1、2016-2017 学年湖北省荆州市洪湖一中高三（上）9 月联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）设 U=R，A=x|2 x1，B=x|log 2x0，则 AUB=（ ）Ax|x0 Bx|x1 Cx|0x1 Dx|0x12 （5 分）函数 的定义域是（ ）A B C D0，+）3 （5 分）若 （ ，） ，则 3cos2=sin（ ） ，则 sin2 的值为（ ）A B C D4 （5 分）已知 S1= xdx，S 2= exdx，S 3= x2dx，则 S1，S 2，S 3 的大小关系
2、为（ ）AS 1S 2S 3 BS 1S 3S 2 CS 3S 2S 1 DS 2S 3S 15 （5 分）设复数 z 满足（z +i） （1+i）=1 i（i 是虚数单位） ，则|z|=（ ）A1 B2 C3 D46 （5 分）设 f（x）=x 3+log2（x+ ） ，则对任意实数 a，b，a+b0 是 f（a ）+f（b）0 的（ ）A充分必要条件 B充分而非必要条件C必要而非充分条件 D既非充分也非必要条件7 （5 分）若曲线 f（x）= 在点（1，f（1） ）处的切线过点（ 0， 2e） ，则函数 y=f（x）的极值为（ ）A1 B2 C3 De8 （5 分）函数 f（x）=sin2
3、x 和函数 g（x）的部分图象如图所示，则函数 g（x）的解析式可以是（ ）Ag（x）=sin （2x ） Bg（x）=sin （2x+ ） Cg（x）=cos（2x+ ） Dg（x）=cos（2x ）9 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x） ，若对任意 x1x 2，都有 x1f（x 1）+x 2f（x 2）x 1f（x 2）+x 2f（x 1） ，则称 f（x）为“H 函数”，给出下列函数： y=x2+x+1；y=3x2（sinx cosx） ；y=e x+1；f（x）=其中“H 函数 ”的个数为（ ）A4 B3 C2 D110 （5 分）设函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，对任意
4、 xR，都有 f（x）=f（x+4） ，且当 x2，0时，f（x）= （ ） x1，若在区间（2，6内关于 x 的方程 f（x）log a（x+2）=0（a1）恰有三个不同的实数根，则 a 的取值范围是（ ）A （ ，2） B （ ， 2） C ，2） D （ ，211 （5 分）设 f（x）= ，则 f（x）dx 的值为（ ）A + B +3 C + D +312 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，对任意 x1x 2，有 1，且 f（1）=1，则不等式 f（log 2|3x1|）2log 2|3x1|的解集为（ ）A （，0） B （ ，1） C （ 1，0） （0，3） D （，
5、0）（0，1）二、本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在答题卡中的横线上13 （5 分） “a1”是“ 函数 f（ x）=a x+cosx 在 R 上单调递增”的 条件 （空格处请填写“ 充分不必要条件”、 “必要不充分条件”、 “充要条件 ”或“既不充分也不必要条件” ）14 （5 分）已知函数 f（x） = ，若不等式 f（x）a 恒成立，则实数 a 的取值范围是 15 （5 分）已知 （0， ） ，且 tan（ + ）=3，则 lg（8sin+6cos ） lg（4sincos）= 16 （5 分）对于三次函数 f（ x）=ax 3+bx2+cx+d（a0） ，给出定
6、义：设 f（x）是函数 y=f（x）的导数，f（x）是 f（x）的导数，若方程 f（x）有实数解 x0，则称点（x 0，f（x 0） ）为函数 y=f（x）的“ 拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点” 就是对称中心设函数 f（x）= x3 x2+3x ，请你根据这一发现，计算 f（ ）+f（ ）+f（）+f（ ）= 三、解答题本大题共 5 小题，共 70 分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分）已知 sintan= ，且 0 （1）求 的值；（2）求函数 f（x）=4cosxcos（x ）在0， 上的值域18 （12
7、 分）设函数 f（x）的定义域是 R，对于任意实数 m，n，恒有 f（m+n）=f（m）f（n） ，且当x0 时，0f（x）1（1）求证：f（0）=1，且当 x0 时，有 f（x）1；（2）判断 f（x）在 R 上的单调性；（3）设集合 A=（x，y）|f （x 2） f（y 2）f（1），B=（x，y）|f（axy+2）=1，a R，若AB=，求 a 的取值范围19 （12 分）已知函数 f（x） = sin2xcos2x （x R）（1）当 x ， 时，求函数 f（x）取得最大值和最小值时 x 的值；（2）设锐角ABC 的内角 A、B 、C 的对应边分别是 a，b，c，且 a=1，cN *
8、，若向量 =（1，sinA）与向量 =（2，sinB）平行，求 c 的值20 （12 分）已知某公司生产品牌服装的年固定成本是 10 万元，每生产一千件，需另投入 2.7 万元，设该公司年内共生产该品牌服装 x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为 R（x）万元，且 R（x）=（1）写出年利润 W（万元）关于年产量 x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？（注：年利润=年销售收入 年总成本）21 （12 分）已知函数 f（x） =ln（1+x） （a0）（）若 x=1 是函数 f（x）的一个极值点，求 a 的值；（）若 f（x）0 在0，+
