1、2017 届湖北武汉市部分学校高三上学期起点考试数学（理）试题一、选择题1设集合 ， 为自然数集，则 中元素的个数为（ ）|2|3AxNANA3 B4 C5 D6【答案】C【解析】试题分析： ，即2315xxx，则 ，共有 5个元素故选 C|15x0,14AN【考点】集合的运算2 是虚数单位，则 （ ）i1iA B C D1i22【答案】A【解析】试题分析： 故选 A11()iii【考点】复数的运算3已知 , 是空间两条直线， 是空间一平面， ，若 ：abbp； ： ，则（ ）/q/A 是 的充分必要条件 pB 是 的充分条件，但不是 的必要条件qC 是 的必要条件，但不是 的充分条件D 既不
2、是 的充分条件，也不是 的必要条件q【答案】D【解析】试题分析： 时，可能有 ，因此 不是 的充分条件，同/,abapq样当 时， 与 可能平行也可能异面因此 也不是 的必要条件故选 D/a【考点】充分必要条件的判断4设等比数列 的公比 ，前 项和为 ，则 （ ）n2qnnS43A B C D5127315【答案】D【解析】试题分析：2312344113aSaqa故选 D223157q【考点】等比数列的通项公式与前 项和n5要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）si(4)yxsin4yxA向左平移 个单位 B向右平移 个单位1616C向左平移 个单位 D向右平移 个单位44【答案】B【解
3、析】试题分析： ，因此可把 的图象向sin()sin()16yxxsin4yx右平移 个单位，故选 B16【考点】三角函数的图象平移6函数 的单调递增区间为（ ）213()log(9)fxA B C D0,0,3【答案】D【解析】试题分析： ，当 时， 递减，当29xx或 x29tx时， 递增，又 是减函数，因此 的增区间是 ，3xt13logyt()f(,3)故选 D【考点】函数的单调性7若向量 ， ，则 与 的夹角等于（ ）(1,2)a(,1)b42abA B C D4643【答案】C【解析】试题分析： ， ，设所求夹角为 ，则2(6,)ab(0,3)ab，因为 ，所以 故选(4)(cos
4、32,4C【考点】平面向量的夹角8若二次项 的展开式中常数项为 280，则实数 （ ）8()axaA2 B C D2【答案】C【解析】试题分析： ，令 ， ，因8821()rrrrraTxCx04r此常数项为 ， 故选 C4458()702aC【考点】二项式定理的应用【名师点睛】二项式 展开式的通项公式为 ，由这个通项公式可()nb1rnrTab求展开式中的特定项，求某一项的系数，二项式系数等等，这个公式是解题的关键之一9计算 可采用如图所示的算法，则图中处应填的语句是（ 55）A B C DTaTaTaTa【答案】B【解析】试题分析：本题关键是 的理解， ，因此应该选 B555【考点】程序框
5、图10如图，网格之上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，若该几何体的体积为 20，则该几何体的表面积为（ ）A72 B78 C66 D62【答案】A【解析】试题分析：该几何体是棱长为 的正方体沿前后、左右、上下三个方向各挖3a一个长方体，因此该几何体的体积为 ，则3()720Va1故选 A22631647S表【考点】三视图，体积与表面积11连续地掷一枚质地均匀的骰子 4次，正面朝上的点数恰有 2次为 3的倍数的概率为（ ）A B C D1682718【答案】B【解析】试题分析：掷骰子 1次，正面朝上的点数是 3的倍数的概率为 ，2163P掷 4次时，每次之间是相互独立的，因
