1、2017 年邵阳市高三第一次联考试题卷理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 2|650Ax， |3Bxy， AB（ ）A 3B 1,3C (,5D 3,5 2.复数 2iz的虚部为（ ）A 1B C iD i 3.已知等差数列 na， 246，则其前 5项的和 5S（ ）A 5B C 1D 30 4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 6B 103C 3D 83 5.点 P是双曲线296xy的右支上的一点， M是圆 2(5)4xy上的一点，点 N的坐标
2、为 (5,0)，则 |MN的最大值为（ ）A 5B C 7D 8 6.如图所示，程序框图的算法思路源于数学名著几何原本中的“辗转相除法” ，执行该程序框图（图中“ m OD n”表示 m除以 n的余数） ，若输入的 m， n分别为 2016， ，则输出的 m（ ）A 0B 36C 72D 180 7.若函数 ()xxfak（ 0且 1a）在 (,)上既是奇函数又是增函数，则函数()logx的大致图象是（ ）8.在 ABC中，角 ， ， C对应边分别为 a， b， c，已知三个向量 (,cos)2Ama，(,cos)2nb， (,cos)2p共线，则 AB形状为（ ）A等边三角形 B等腰三角形
3、C直角三角形 D等腰直角三角形 9.如图所示，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形的概率为 15，设直角三角形中较大的锐角为 ，则 sin（ ）A 5B 25C 3D 2 10.设抛物线 2ypx（ 0）的焦点为 F，已知点 A， B为抛物线上的两个动点，且满足10FB，过弦 A的中点 M作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 ，则 |NAB的最大值为（ ）A 3B 1C 23D 2 11.设函数 ()fx是奇函数 ()fx（ R）的导函数， (1)0f，当 x时， ()0fxf，则使得 0f成立的 的取值范围是（ ）A (,1)(,B (1,0),
4、)C (,)(,D (,1)12.已知函数 fx满足：对任意 x，恒有 2fxf成立；当 (,2x时，()2fx若 ()2)af，则满足条件的最小的正实数 a的值为（ ）A 8B 34C 36D 10 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.若二项式展开式 ()ax的第三项系数为 80，则实数 a 14.已知向量， b的夹角为 60， |1a， |2|7b，则 |15.已知数列 n为等比数列，且 8be（ 为自然对数的底数） ，数列 na首项为 1，且 1nnab，则 2016la的值为 16.已知 x， y满足,41,x则223yx的取值范围为
5、 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知 ABC的内角 ， ， C的对边分别为 a， b， c，且满足 1a， sin(2)(1cos)ABC（1）求 b的值；（2）若 的面积为 32，求 c的值18.如图所示，已知三棱柱 1ABC中， 11ABC， 1A， 160B（1）求证： 1ABC；（2）若 12， 1，求二面角 1CAB的余弦值19.空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级） ，相对应空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大指数 级别 类别 户外活动建议05 优1 良可正常活动轻微污染520轻
6、度污染易感人群症状有轻度加剧，健康人群出现刺激症状，心脏病和呼吸系统疾病患者应减少体积消耗和户外活动1中度污染3中度重污染心脏病和肺病患者症状显著加剧，运动耐受力降低，健康人群中普遍出现症状，老年人和心脏病、肺病患者应减少体力活动05 重污染 健康人运动耐受力降低，由明显强烈症状，提前出现某些疾病，老年人和病人应当留在室内，避免体力消耗，一般人群应尽量减少户外活动现统计邵阳市市区 2016 年 10 月至 11 月连续 60 天的空气质量指数，制成如图所示的频率分布直方图（1）求这 60 天中属轻度污染的天数；（2）求这 60 天空气质量指数的平均值；（3）一般地，当空气质量为轻度污染或轻度污
7、染以上时才会出现雾霾天气，且此时出现雾霾天气的概率为 58，请根据统计数据，求在未来 2 天里，邵阳市恰有 1 天出现雾霾天气的概率20.如图所示，已知椭圆 C： 21xyab，其中 0ab， 1F， 2分别为其左，右焦点，点 P是椭圆C上一点， 2POFM，且 1P（1）当 2a， b，且 21PF时，求 的值；（2）若 ，试求椭圆 C离心率 e的范围21.已知函数 ()lnfxax（ 0） ， ()1fxg（1）求函数 单调区间；（2）当 a时，求函数 ()fx在 ,e上的值域；求证：2213()nkng，其中 N， 2n （参考数据 ln20.6931）请考生在 22、23 两题中任选一
