1、(3),(4),(5),积分变换,工程数学,（第四版）,第一章 Fourier变换,1 Fourier积分,2 Fourier变换,3 Fourier变换的性质,4 卷积与相关函数,5 Fourier变换的应用,1.1 Fourier积分,定理 组成三角级数的函数系,证:,正交 ,上的积分等于 0 .,即其中任意两个不同的函数之积在,上的积分不等于 0 .,且有,但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在,同理可证 :,研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可, 通常研究在闭区间-T/2,T/2内函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷(
2、Dirichlet)条件, 即在区间-T/2,T/2上：,1, 连续或只有有限个第一类间断点 2, 只有有限个极值点这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数。也就,是在函数的连续点处，级数可以展开成三角形式。,第一类间断点和第二类间断点的区别:,第二类间断点,第一类间断点,不满足狄氏条件的例:,而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变化函数, 全部满足狄氏条件. 实际上不连续函数都是严格上讲不存在的, 但经常用不连续函数来近似一些函数, 使得思维简单一些.,存在第二类间断点,在靠近0处存在着无限多个极值点。,因此, 任何满足狄氏条件的周期函数 fT (t), 可表示为三角级数的形式如下:,(
3、1) 为求出a0，两边同时积分，得,即,即,(2) 为求an，先两边同乘 ，然后两边同时积分,即,最后可得:,其中,为了今后应用上的方便，下面把Fourier级数的,三角形式转换为复数形式。由Euler公式，,则有,如果令,则可以合写为一个式子，,若令,则上式可以写为,这就是Fourier级数的复指数形式，或者写为,接下来讨论非周期函数的展开问题。 任何一个非周期函数 f (t) 都可以看成是由某个周期函数 fT(t) 当T时转化而来的。 作周期为T 的函数 fT (t), 使其在-T/2,T/2之内等于 f (t), 在-T/2,T/2之外按周期T 延拓到整个数轴上, 则T 越大, fT (
4、t)与 f (t) 相等的范围也越大, 这就说明当T时, 周期函数 fT(t) 便可转化为 f (t), 即有,由公式,可知,当n 取一切整数时，,数轴上，两个相邻的点的距离为,所对应的点便均匀分布在整个,如图,O w1 w2 w3 wn-1wn,w,所以 f (t)又可写为,则有,当,当 t 固定时， 是参数 的函数，,记为 ，即,此公式称为函数 f (t)的Fourier积分公式。应该指出，上式只是从右端从形式上推出来的，是不严格的。至于一个非周期函数f(t)在什么条件下，可以用Fourier积分公式来表示，有接下来的收敛定理。,又,最后可得,Fourier积分定理,若 f (t) 在(-
5、, +)上满足条件:,1. f (t)在任一有限区间上满足Dirichlet条件;,成立，而左端的 f (t) 在它的间断点 t 处，应以,来代替。,在,绝对可积是指,收敛。,2. f (t)在无限区间(-, +)上绝对可积, 则有,(1.4)式也可以转化为三角形式,是的偶函数，可得,又,因,是的奇函数，所以,当 f (t) 为奇函数时，利用三角函数的和差公式，,在实际应用中，常常要考虑奇函数和偶函数的,分别是关于 的奇函数和偶函数。因此,又 f (t) 是奇函数，则 和,Fourier积分公式。,上面式子可以写为,当 f (t) 为偶函数时，同理可得,它们分别称为Fourier正弦积分公式和
6、Fourier余弦积分公式。,特别，若 f (t) 仅在 上有定义，且满足Fourier 积分存在定理的条件，我们可以采用类似于Fourier 级数中的奇延拓或偶延拓的方法，得到 f (t)相应的Fourier正弦积分展开式或Fourier余弦积分展开式,例 求函数 的Fourier积分表达式。,解 根据Fourier积分公式的复数形式，有,例 求函数 的Fourier积分表达式。,解 根据Fourier积分公式的复数形式，有,当 时，f (t) 应以 代替 .,例 求函数 的Fourier积分表达式。,也可以根据 f (t) 的奇偶性来计算。因为 f (t) 为偶函数，,所以由Fourier余弦积分公式，可得，,函数的图形为,1,-1,o,t,f(t),1,可得,这就是著名的Dirichlet积分。,所以,因此可知当 t =0 时，有,例 求函数,解 显然，函数是奇函数，且-1, 0, 1为其间断点，,的Fourier积分。,则在连续点处有,例 求函数,解,的Fourier积分。,且,例 求函数,解,的Fourier积分。,且,
