1、2017 届湖南省衡阳市高三下学期第三次联考数学（文）试题第 I 卷一、选择题：本大题共 12 小题每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合 2,10,3A， 3,AyxA，则 BA , B 2 C 10 D 1,02已知 aibi，其中 a， b是实数， i是虚数单位，则 abA0 B1 C2 D3 “直线 yx与圆 2y相交是“ 01”的A充要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件4在等差数列 na中，若 681072a，则 102a的值为A20 B22 C24 D285中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图 l
2、 是实现该算法的程序框图执行该程序框图，若输入的 x=2， n=2，依次输入的 a为 3，3，7，则输出的 s=A9 B21 C25 D346已知 2sin1cos2，则 tan()4的值为A B3 C 3或 3 D 1或 37设函数 ()fx是定义在 R 上的奇函数，且()log,0()xf，则 (8)g=A 2 B C2 D38已知双曲线 E：21,(0,)yabb，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E上，AB、CD 的中点为双曲线 E 的两个焦点，且双曲线 E 的离心率为 2，则直线 AC 的斜率为 k，则 等于A 2 B 32 C 52 D39如图 2 所示，三棱锥 VABC 的底面是以
3、 B 为直角顶点的等腰直角三角形，侧面 VAC 与底面 ABC 垂直，若以垂直于平面 VAC 的方向作为正视图的方向，垂直于平面 ABC 的方向为俯视图的方向已知其正视图的面积为 23，则其侧视图的面积是 A 32 B 3 C D310已知函数， ()sin()0,)fxAx的图象与直线 (0)yaA的三个相邻交点的横坐标分别为 2、4、8，则， (f的单调递减区间是A 6,3kkz B 63,kkzC D l1如图 3 所示，在正方体 1AC中， 112,ABCDE，直线 AC 与直线 DE所成的角为 ，直线 DE 与平面 B所成的角为 ， 则 cos()A 6 B 3 C 306 D 63
4、12已知 1x是函数 2()ln(,)fxabxabR的个极值点，则 lna与 b的大小关系是A lna B ln 1 C l= 1 D以上都不对第 II 卷本卷包括必考题和选考题两个部分，第(13)题一第(2l)题为必考题，每个考生都必须作答第(22)题一第(23)题为选考题。考生根据要求作答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13已知向量 (,1)(2,)ab，若 ab，则实数 的值为_。14在区间 0,6上随机取一个实数 x，则满足 2logx的值介于 1 到 2 之间的概率为_。15由约束条件,031xyk，确定的可行域 D
5、 能被半径为 2的圆面完全覆盖，则实数 k的取值范围是_16在数列 na及 b中以 2 21 1 1, ,nnnnnabababa 设1nnc，则数列 c的前 2017 项和为_-三、解答题：本大题必做题 5 个每题 12 分，选做题两个只选做一个，10 分满分 70分解答应写出文字说明证明过程或推演步骤17(本小题满分 12 分) 如图 4 所示，ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、 b、 c且满足3sincoCBb(1)求角 B 的大小； (2)点 D 为边 AB 上的一点，记 BDC，若 2，2C， 5A， 8a，求 sin与 b的值18(本小题满分 12 分) 全世界人们越来
6、越关注环境保护问题，某监测站点于 2016 年 8 月某日起连续 n天监测空气质量指数(AQI) ，数据统计如下(1)根据所给统计表和频率分布直方图巾的信息求出 n、 m的值，并完成频率分布直方图(2)由频率分布直方图求该组数据的平均数与中位数；(3)在空气质量指数分别属于50，100) 和150，200) 的监测数据中，用分层抽样的方法抽取 5天。再从中任意选取 2 天，求事件 A“两天空气都为良”发生的概率9(本小题满分 12 分)如图 5 所示，空间几何体 ADEBCF 中四边形 ABCD 是梯形，四边形 CDEF 是矩形，且平面 ABCD平而 CDEF，AD DCAB=AD=DE=2，
7、EF=4，M 是线段AE 上的动点(1)求证：AECD；(2)试确定点 M 的位置，使 AC平面 MDF，并说明理由；(3)在(2)的条件下，求空间几何体 ADMBCF 的体积 20(本小题满分 12 分)已知抛物线 2xy，过动点 P 作抛物线的两条切线，切点分别为A，B 且 2APBk(1)求点 P 的轨迹方程；(2)试问直线 AB 是否恒过定点?若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由21(本小题满分 12 分)已知函数， ()2)(12ln()fxaxxR(1)若曲线 (gxf上点(1，g(1) 处的切线过点 (0，2)，求函数 g( x)的单调递减区间；(2)若函数 )y