8、题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知直线 l：1,23,xty（ 为参数） ，曲线 1C： cos,inxy（ 为参数） （1）设 l与 1C相交于 A， B两点，求 |A；（2）若把曲线 上各点的横坐标伸长为原来的 3倍，纵坐标伸长为原来的 3 倍，得到曲线 2C，设点P是曲线 2上的一个动点，求它到直线 l的距离的最大值 23.已知函数 ()|3|fxxa（1）当 a时，解不等式 ()5fx；（2）若存在 0x满足 002|3，求实数 a的取值范围 2017 年邵阳市高三第一次联考试题卷理科数学答案一、选择题1-5:DAC 6-10:BA 11、12： AC二、填空题13.2
9、 14.3 15.2015 16.1,0三、解答题17.解：（1） sin(2)sin(cos)ABC， si() ，ncos()si2isinc()ABAB，si()nAB， 2si，由正弦定理得 ba，又 1， （2） 3sin2sin2ABCSC， 3sin2C， 1cos2，当 1co时，2241abc， 3c；当 s2C时，222cos， 7故 3c或 718.解：（1）四边形 1AB为平行四边形，且 11AB， 160A， AB为等边三角形，取 中点 O，连接 C， 1，则 1O， C， ， 1B， 1平面 1B， C平面 1B， A平面 ， A（2） 1为等边三角形， 2， 13
10、O，在 BC中， 2， BC， 为 AB中点， O， 1， 13， 2211， B，又 1A， O平面 C以 为原点， B， ， 1O方向为 x， y， z轴的正向，建立如图所示的坐标系， (1,0)A，1(0,3)， (,0)， (,0)，则 11,3OCC，则 1(,3)C， 1(,03)AB， 1(,3)C，则平面 BA的一个法向量 ()m，设 (,)nxyz为平面 1的法向量，则 1,30nABxzy令 1， 3xy， (3,1)n， 21cos,7|mn19.解：（1）依题意知，轻度污染即空气质量指数在 1520之间，共有 0.3569天 （2）由直方图知 60 天空气质量指数的平均
11、值为50.7.41250.37.7.x（3）空气质量为轻度污染或轻度污染以上的概率 10502P，出现雾霾概率为 .8，未来 2 天里，恰有 1 天为雾霾天气的概率 1127()832C20.解：（1）当 2a， b时，椭圆 为： 4xy， 1(,0F， 2(,)， 21PF，则 (,)或 (,2)P，当 (,)时， 2OPk， 2FMk， 14FMk,直线 2M： ()yx，直线 1F： 24，联立解得 165x， 14MFP同理可得当 (2,)时， 4，综上所述， 4（2）设 0(,)Pxy， (,)Mxy，由 1F， 0(,)(,)3Mxcyxcy， 2，2004(,)FMxcy，由 2
12、PO， (,x， 200()33xcy，即 2y，又 021xab，联立解得 0ac（舍）或 0()acx（ 0(,)xa） ， 0()(,x，即 2， 12e，故 121.解：（1） ()lnfxa当 0a时， 0， ()f在 ,)单调递增；当 时，令 1lnax，得 1lnax，即1axe， ()fx在 0,ae上单调递减，在1(,)ae单调递增（2） 1时， ()lnfxx由 ()lnfx，令 0f2e， 在 2,e单调递减， ,单调递增，且由 1()()2effe， 21()fe，值域为 21,由 ()lngx，设23(1)nS为 na前 项和， 2n，则 124nnaS，设 ()l(
13、)xx， 1(2)(xx，在 2,单调递减， 32)ln04， 21ln()4x， 14lnx，即 n时， 1l， 2lk223()m，故原不等式成立22.解：（1）由题意得直线 l的普通方程为 3(1)yx，曲线 C的普通方程为 21xy，联立得 23(),yx解得 (,0)A， (,)2B， |1AB（2）由题意得曲线 2C的参数方程为 3cos,inxy（ 是参数） ，设点 (3cos,in)P，点 到直线 l的距离 |3cosi3|2d12sin()3|4，当 sin()14时， max23.解：（1）当 时， ()|2|31|fx，当 2x时，不等式等价于 5x，解得 2，即 x；当 3时，不等式等价于 x，解得 1，即 2；当 1x时，不等式等价于 231，解得 ，即 x 综上所述，原不等式的解集为 |x或（2）由 00()2|fx，即 00|3xa，得 |36|3a，