6、此恰有 2次为 3的倍数的概率2218()(37C【考点】独立重复试验恰好发生 次的概率k【名师点睛】概率问题理解角度不同选用公式就不一样，本题中记事件 为“掷一枚A质地均匀的骰子 1次，正面朝上的点数恰为 3的倍数” ，则 ，而题中事21()63P件可以看是抛掷骰子 4次，事件 恰好发生 2次，显然每次抛掷都是相互独立的，因A此可选用独立重复试验恰好发生 次的概率公式求解，而这类问题也可用古典概型概k率公式求解，抛掷骰子 4次，向上一面的点可能是 种可能，恰有 2次为 3的倍数即464次是有 2次是 3的倍数，另 2次不是 3的倍数，这样共有 中可能，从而4C可计算概率12已知双曲线 ： （
7、 ）的上焦点为 （ ） ，21yxab0ab(0,)Fc是双曲线下支上的一点，线段 与圆 相切于点 ，且MMF22039caxyD，则双曲线 的渐进线方程为（ ）|3|FDA B C D40xy40xy20xy20xy【答案】D【解析】试题分析：设下焦点为 ，圆 的圆心为1(,)Fc2239ca，易知圆的半径为 ，易知 ，又(0,)3cQ3bQD1QF，所以 ，且 ，又 ，所以MF1/F1MDbM，则 ，设 ，由 得112Oc(,)xy22()ycb，代入 得 ，化简得24bcxy2yxab22()41ca，解得 ，即 ， ，所以渐近线方程为42430ab242b，即 故选 D1yxxy【考点
8、】直线与圆的位置关系，双曲线的几何性质【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出 之间的关系解决解析几,ab何问题还能纯粹地进行代数计算，那样做计算量很大，事倍功半，事倍功半，而是借助几何性质进行简化计算本题中直线 与圆相切于 ，且 ，通过MFD3MF引入另一焦点 ，圆心 ，从而得出 ， ，这样易于求得 点1FQ11b坐标（用 表示） ，代入双曲线方程化简后易得结论,abc二、填空题13若实数 、 满足约束条件 则 的最大值是 xy2,xy2zxy【答案】6【解析】试题分析：作出可行域，如图 内部（含边界） ，作出线 ，ABC:20lxy平移直线 ，当它过点 时， 取得最大值 6l(2,
9、)Bz【考点】简单的线性规划14曲线 在点 处的切线方程为 1xy(,)2【答案】 40【解析】试题分析： ， 时， ，所以切线方程为221()()xyx14y，即 1()24yx40【考点】导数的几何意义15已知抛物线 ： ，过点 和 的直线与抛物线没有公共点，2y(,2)A(,0)Bt则实数 的取值范围是 t【答案】 (,1)(,)【解析】试题分析：显然 ，直线 方程为 ，即 ，由0tAB12xyt20xty，消去 得 ，由题意 ，解得2xtyy240txt2(4)6t1tt或【考点】直线与抛物线的位置关系【名师点睛】直线与抛物线位置关系有相交，相切，相离三种，判断方法是：把直线方程与抛物
10、线方程联立方程组，消去一个未知数后得一个一元二次方程， 相0交，有两个交点， 相切，有一个公共点， 相离，无公共点，注意有00一个公共点时不一定是相切，也能与对称轴平行，为相交16已知 有 2个零点，则实数 的取值范2,()ln1)xaf， ()Fxfxa围是 【答案】 1,2【解析】试题分析：由题意， 有两个零点，即函数 的图象与直线()Fx()yfx有两个交点，直线 过原点，又 ，因此一个交点为原点，又记2xy2y(0)f， ， ，即 在原点处切线斜率()ln1)g1(gx1()2gln(1)yx大于 ，并随 的增大，斜率减小趋向于 0，可知 的图象与直线 在2 ()f2xy还有一个交点，
11、因此 没有负实数根所以 ， 0x2xa102a1【考点】函数的零点【名师点睛】函数的零点，是函数图象与 轴交点的横坐标，零点个数就是方程解的个数，对于较复杂的函数零点问题一般要转化为两函数图象的交点问题，这样可以应用数形结合思想，借助函数图象观察寻找方法与结论在转化时要注意含有参数的函数最好是直线，或者是基本初等函数，这样它们的变化规律易于掌握，交点个数易于判断三、解答题17已知 是各项均为正数的等差数列，公差为 2对任意的 ， 是 和na *nNnba的等比中项 ， 1n21ncb*N（1）求证：数列 是等差数列；（2）若 ，求数列 的通项公式16cna【答案】 （1）证明见解析；（2） 2
