1、河南省 2017 届普通高中高三 4 月教学质量监测理科数学试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则阴影部分所表示的集合的元素个数为（ ）2|730Ax|lg1BxZA B C D12342.已知复 的共轭复数为 ，若 （ 为虚数单位） ，则在复平面内，复数 所对应的点位zz12zi z于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.已知命题 ， 则命题 的否定为（ ）:1,px2168xpA ， B ， :,:1,x2168xC ， D ， 0:1,px200
2、168x0:,p00x4. 的展开式中，含 项的系数为（ ）233xA B C. D60360603605.已知双曲线 的左焦点为 ，第二象限的点 在双曲线 的渐近线上，且2:1,xyCabFMC，若直线 的斜率为 ，则双曲线 的近线方程为（ ）OMaFCA B C. Dyx2yx3yx4yx6.已知边长为 的菱形 中， ，若 ，则 的取值范围是（ 2ACD120B01APBPD）A B C. D0,3,3,32,37.已知 ，若 ，则 =（ ）12sinco0,2tan1xdA B C. D313338.九章算术是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹
3、节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出 的值为 35，则输入 的ma值为（ ）A B C. D45719.某颜料公司生产 两种产品，其中生产每吨 产品，需要甲染料 1 吨，乙染料 4 吨，丙染料 2 吨，生,AA产每吨 产品，需要甲染料 1 吨，乙染料 0 吨，丙染料 5 吨，且该公司一条之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过 50 吨、160 吨和 200 吨，如果 产品的利润为 300 元/吨， 产品的利润为 200 元/吨，则该B颜料公司一天之内可获得的最大利润为（ ）A14000 元 B16000 元 C.16000 元 D.20000 元10.已知函数
4、，则方程 在 上的根的个数为（ ）2,012xxff51xf2,A B C. D345611.如图，小正方形的边长为 1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B C. D32831616312.已知 的外接圆的半径为 ，角 的对边分别是 ，若 ，则CR,ABC,abc32sincosinBCR面积的最大值为（ ）BA B C. D254525125第卷（共 90 分）二、填空题： 本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.13.已知函数 的部分图像如图所示，其中 （点 为图像sin0,|2fxMx 2,3A的一个最高点） ，则函数 = 5,02Bf14 折纸
5、已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形 为正方形， 为线段 的中点，四边形 与四边形 也是正方ABCDGBCAEFGDHI形，连接 ，则向多边形 中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为 ,EBIEFHI15.已知抛物线 的焦点为 ，准线 与 轴交于点 ，过点 的直线 与抛物线 的交点为2:8CyxFlxMlC延长 交抛物线 于点 ，延长 交抛物线 于点 ，若 ，则直线 的方程为 ,PQFAQCB2PFQAl16.若 时，关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 1,xxln1x三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70
6、分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列 的前 项和为 ，且 ， .nanS28a12naS（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 .123nanT18. 国内某知名连锁店分店开张营业期间，在固定的时间段内消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效展开，参与抽奖活动的人数越来越多，该分店经理对开业前 7 天参加抽奖活动的人数进行统计， 表示开业第 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：yx经过进一步的统计分析，发现 与 具有线性相关关系.YX（1）根据上表给出的数据，用最小二乘法，求出 与 的线性回归方程 ；yxybxa（2）若该分店此次抽
7、奖活动自开业始，持续 10 天，参加抽奖的每位顾客抽到一等奖（价值 200 元奖品）的概率为 ，抽到二等奖（价值 100 元奖品）的概率为 ，抽到三等奖（价值 10 元奖品）的概率为 ，7 27 47试估计该分店在此次抽奖活动结束时送出多少元奖品？参考公式： ，12niixybaybx19. 如图所示的空间几何体中，底面四边形 为正方形， ， ，平面 平面ABCDAFB/EABF， ， ， .ABCD5F2CE2（1）求二面角 的大小；FDEC（2）若在平面 上存在点 ，使得 平面 ，试通过计算说明点 的位置.PBDEFP20.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 是椭圆 上的点，离心率为2:1
8、0xyab12,C.2e（1）求椭圆 的方程；C（2）点 在椭圆上 上，若点 与点 关于原点对称，连接 ，并延长与椭圆 的另一00,AxyCNA2AFC个交点为 ，连接 ，求 面积的最大值.MNAM21. 已知函数 与 的图象关于直线 对称 .Fxlnfxyx（1）不等式 对任意 恒成立，求实数 的最大值；1fa0,a（2）设 在 内的实根为 ， ，若在区间 上存在1fxF,0x0,1xfxmF1,，证明： .1212m120请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑.22.选修 4-4：参数方程与极坐标系已知直线
