1、 中国科学院自动化研究所 2016年招收攻读博士学位研究生入学统一考试试卷 科目名称：数学 考生须知： 1.本试卷满分为100分，全部考试时间总计180分钟。 2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上一律无效。 本试卷可能用到的常数： 分别以 2 , () , () ,() , () nnm n ZtF 表示标准正态分布， 卡方分布，student-t分布和F分布的上 分位数，则 (0.005) 3.29 Z ， (0.025) 1.96 Z ， (0.05) 1.65 Z ， 24 0.025 2.06 t ， 24 0.05 1.71 t , 3,12 (0.05) 3.49 F
2、 ， 4,12 (0.05) 3.26 F ， 5,12 (0.05) 3.11 F , 3,20 (0.05) 3.10 F ， 4,20 (0.05) 2.87 F , 5,20 (0.05) 2.71 F , 4,24 0.0 7 52 . 8 F 。 一 （14分）求微分方程组 1 13 2 123 3 13 38 326 25 dx xx dt dx x xx dt dx xx dt 满足初始条件 122 (0) 1, (0) 0, (0) 1 xxx 的解。 科目名称：数学 第 1 页 共 3页 二 （12分）已知矩阵 121 022 121 211 A 试求矩阵A的满秩分解：A
3、FG ，其中，F 是 4 r 矩阵，G 是 3 r 矩阵， () r rank A 。 三 （12分）试求下面矩阵A 的 MoorePenrose 广义逆阵A ： 20 4 2 003 6 21144 ii i A i ， 其中 1 i 。 四 （12分）设 nn A C ， 是矩阵 , ij Aa 的特征值，试证明下列结论： 1. m A ； 2. 1 Re( ) 2 H m AA 3. 1 Im( ) 2 H m AA 。 其中 H A 是矩阵A的共轭转置，Re( ), Im( ) 分别是复数 的实部和虚部；矩阵范 数 m A 定义为： , , max ij m ij Ana 五.填空题（
4、本大题共5小题，每小题4分，共20分） 1设第一只盒子装有 3 只蓝球，2 只绿球，2 只白球；第二只盒子装有 2 只蓝 球，3 只绿球，4 只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。已知至少有一只 蓝球，则有一只蓝球一只白球的概率为 _ 。 2. 设 ) , 3 ( 2 N X ,且 1 . 0 0 X P ，则 6 3 X P _ 。 3.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 (6 ),0 2,2 4; (,) 0, , kxyx y fxy 其他则1 ,3 ) PX Y _ 科目名称：数学 第 2 页 共 3页 4. 假设一工厂有三部机器，三部机器的产量占总产量的比例分別为 50%、30%
5、以 及 20%，且已知三部机器均会产生瑕疵品，第一部机器的产量中有 1%为瑕疵品， 第二部机器的产量中有 2%为瑕疵品、第三部机器的产量中有 4%为瑕疵品。若已 知抽中之产品为瑕疵品，其来自第二部机器的可能性为 _ 。 5. 设 1234 , X XXX 是来自正态总体X 0, 4 N 的样本，则当a _ 时 22 12 34 22 YaXX aXX 2 2 。 六.(本题10分)设随机变量(,) XY的联合概率密度为 1, , 0 1 (,) 0, yxx fxy otherwise 试求： 1 () 2 XY fx y 。 七.(每小题5分，共10分)设总体X 的密度函数为 1 ,0 (,) 0, x ex fx 其它 ，其中 0 未知， n X X X , , , 2 1 是从该总体中抽取的一个样本。 1.试求 的极大似然估计。 2.此极大似然估计偏倚是多少？ 八.(本题 10 分)保险公司新增一个保险品种，每份保单缴纳保费 100 元，若发生 赔付，赔付金额为2万元。根据统计,这类保险赔付概率为0.0005。这个新保险品 种预计需投入 120 万元的广告宣传费用。在忽略其他费用的情况下, 一年内至少 需要多少人参保, 才能使保险公司在该年度获利超过80万元的概率大于95%? 科目名称：数学 第 3 页 共 3页