12、【解析】试题分析：（1）要证明数列 是等差数列，就是要证 是常数，为nc1nc此通过 可把 用 表示出来，利用 是等差数列证明；（2）求通项公式，nb1ncaa关键是求 ，由已知 ，再由等差数列的定义就可求得1a212316b，从而得通项公式1试题解析：（1）证明： ，21na 221()()nncbb1211()()nnnnaa（常121()()nnnaa12nnad12()nda28d数） ，数列 是等差数列nc（2）解： ，则 ，16218b ， ， ，32a23()6a1()26ad解得 ，1 ()nn【考点】等差数列的判断，等差数列的通项公式【名师点睛】等差数列的判断方法在解答题中常
13、用：（1）定义法，对于任意的 ，证明 为同一常数；2n1na（2）等差中项法，证明 （ ） ；123,*N在选择填空题中还可用：（3）通项公式法：证 （ 为常数）对任意的正整数 成立；napq, n（4）前 项和公式法：证 （ 是常数）对任意的正整数 成立n2SABn,18 的内角 ， ， 对应的三边分别是 ， ， ，已知ABCCabc2()cosabb（1）求角 ；（2）若点 为边 上一点，且 ， ，求角 D2BDADB【答案】 （1） ；（2）3A6【解析】试题分析：（1）本题是解三角形中的求角问题，已知条件是边角混合的关系，观察等式，先由余弦定理化“角”为“边” ，整理后正好可得 ，从而
14、求得 角；cosA（2）由已知可设 ，则 ，试着 用 表示，一个是直角三角形DCx2Bx,ABCx中 ，另一个在 中应用正弦定理 ，也cosABx2sin()sin()3DC得出 ，从而知这是等腰三角形从而得角 2试题解析：（1）由 ，得 ，22cosacbB222()acbab即 22bcab ，221cosbcaA ， 03（2）设 为 1个单位长度，则 DC2BD在 中， RtABcos在 中，由正弦定理 ，insiCAC即 12sin()si()32B ， ，故 coACAC6【考点】余弦定理，正弦定理19如图，四棱锥 中， ， ， 与PBD90BAD2CADPB 都是等边三角形D（1
15、）证明： 平面 ；CDPB（2）求二面角 的平面角的余弦值【答案】 （1）证明见解析；（2） 3【解析】试题分析：（1）要证明线面垂直，就是要证线线垂直，要证 与平面CD中两条相交直线垂直，由平面几何知识易得 ，另一条垂线不易找到，PBDCDB考虑到 ，因此 在平面 上的射影 是 的外心，从而APAOA是 中点，那么可得 ，第二个垂直也得到了，从而证得结论；OO（2）要求二面角，可根据二面角的定义先作二面角的平面角，由已知条件可得，从而 ，由（1）的结论可得 ，从而又有2BP平面 ，因此 就是要作的平面角，解三角形可得此角BPCD试题解析：（1）证明：过 作 平面 于 ，连 PABCDOA依题
16、意 ，则 AO又 为 ，故 为 的中点Rt 面 ，面 面 OB在梯形 中， ，BC22 D面 面 ，ABCDPB 平面 （2）由（1）知 平面 ，D又 ，2 由三垂线定理知 CPB 为二面角 的平面角，D 13cos【考点】线面垂直的判断，二面角20某学校甲、乙两个班各派 10名同学参加英语口语比赛，并记录他们的成绩，得到如图所示的茎叶图现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王” （1）记甲班“口语王”人数为 ，乙班“口语王”人数为 ，比较 ， 的大小mnmn（2）随机从“口语王”中选取 2人，记 为来自甲班“口语王”的人数，求 的分XX布列和数学期望【答案】 （1） ；（2）分布列见解析，期望为mn89【解析】试题分析：（1）由茎叶图求出甲乙的平均数，从而得出 ，因此4,5mn得结论 ；（2）从 9人取任取 2人，而甲班“口语王”有 4人，因此随机变量的取值可能为 0,1,2，由古典概型概率公式计算出概率 （ ） ，从X ()PXi0,12而得分布列，再由期望公式可计算出期望试题解析：（1） ， ；607258048913801x 甲 4m