9、的参数方程为 （ 为参数） ，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标l123txyt X系，曲线 的极坐标方程是 .C2sincos0p（1）求曲线 的直角坐标方程及直线 的极坐标方程；l（2）求直线 与曲线 交点的极坐标 .l ,223.选修 4-5：不等式选讲已知函数 的最小值为 ，且 .31fxxmfa（1）求 的值以及实数 的取值集合；ma（2）若实数 满足 ，证明 .,pqr22qr2qpr试卷答案一、选择题1. 【解析】依题意， ，B2 1|730|2130|32Axxx|lg1BxZ，阴影部分表示集合 ，故 .|01,345,689xZ AB,2. 【解析】依题意，设 ，则
10、，故 ，故 ，A,zabiR32zabi512iii1a则在复平面内，复数 所对应的点为 ，位于第一象限.2bz1,23. 【解析】全命题的否定为特称命题，故其否定为 ， .C 0:1,px300168x4. 【解析】依题意，由排列组合知识可知，展开式中 项的系数为 .334266210C5. 【解析】设 ，依题意，联立 解得 ，故 ，解得 ，A,0Fc2,xyab2,abMc20abcab故所求渐近线方程为 .yx6. 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，故 ， ， ，故D3,0B,D0,1Pm， ，故 ，故 .3,mBP3, 2BPDm 2,3P7. 【解析】依题意， ，因D12sinc
11、o2sinco2sin2sinsinco 4 为 ，所以 ，故 .0,2432221ta1xxdxd8. 【解析】起始阶段有 ， ，第一次循环后， ， ；第二次循A3mi49ma2i环后， ， ；第三次循环后， ， ；接着计算249821mai 281365i，跳出循环，输出 .令 ，得 .165339a4a9. 【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示：A设该公司一天内安排生产 产品 吨、 产品 吨，所获利润为 元，依据题意得目标函数为AxByz，约束条件为 欲求目标函数 的最大值，先画302zxy50,4162,xy 3021032zxyxy出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则点
12、 ， ， ， ，作4,A,B5,3C0,4D直线 ，当移动该直线过点 时， 取得最大值，则 也取得最大值320xy40,1B32xy02zxy（也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得）.故 .所以工厂每max3414z天生产 产品 40 吨， 产品 10 吨时，才可获得最大利润，为 14000 元.A10. 【解析】因为 ，故 ；在同一直角坐标系中分别作出函数 ，D51xf15fx yfx，的图象如图所示，观察可知，两个函数的图象在 上有 6 个交点，故方程15yx 2,在 上有 6 个根.f2,11. 【解析】由三视图可知，该几何体所表示的几何图形为三棱锥 ，作出该几何体的直观图如B
13、 ABCD图所示，取 的中点 ，连接 ；可以证明 平面 ，故三棱锥 的体积ACEBBE.211324163DVS12. 【解析】依题意， ，故 ，故 ，C32sincosinaBCR23cos4abC2234abc整理得 ，结合余弦定理可知 ；记 的面积为 ，则228abc8ABS，将平方相加可得 ，故4sinS2 22231648cSbc，即 ， ，当且仅当 时等号成立.2264165c25S85c二、填空题13. 【解析】依题意， ， ，故 ，故 ，将点 代入3sin6x3M924T6T23T2,3A可得 ，故 ，故 .2kZ6kZ3sinfxx14. 【解析】设 ，则 ， ，故多边形 的
14、面积132AB1G5AAEFGHID；阴影部分为两个对称的三角形，其中 ，故阴影部分的15S 90BGA面积 2sinE，故所求概率 .1125co4ABGA13P15. 【解析】设直线 ，联立 故 ，62yx:lxmy28,yxm28160y246m， ，设 ， ，则 ， ，由抛物线的对称性可知，021m1,Py2,Q12126y PFQAB，解得 ，故 ，故直线 的方程为 .2124y26m6l 62yx16. 【解析】 ；设函数 ，从而对任意,2ln1ln10xx 2ln1H，不等式 恒成立，又 ，当 ，即1,x0Hln2Hxxl0xx恒成立时，函数 单调递减，设 ，则 ，所以 ，ln2
15、x1r2ln0rmax1r即 ，符合题意；当 时， 恒成立，此时函数 单调递增.10ln2xxH于是，不等式 对任意 恒成立，不符合题意； 当 时，设1Hx1,x102qx，则 ，当 时， ，此时ln12x202q1,2xqxq单调递增，所以 ，故当 时，函数 单调ln12xln110HxxH 1,2xHx递增.于是当 时， 成立，不符合题意；综上所述，实数 的取值范围为 .1,2x0Hx1,2三、解答题17.【解析】 （）因为 ，故当 时， ；1naS1n21a当 时， ， 两式对减可得 ；2n12n 12n132na经检验，当 时也满足 ；13na故 ，故数列 是以 3 为首项，3 为公比
16、的等比数列，故 ，13nna 13nna即 .（）由（）可知， ，11123233nnnna故 .1223113 2n nnnT 18.【解析】 （）依题意： ，12456747x， ， ，5810457y710ix136ixy，172367 2iixyb24ayb则 关于 的线性回归方程为 .yx3yx（）参加抽奖的每位顾客获得奖品金额为 ， 的分布列为X（元）.12402077EX由 关于 的回归直线方程 ，预测 时， ， 时， ， 时， ，则此yx3yx8x19yx21y0x23y次活动参加抽奖的人数约为 人.58104572340（元）40187所以估计该分店为此次抽奖活动应准备 88
17、00 元奖品.19.【解析】 （）因为 ,平面 平面 ，所以 平面 ，所以 .因为AFBCDABEFABCDFA四边形 为正方形，所以 ，所以 、 、 两两垂直，以 为原点， 、 、ABCD B分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系（如图） .AFxyz由勾股定理可知 ， ，1AF2BE所以 ， ， ， ， ， ，所以 ，0,0,C,0D,2E0,1F2,0AC， .,2CD2,设平面 的一个法向量为 ，E,mxyz由 ，得 ，即0,nC20,yz0,z取 ，得 ；1x,1同理可得平面 的一个法向量 ，DEF1,2m故 ，因为二面角 为钝角，3cos,2mnFDEC故二面角 的大小为 .FEC56x（）设 ，因为 ， ，DPF2,E2,01F又 ， ，2,0B ,2,D所以 ，2,2, 0,PDFBE0,20,解得 即 .,23所以 是线段 上靠近 的三等分点.PDE20.【解析】 （）依题意， ， ， ，解得 ， ，21ab2ca2bc2a1bc故椭圆 的方程为 ，C2xy
