1、河南省 2017 届普通高中高三 4 月教学质量监测文科数学试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则阴影部分所表示的集合的元素个数为（ ）20Ax1,234BA B C D12342.已知复数 的共轭复数为 ，若 （ 为虚数单位） ，则在复平面内，复数 所对应的zz213zii z点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.已知命题 ， 则命题 的否定为（ ）:1,px2168xpA ， B ， :,:1,x2168xC ， D ， 0:1,px2001
2、68x0:,p00x4.已知等比数列 ，满足 ，且 ，则数列 的公比为（ ）na23210logla36891anaA B C. D2445.已知向量 ， 若 ，则 与 的夹角为（ ）1,m,mnmA B C. D334346.已知双曲线 的左焦点为 ，第二象限的点 在双曲线 的渐近线上，且2:1,0xyCabFMC，若直线 的斜率为 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ）OMaFCA B C. Dyx2yx3yx4yx7.已知 ，则 =（ ）23cos4asincos26aaA B C. D31168.如图，小正方形的边长为 1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B C
3、. D32883281631689.九章算术是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出 的值为 35，则输入 的ma值为（ ）A B C. D457110.某颜料公司生产 两种产品，其中生产每吨 产品，需要甲染料 1 吨，乙染料 4 吨，丙染料 2 吨，,AA生产每吨 产品，需要甲染料 1 吨，乙染料 0 吨，丙染料 5 吨，且该公司一条之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过 50 吨，160 吨和 200 吨，如果 产品的利润为 300 元/吨， 产品的利润为 200 元/吨，则B该颜料
4、公司一天之内可获得最大利润为（ ）A14000 元 B16000 元 C.18000 元 D20000 元11.已知函数 ，或对任意的 ， 且 时， 则实数2xeaf1x2,12x12120fxfx的取值范围是（ ）aA B C. D2,4e2,e2,3e2,e12.已知正项数列 的前 项和为 ，且 ， ， 现有下列说法： ；nanS16nnaS1am25a当 为奇数时， ； .则上述说法正确的个数为（ ）n3nm2243nA B C. D0123第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知函数 的部分图象如图所示，其中 （点 为图象的sin0,
5、2fxMx 2,3A一个最高点） ，则函数 =_.,02Bf14.折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形 为正方形， 为线段 的中点，四边形 与四边形 也是正ABCDGBCAEFGDHI方形，连接 , ，则向多边形 中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为 EBIEFHI15.若圆 过点 ， 且圆心到直线 的距离为 ，则圆 的标准方程为 C0,1,520xy2C16.已知关于 的方程 在 上有两个不相符的实数根，则实数 的取值范围为 x21lnxk, k三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说
6、明或推理、验算过程.） 17. 在 中， ， ， ， .ABC01DmB3AC7D3C（1）求 的面积；（2）若 ，求 的长度以及 的正弦值.15cos4AB18. 如图（1）所示，已知四边形 是由直角 和直角梯形 拼接而成的，其中SCDSAABCDSABDC.且点 为线段 的中点， ， 现将 沿 进行翻折，使得二面角90S21ABS的大小为 ，得到图形如图（2）所示，连接 ，点 分别在线段 上.C90 SC,EF,SBC（1）证明： ；BDAF（2）若三棱锥 的体积为四棱锥 体积的 ，求点 到平面 的距离.ECSABCD25EABCD19.国内，某知名连接店分店开张营业期间，在固定的时间段内
