 设 P是三角形 ABC内的一点， ,xyz是 p到三边 ,
4、abc的距离， R是 ABC外接圆 的半径，证明： 221xyzabcR例 4 (证明恒等式) 已知 ,1122aba 求证： 12ba。3例 5 (证明不等式)设 ,121naa 求证: 011321 aaann【同步训练】 1.已知 12,naR ，求证： 222121()nnaaan 2.已知 ,abcd是不全相等的正数，求证： 22abcdabcda3.已知 22231,xyzxyz求 的 最 小 值 .4.设 12n,xR, 12nx1,且 求证：2212x1nx45.已知实数 ,abcde满足 8bcde, 22216,abcde 求 的取值范围.6.已知 ,xyzR 且 1,xy
5、z 求证： 4936xyz7.已知正数 ,abc满足 1c 证明 2233abcabc8.若 n 是不小于 2 的正整数，试证： 411272342n 。5参考答案:一般形式的柯西不等式：设 n为大于 1 的自然数， ,iabR( i1,2,n)，则： 2112)(niinii baa，其中等号当且仅当 n21时成立(当 0ia时，约定 0ib， 1,2, ).等号成立当且仅当 )(iabii 柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便地解决一些中学数学中的有关问题。例 1 解：由柯西不等式得，有 22213636b
6、cdbcd即 22236bcd 由条件可得， 2253a解得， 1a当且仅当 1316bcd 时等号成立，代入 ,36bcd时， max221时 in例 2 解：由柯西不等式，得2222864864xyzxy 2931439 又 239xy. 2222 86xyzxyz即不等式中只有等号成立. 从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 8624z它与 862439xy联立，可得 13x 9y 183z例 3 证明：由柯西不等式得， 1xyzaxbyczaxbyczabcA记 S为 ABC的面积，则6242abcaxbyczSRA1abcR221abcR故不等式成立。例 4 证明：由柯西不等式，得
7、1112222 a当且仅当 ba221时，上式取等号，,2b ,122ba于是 12 。例 5 分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证： ,13211 nn aaa证明：为了运用柯西不等式，我们将 1写成3211 nna于是.12 321321 aaaa nn 即 ,11321 321 nnn aaa 故 .011321nn我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。练习 1证： 2222 21 12()()(1
8、)n naaa 11)()nnn 7 222121()nnaaan 2、2222 2:() , ,()() acdbcbcdb aaccd证 明 是 不 全 相 等 的 正 数 不 成 立即322222:(133141,74xyzxyzxyz解 当 且 仅 当 即 时 取 最 小 值4、212212n12122:() ) (x)(1 )()1nnnxxx 证 明522222: 4(a1)()bcd68,641605cdeee解即 即 故6 222:1499()()13)61,496.xyzxyzzy证 法 一 用 柯 西 不 等 式当 且 仅 当 即 时等 号 成 立:199()()()4461231,2xyzxyzxyzxyzxzyz证 法 二 代 入 法当 且 仅 当 即 时 等 号 成 立7证明：利用柯西不等式 23131222abcabc8222333abcabc 2331又因为 2abcabc 在此不等式两边同乘以 2，再加上 22abc得： 223232ccc故2233abab9、证明：证明： 11111()2()234223442nnn 所以求证式等价于 411272nn由柯西不等式有 2()()1 n 于是：2412(1) 73nnnn 又由柯西不等式有 222221 1(1)(21()()nn n ()(1)(2)()22n