8、在 10,2上无零点，求 的最小值来源:请考生在第(22) 、(23 )两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做。则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22(本小题满分 10 分)在直角坐标系 xoy中，曲线 C 的参数方程为 2cos,(inxy为参数)，以原点 O为极点， x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为sin()42(1)求曲线 C 的普通方程与直线 l的直角坐标方程；(2)设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l的距离的最小值23(本小题满分 10 分)已知函数 ()21fxxa的定义域为 R(1)求实
9、数 a的取值范围；(2)若 的最大值为 k，且 (0,)mnkn，求证： 13mn2017 届高中毕业班联考（三） 数学（文科）答案1、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9.Com 10 11 12A A C C C D A B B D A B2、填空题13、 1 14、 3 15、 k 16、 40三、解答题17.（本小题满分 12 分）解：（1）由正弦定理可得 BCsincoi3,所以 3ta,故 0B-5 分（2）在 BCD中， Bsini,所以 52si-7 分在 A中，由 52i, ,所以 5cosADC-9 分在 中，由余弦定理的 ACcos22即 )(2=5所以 5b12 分
10、18.（本小题满分 12 分）（1） 10,2504.n1 分2m2 分8., 5., 02.1, 0.5（2）平均数为 95，中位数为 87.5；8 分（3）在空气质量指数为 )20,15),0和 的监测天数中分别抽取 4 天和 1 天，在所抽取的 5 天中，将空气质量指数为 的 4 天分别记为 dcba,；将空气质量指数为 )2,10的 1 天分别记为 e；从中任取 2 天的基本事件分别为：),(),(,)(,),( ecdbcadcba 共 10 种其中事件 A“两天空气都为良”包含的基本事件为：),(),(,)(,b共 6 种。10 分所以事件 A“两天空气都为良”发生的概率是 531
11、0)(AP12 分19.（本小题满分 12 分）解：（1） 四边形 CDEF 是矩形， EDCAD平 面,E在平面 内， 3 分（2）当 M是线段 的中点时， MF平 面/,证明如下：连结 ，于交 NFC连结 ,由于 的 中 点分 别 是 CEAN,所以 ACMN/,又 在平面 MDF内，所以 平 面 7 分（3）将几何体 BDE补成三棱柱 AE CB，三棱柱 A F的体积为 VSADE = 8421 8 分3202138 VCBBEBCFADE三 棱 柱 10 分4DEMF三 棱 锥 11 分 空间几何体 BFA的体积为 = 316 12 分20.（本小题满分 12 分）解：（）设 0,Px
12、y，则直线 PA： 00PAykx，代入抛物线方程：22AAxkk，因为直线与抛物线相切，所以 200PAkxy，2 分同理 200PBy，3 分所以 Ak， 分别为方程： 20kxy的两个不同的实根，5 分02PBy，所以 01，所以点 P的轨迹方程 1y6 分（）设 1,x， 2,，由 2yx， ，所以抛物线在 A， B点的切线方程分别为1y，8 分又都过点 0,Px，所以 120,y9 分所以直线 AB的方程为 01xy，11 分所以直线 恒过定点 ,12 分21.（本小题满分 12 分）解：（1）因为 xaxgln2)()-3(（所以 ，于是 g1又 1)(g，所以 102a得 a2
13、分所以 2x-3 xx得所以函数 )(的单调递减区间为：(0,2)4 分(2）因为 ），在 （ 210)(xf上恒成立不可能，所以函数 )210(，在xf上无零点5 分只要对任意的 )(,xf， 恒成立，即对 ,，lnxa-6 分恒成立 令 1ln2)(xh， 2)1(ln)xh7 分再令 ,lxm0(，0)1( 2xm所以 )(在 )20(， 上为减函数，于是 ln)(x9 分从而 1lnxh在 )(， 上为增函数所以 l4)(11 分故要使得 2xa在 )20(，恒成立，只要 ),2ln4a所以 lnmin12 分22.（本小题满分 10 分）解 ： () 由曲线 1C： 2cosinxy
14、 得 即：曲线 1的普通方程为：21。 由曲线 2C： 4)sin(得： 24)cos(in2，即：曲线 的直角坐标方程为: 08yx 5 分（）由() 知椭圆 1与直线 2C无公共点，椭圆上的点 (2cos,in)P到直线 yx的距离为2cosin83sin()82d所以当 si()1时， d的最小值为 6 10 分23.（本小题满分 10 分）解（1）依题意的： ax|1|2| 对于 Rx恒成立令 |)(xf，则 fmin)(因为 )21(3)(xf画出函数 )(f的图象可得 3)minf，所以 2a5 分（2）由（1）知 0,3nm所以 3)45(31)4(14n当且仅当 n，即 2,n取等号10 分