7、消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖的有效展开，参与抽奖活动的人数越来越多，该分店经理对开业前 7 天参加抽奖活动的人数进行统计， 表示开业第 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：yx经过进一步的统计分析，发现 与 具有线性相关关系.YX（1）如从这 7 天中随便机抽取两天，求至少有 1 天参加抽奖人数超过 10 天的概率；（2）根据上表给出的数据，用最小二乘法，求出 与 的线性回归方程 ，并估计若该活动持续yxybxa10 天，共有多少名顾客参加抽奖.参考公式： ， ， ， .12niixybaybx72140i71364ixy20.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 是椭
8、圆 上的点，离心率为2:10xyCab12,F,C.2e（1）求椭圆 的方程；（2）点 在椭圆上 上，若点 与点 关于原点的对称，连接 ，并延长与椭圆 的另00,AxyCNA2AFC一个交点为 ，连接 ，求 面积的最大值. MNAM21. 已知函数 ，ln1xfxe（1）求函数 在点 处的切线方程；fx1,f（2）证明： 在 上恒成立.sinf0,请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题记分.作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑.22. 已知直线 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标l123xtyt x系，曲线 的极坐
9、标方程是 .C2sincos0p（1）求曲线 的直角坐标方程及直线 的极坐标方程；l（2）求直线 与曲线 交点的极坐标 .l ,223.选修 4-5：不等式选讲已知函数 的最小值为 ，且31fxxmfa（1）求 的值以及实数 的取值集合；ma（2）若实数 满足 ，证明 .,pqr22qr2qpr试卷答案一、选择题1. 【解析】依题意， ，阴影部分表示集合 ，故C2|680|24AxxAB.2,34AB2. 【解析】依题意， ，设 ，故 ，故D341225iz i,zabiR1235abii， 故在复平面内，复数 所对应的点为 ，位于第四象限.15a2bz12,3. 【解析】全称命题的否定为特称
10、命题，故其否定为 ， .C 0:,px200168x4. 【解析】依题意， 故 ，故 ，故 ，解得A23210logla2310loga3102a23106aq，注意到该数列中 、 均为正数，故 .24q q5. 【解析】依题意， ，即 解得 ，故 ，则 与D0mn12021,2,1,3mn2mn的夹角的余弦值 ，故 .m5cos46. 【解析】设 ，依题意，联立 解得 ，故 ，解得 ，A,0Fc2,xyab2,abMc20abcab故所求渐近线方程为 .yx7. 【解析】 ，故B2333cossinsinsin3646464aaaacos21a，故 .2sin6a18 1ico2828. 【
11、解析】由三视图可知，该几何体是由一个圆锥和一个长方体构成的组合体，故其体积.8423V9. 【解析】起始阶段有 ， ，第一次循环后， ， ；第二次循环A3ma1i 2349ma2i后， ， ；第三次循环后， ， ；接着计算2493821mai 8165i，跳出循环，输出 .令 ，得 .165 329a34a10. 【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示：A设该公司一天内安排生产 产品 吨， 产品 吨，所获利润为 元.依据题意得目标函数为AxByz，约束条件为 欲求目标函数 的最大值，先画302zxy50,4162,x,y 3021032zxyxy出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则
12、点 ， ， ， ， 4,A,B5,3C0,4D作直线 ，当移动该直线过点 时， 取得最大值，则 也取得最大值320xy40,1B32xy02zxy（也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得）.故 ，所以工厂每max30414z天生产 产品 40 吨， 产品 10 吨时，才可获得最大利润，为 14000 元.AB11. 【解析】因为 ，故函数 在 上单调递增；易知，当 时，B12120fxfxyfx1,20a在 上是增函数， ，解得 ；当 时， ，令 ，解得fx1,20f2ea0ffx2xe，由对勾函数性质可知，函数 的单调递增区间为 ，故 ，得lnafxln2,aln1a，综上所述，实数