9、）上恒成立，求 a 的取值范围；（）证明： （e 为自然对数的底数） 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分选修 4-1：几何证明选讲 22 （10 分） （几何证明选讲选做题）已知 AD 是ABC 的外角EAC 的平分线，交 BC 的延长线于点D，延长 DA 交ABC 的外接圆于点 F，连接 FB，FC（1）求证：FB=FC；（2）若 AB 是ABC 外接圆的直径，EAC=120 ，BC=3 ，求 AD 的长选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 23已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 曲线 C 的极坐标方程为=2
10、直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 P（1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）求 的值选修 4-5：不等式选讲24已知不等式|x 23x4|2x +2 的解集为x|axb（）求 a、b 的值；（）若 m，n（1，1） ，且 mn= ，S= + ，求 S 的最大值2016-2017 学年湖北省荆州市洪湖一中高三（上）9 月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分） （2016 湖南模拟）设 U=R，A=x|2 x1，B=x|log 2x0，则 AUB=
11、（ ）Ax|x0 Bx|x1 Cx|0x1 Dx|0x1【分析】利用对数函数的性质，求出集合 B 中不等式的解集，确定出集合 B，利用指数函数的性质确定出集合 B，由全集 U=R，求出 B 的补集，找出 A 与 B 补集的公共部分，即可确定出所求的集合【解答】解：易知 A=x|x0，B=x|x1，则 ACUB=x|0x1，故选 C【点评】此题属于以其他不等式的解法为平台，考查了交、并、补集的混合运算，是高考中常考的基本题型2 （5 分） （2016 安庆三模）函数 的定义域是（ ）A B C D0，+）【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域【解答】解：要使函数有意义，则 ，即 ，即 ，解
12、得 x 且 x0，故函数的定义域为 ，故选：B【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件3 （5 分） （2016 湖南模拟）若 （ ，） ，则 3cos2=sin（ ） ，则 sin2 的值为（ ）A B C D【分析】直接利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数化简函数的表达式，利用平方关系式求出结果即可【解答】解：3cos2=sin （ ） ，可得 3cos2= （cossin ） ，3（cos 2sin2）= （cos sin） ，（ ，） ，sincos 0，上式化为：sin+cos= ，两边平方可得 1+sin2= sin2= 故选：D【点评】本题主
13、要考查二倍角的余弦函数，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题4 （5 分） （2016 湖南模拟）已知 S1= xdx，S 2= exdx，S 3= x2dx，则 S1，S 2，S 3 的大小关系为（ ）AS 1S 2S 3 BS 1S 3S 2 CS 3S 2S 1 DS 2S 3S 1【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可【解答】解：S 1= xdx= x2| = （4 1）= ，S 2= exdx=ex| =e2e=e（e1） ，S 3= x2dx=| = （8 1）= ， e（e 1） ，S 1S 3S 2故选：B【点评】本小题主要考查定积分的计算、不等式的
14、大小比较等基础知识，考查运算求解能力属于基础题5 （5 分） （2016 哈尔滨校级二模）设复数 z 满足（z +i） （1+i）=1 i（i 是虚数单位） ，则|z|=（ ）A1 B2 C3 D4【分析】变形已知条件可得 z+i= ，化简可得 z，可得模长【解答】解：（z+i） （1+i）=1i ，z+i= = =i，z=2i|z|=2故选：B【点评】本题考查复数的代数形式的运算，涉及模长的求解，属基础题6 （5 分） （2010 茂名二模）设 f（x）=x 3+log2（x+ ） ，则对任意实数 a，b，a+b0 是 f（a）+f（b）0 的（ ）A充分必要条件 B充分而非必要条件C必要而
15、非充分条件 D既非充分也非必要条件【分析】由 f（x）= x3+log2（ x+ ）=x 3+log2 =x3log2（x+ ）=f（x） ，知 f（x）是奇函数所以 f（x）在 R 上是增函数，a+b0 可得 af（a）+f（b）0 成立；若 f（a）+f （b）0则 f（a） f（b）=f （b）由函数是增函数知 a+b0 成立 a+b=0 是 f（a ）+f（b）=0 的充要条件【解答】解：f（x）=x 3+log2（x+ ） ，f（x）的定义域为 Rf（ x）=x 3+log2（x+ ）=x 3+log2=x3log2（x+ ）= f（x） f（x）是奇函数f（x）在（0，+）上是增函
