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复变函数与积分变换课件78373561.ppt

上传人:无敌 文档编号:96115 上传时间:2018-03-12 格式:PPT 页数:42 大小:1.14MB
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1、第二节 解析函数,一、解析函数的概念,三、调和函数,二、函数解析的充分必要条件,2,一、解析函数的概念,1. 解析函数的定义,3,2. 奇点的定义,函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.,但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析.,函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.,4,例1,解,由本节例1-例3知:,5,例2,解,6,定理,7,常用结论,(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.,8,定理一,二、函数解析的充分必要条件,要证函数 u = u ( x, y ) 可微,即要证,由函数 = f ( z ) = u( x, y )

2、+ i v ( x, y ) 可微得,?,分析:必要性,10,证,(1) 必要性.,11,12,13,(2) 充分性.,由于,14,15,16,证毕,17,函数在区域D内解析的充分必要条件:,18,解析函数的判定方法:,例如,函数 等,19,二、典型例题,解,不满足柯西黎曼方程,20,四个偏导数均连续,指数函数,21,四个偏导数均连续,22,例4,解,23,例5,证,24,参照以上例题可进一步证明:,三、调和函数,1 概念,调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用.,2、解析函数与调和函数的关系,反之,给定D内调和函数u(x,y), v(x,y),分别以它们为实部和虚部构成的复

3、变函数 u(x,y)iv(x,y)是否就是解析函数?,3. 共轭调和函数的定义,区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.,讨论:已知一个调和函数 u, 如何求它的共轭调和函数 v, 从而构成一个解析函数u+vi.,解,例1,方法一:偏积分法,得一个解析函数,这个函数可以化为,答案,课堂练习,方法二:不定积分法,将上两式积分, 得,用不定积分法求解例1中的解析函数,解,例6,解,根据调和函数的定义可得,所求解析函数为,例7,解,两边同时求导数,所以上面两式分别相加减可得,37,三、小结与思考,1 理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念; 掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法.,注意

4、: 复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样, 它们的一些求导公式与求导法则也一样, 然而复变函数极限存在要求与z 趋于零的方式无关, 这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多.,38,2 函数解析的充要条件:,掌握并能灵活应用柯西黎曼方程.,3 调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.,应注意的是: 任意两个调和函数u与v所构成的函数u+iv不一定是解析函数.,满足柯西黎曼方程 ux= vy, vx= uy 的 v 称为u 的共轭调和函数, u 与 v 的地位不能颠倒.,放映结束,按Esc退出.,40,Augustin-Louis Cauchy,B

5、orn: 21 Aug 1789 in Paris, FranceDied: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France,柯西资料,41,Riemann,黎曼资料,Born: 17 Sept 1826 in Breselenz, Hanover (now Germany)Died: 20 July 1866 in Selasca, Italy,拉普拉斯资料,Pierre-Simon Laplace,Born: 23 March 1749 in Beaumont-en-Auge, Normandy, FranceDied: 5 March 1827 in Paris, France,

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