13、 的取值范围为 .20ea2,e12. 【解析】因为 ，故 ，即 ；当 时，D16nnS16nnaS16nnaS1a，故 ；当 时， ，所以1nna5na216nnnS1n，即 ，又 ，所以1 1nS 1naa0na，所以 ，所以当 为奇数时， ；6na166namkm3nm， 所以 ；综上所述，都正确.25N2233naa二、填空题13. 【解析】依题意， ，故 ，故 ，将点 代入可3sin6x 5942MTA6T23T2,3A得 ，故 ，因为 ，故 .2kZ6kxZ2sin6fxx14. 【解析】设 ，则 ， ，故多边形 的面积132AB1G5AEFGHID；阴影部分为两个对称的三角形，其
14、中 ，故阴影部分的15S 90BGA面积 ，故所求概率 .11252sin2cos24EAEB13P15. 或 【解析】依题意，设圆 的方程为9xy873xyC，则 ，解得 ， 或 ， ，故圆 的方程为220ar229,4ar0a3r8a73rC或229xy228xy.7316. 【解析】因为 ，分离参数可得 ，故问题转化为关于9ln21,0521lnxk2lnxk的方程 在 上有两个不相等的实数根；令函数 ，x2lxk1,2x 2lnxh，则 ；令函数 ， ，则1,2223ln4hx 23ln4pxx1,2在 上有 ，故 在 上单调递增， ，当xp1,01,20p时，有 ，即 ， 单调递减：
15、当 时，有 ，即 ，1,20phxhx,xxhx 单调递增；hx12， ，注意到 ， ，故实数 的取值9ln105624ln810h15726ln57268001h k范围为 .l,三、解答题17.【解析】 （）在 中，由余弦定理，得 ，解得ADC222371cosACDCD或 ；1CD2故 的面积 或 .A13sin2S4（）因为 ，所以 ，在 中，由正弦定理，得 .3iCABCsiniCAB即 , .6B1531sinsi428A18.【解析】 （）证明：因为二面角 的大小为 ，则 ，S90SD又 ，故 平面 ，又 平面 ，所以 ；SASBCDABCDB在直角梯形 中， ， ， ，90A2
16、12所以 ,又 ，1tanta2BD所以 ，即 ；又 ，故 平面 ，90ACBDACSBDSAC因为 平面 ，故 .FSF（）设点 到平面 的距离为 ，因为 ，且 ，EhBAECBV25EABCSDV故 ，51123ABCDSABCEsSVhh 故 ，做点 到平面 的距离为 .12h 1219.【解析】 （）这 7 天中参加抽奖的人数没有超过 10 的为第 1，2，3，4 天，超过 10 的为第 5，6，7天，从这 7 天中任取两天的情况有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，1,31,4,5,6,72,3,42,， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 21 种，2,6,3,4,5,6
17、,7,5,6,7其中至少有 1 天参加抽奖人数超过 10 的有 15 种，所以 .7p（）依题意： .23456747x， ， ，581017y210ix71364iixy， ，1723647iixybayb则 关于 的线性回归方程为 ，yx23yx预测 时 ， 时， ， 时 ，819x1023y则此次活动参加抽奖的人数约为 人.58415791234020.【解析】 （）依题意， ， ， ，解得 ， ，2ab2ca2bca1bc故椭圆 的方程为 .C21xy（）当直线 的斜率不存在时，不妨取 ， ， ，AM1,2A21,M21,N故 ；12AMNS当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
18、，A1xk0联立方程 化简得 ， 21ykx2214kxk设 ， ，则 ， ，1,Axy2,Mxy2121k21kx22222 211241411kkkAMkxx 点 到直线 的距离 ，O22kd因为 是线段 的中点，所以点 到直线 的距离为 ，ANNAM21kd ，2 222111 12 4AMN kkSd kk 综上， 面积的最大值为 .21.【解析】 （）依题意， ，又 ， ，1xfxne1fe1fe故所求切线方程为 ，即 ，1yey（）依题意，要证： ，即证 ，sinfxln1sinxe即证： ；lnsi1xe当 时， ， ，010lx故 ，即 ；lsixsinf当 时，令 ，故 ，1i1lxgexcosln1xgex令 ， ， coslnxhx1ixh当 时， ，所以 ，故 在 上单调递增，11xesin0xehx1,故 ，即 ，所以 ，cos0h0gsin0ge即 ，即 ；lni1xesinfx综上所述， 在 上恒成立.sinf0,22.【解析】 （）依题意， ，故 ；2si3cosp23yx因为 ，故 ，123xty0xy故极坐标方程为 .cos2in3p（）联立 ，化简得：2in30si