16、数f（x）在 R 上是增函数a+b0 可得 abf（a） f （b）= f（b）f（a） +f（b）0 成立若 f（a） +f（b）0 则 f（a ） f（b）=f（ b）由函数是增函数知aba+b0 成立a+b0 是 f（a）+f（b）0 的充要条件【点评】本题考查充要条件的判断，解题时要注意单调性的合理运用7 （5 分） （2016 郴州四模）若曲线 f（x）= 在点（1，f （1） ）处的切线过点（0， 2e） ，则函数y=f（x）的极值为（ ）A1 B2 C3 De【分析】求出 f（x）的导数，可得切线的斜率，运用两点的斜率公式，解方程可得 a=2，求出 f（x）的单调区间，即可得到
17、f（x）的极大值【解答】解：f（x）= 的导数为 f（x）= ，可得在点（1，0）处的切线斜率为 k=ae，由两点的斜率公式，可得 ae= =2e，解得 a=2，f （x ）= ，f（x）= ，当 xe 时，f （x）0，f（ x）递减；当 0xe 时，f （x）0，f （x）递增即有 x=e 处 f（ x）取得极大值，且为 f（e ）=2 故选：B【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查两点的斜率公式的运用，以及运算能力，属于基础题8 （5 分） （2016 湖南模拟）函数 f（x）=sin2x 和函数 g（x）的部分图象如图所示，则函数 g（x）的解析式可以是（ ）A
18、g（x）=sin （2x ） Bg（x）=sin （2x+ ） Cg（x）=cos（2x+ ） Dg（x）=cos（2x ）【分析】由图象可得 g（x）的图象经过点（ ， ） ，逐个选项验证可得【解答】解：代值计算可得 f（ ）=sin = ，由图象可得 g（x）的图象经过点（ ， ） ，代入验证可得选项 A，g（ ）=sin ，故错误；选项 B，g（ ）=sin ，故错误；选项 D，g（ ）=cos =cos = ，故错误；选项 C，g（ ）=cos =cos = ，故正确故选：C【点评】本题考查三角函数图象和解析式，逐个验证是解决问题的关键，属基础题9 （5 分） （2016 春 薛城区期
19、中）定义在 R 上的函数 f（x） ，若对任意 x1x 2，都有 x1f（x 1）+x2f（x 2）x 1f（x 2）+x 2f（x 1） ，则称 f（x）为“H 函数”，给出下列函数：y=x2+x+1；y=3x 2（sinx cosx） ； y=ex+1；f （x）= 其中“H 函数”的个数为（ ）A4 B3 C2 D1【分析】不等式 x1f（x 1）+x 2f（x 2）x 1f（x 2）+x 2f（x 1）等价为（x 1x2）f（x 1）f（x 2）0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论【解答】解：对于任意给定的不等实数 x1，x 2，不等式 x1f（x 1）+x
20、 2f（x 2）x 1f（x 2）+x 2f（x 1）恒成立，不等式等价为（x 1x2）f（x 1）f（x 2）0 恒成立，即函数 f（x）是定义在 R 上的增函数y=x2+x+1 的对称轴是 x= ，则函数在定义域上不单调，不满足条件y=3x2（sinxcosx） ；y=32（cosx+sinx）=32 sin（x+ ）0，函数单调递增，满足条件y=ex+1 为增函数，满足条件f（x）= 当 x0 时，函数单调递增，当 x0 时，函数单调递减，不满足条件综上满足“H 函数 ”的函数为 ，故选：C【点评】本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键10 （5 分
21、） （2016 锦州二模）设函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，对任意 xR，都有 f（x）=f（x+4） ，且当 x2，0时，f （x）=（ ） x1，若在区间（2，6内关于 x 的方程 f（x）log a（x+2）=0（a1）恰有三个不同的实数根，则 a 的取值范围是（ ）A （ ，2） B （ ， 2） C ，2） D （ ，2【分析】由已知中 f（x）是定义在 R 上的偶函数，对于任意的 xR，都有 f（x 2）=f（2+x） ，我们可以得到函数 f（x）是一个周期函数，且周期为 4，则不难画出函数 f（x）在区间（ 2，6上的图象，结合方程的解与函数的零点之间的关系，我们可将方程
22、 f（x）log ax+2=0 恰有 3 个不同的实数解，转化为函数 f（x）的与函数 y=logax+2 的图象恰有 3 个不同的交点，数形结合即可得到实数 a 的取值范围【解答】解：设 x0，2，则 x2，0，f（ x）=（ ） x1=2x1，f（x）是定义在 R 上的偶函数，f（x）=f（ x）=2 x1对任意 xR，都有 f（x）=f（x+4） ，当 x2，4时， （x4） 2，0，f（x）=f（x4）=x x41；当 x4，6时， （x4）0，2，f（x）=f（x4）=2 x41若在区间（2，6内关于 x 的方程 f（x）log a（x+2）=0（a1）恰有三个不同的实数根，函数 y=f（x）与函数 y=loga（x+2）在区间（2，6上恰有三个交点，通过画图可知：恰有三个交点的条件是 ，解得： a2，即 a2，因此所求的 a 的取值范围为（ ，2） 故选：B【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题11 （5 分） （2016 春 汕头校级期末）设 f（x）= ，则 f（x）dx 的值为（ ）A + B +3 C + D +3
