1、立洋高中高三月考数学试题（理）命题人：白保建审题人：白杰一、选择题：共 12 题每题 5 分共 60 分1已知集合， ，则A. B. C. D.2已知 i 是虚数单位，若复数ai的实部与虚部互为相反数，则 aA.1 B.2 C.1 D.23等差数列 na的 n 前项和为 nS,其中 10,152,S则 n取得最小值时 n=A.4 B.5 C.6 D.74执行如图所示的程序框图，输出的结果是A.8 B.9 C.10 D.115如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D.6已知 是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题：若；若 ；如果 相交；若
2、 .其中正确的命题是A. B. C. D.7设 x，y 满足约束条件0,23(),xya 若目标函数 z1yx的最小值为 2，则 a 的值为A.1 B.2 C.3 D.48正三棱锥 ABCD 的所有棱长均相等，从此三棱锥 6 条棱的中点中任意选 3 个点连成三角形，再把剩下的 3 个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于A.0B.1C.12D.19对于下列命题：在 ABC 中，若 cos2A=cos2B, 则 ABC 为等腰三角形； ABC 中角 A、B、C 的对边分别为 ,abc,若,56A，则 ABC 有两组解；设201420142014sin,cos,tn,333ab则 ;ab
3、c将函数i()6yx的图象向左平移 个单位，得到函数 y=2cos(3x+ )的图象.其中正确命题的个数是A.0 B.1 C.2 D.310如图，E，F 是椭圆 G：215x y的左右焦点，P 为椭圆上一动点，连接 PE，PF，在EPF 中，EPF 的平分线 PN 交 x 轴于 N 点，FMPN 于 M 点，则 OM 的取值范围是A.（0， 2） B.0， 2 C.0，2） D.0，211已知 为 的三个内角,向量 满足,且,若 最大时,动点使得 成等差数列,则的最大值是A. B. C. D.12已知函数 f(x)满足满足1()2),fxf当 ,3x时, ()=lnfx；若在区间1,3内，函数
4、 ()gxfa的图象与 轴有三个不同的交点，则实数 a的取值范围是A.10,2eB.1(0,)eC.ln31,)2eD.l31,)e二、填空题：共 4 题每题 5 分共 20 分13若（2x3） 5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则 a1+2a2+3a3+4a4+5a5 等于 .14已知函数 f（x）=e sinx+cosx sin2x（xR ） ，则 f（x）的最大值与最小值的差是 .15已知在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 a2-b2= bc,sin C=2 sin B,则 A= . 16已知侧棱与底面垂直的三棱柱的底面是边长为 2 的正
5、三角形,该三棱柱存在一个与上、下底面及所有侧面都相切的内切球,则该三棱柱的外接球与内切球的半径之比为 . 三、解答题：共 8 题每题 12 分共 96 分1719设函数.cos)342cos()(2xxf（1）求 xf的最大值，并写出使 f取最大值时 的集合；（2）已知 ABC中，角 ,的对边分别为 .,cba若3(),2fBCbc，求 a的最小值。18 某银行的一个营业窗口可办理四类业务，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往 100 位顾客办理业务所需的时间(t) ，结果如下：类别 A 类 B 类 C 类 D 类顾客数(人) 20 30 40 10时间 t(分钟人)
6、 2 3 4 6注：银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率()求银行工作人员恰好在第 6 分钟开始办理第三位顾客的业务的概率；()用 X 表示至第 4 分钟末已办理完业务的顾客人数，求 X 的分布列及数学期望19如图所示，在多面体 ABCDE 中，面 ABED 为梯形且BADEDA 2，F 为 CE的中点，ACADCDDE AF2，AB1.（）求证：DFBC；（）求平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角的余弦值.20已知曲线 的方程是 ,且曲线 过点 两点,为坐标原点.(1)求曲线 的方程;(2)设 是曲线 上两点,且 ,求证 :直线 恒与一个定圆相切.21已知函
7、数 )ln()(2xaxf， 0， Ra是常数.()求函数 y的图象在点 1 ,f处的切线方程；()若函数 )(xf图象上的点都在第一象限，试求常数 的取值范围；()证明： Ra，存在 ) ,1(e，使()1fef.22已知 AB 为半圆 O 的直径,AB=4,C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的切线 CD,过点 A 作ADCD 于 D,交圆于点 E,DE=1.(1)求证:AC 平分BAD;(2)求 BC 的长.23已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数),在极坐标系( 与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位 ,且以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴)中,曲
8、线 C 的极坐标方程为 2-4cos +3=0.(1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程;(2)设 P 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的取值范围.24 （选修 4-5：不等式选讲）关于 x 的不等式 lg（|x+3| |x7|）m.（）当 m=1 时，解此不等式；（）设函数 f（x）=lg（|x+3| |x7|） ，当 m 为何值时，f（x）m 恒成立？参考答案1.B【解析】本题考查集合的运算= ， ，则 故本题正确答案是 B.【备注】无2.C【解析】本题考查复数的运算与性质.1aii，因为实部 1 与虚部-a 互为相反数，所以 1a.选 C.【备注】无3.B【
9、解析】本题考查等差数列的通项与求和。由题意得1010(),2aS1515()2,aS即 13,a2,d所以 3na；即 56,所以 nS取得最小值时 n=5。选 B。【备注】无4.D【解析】本题考查流程图.最初 1i，n=5；循环 1 次：n=16， 3i；循环 2 次：n=12，5i；循环 3 次：n=8， 7；循环 4 次：n=4， 9i；循环 5 次：n=0， 1i，满足条件，输出 11.选 D.【备注】无5.D【解析】本题考查三视图由图可得该几何体为正三棱柱加一个球，故其体积为 ，故本题正确答案是 D.【备注】无6.D【解析】本题考查立体几何中线面关系中由面面判定定理可得正确，若 则不
10、成立中可能有 中由线面平行的判断定理得，直线平行于平面的一条直线，则该直线平行于这个平面，故正确故本题正确答案是 D.【备注】无7.B【解析】本题考查线性规划问题.目标函数 z1yx的几何意义为：动点 N (,)xy与点M(1,)的直线的斜率,可得 2MNK.作出可行域，如图所示.当 N 在 B,02a点时，min2za0，解得 a.选 B.【备注】无8.D【解析】本题考查等可能事件的概率.从三棱锥 6 条棱的中点中任意选 3 个点能组成两类三角形；一类是等边三角形，另一类是等腰三角形.若任意选 3 个点连成等边三角形，则剩下的 3 个点也是等边三角形，且它们全等；若任意选 3 个点连成等腰三
11、角形，则剩下的 3 个点也是等腰三角形，且它们全等；这是必然事件，其概率为 1.选 D.【备注】无9.D【解析】本题考查的知识点是三角函数的诱导公式、三角函数的图像和性质、正余弦定理。在 ABC 中，若 cos2A=cos2B,则 A=B, 所以 ABC 为等腰三角形。所以正确；在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 ,abc,若2,56A，sinB14526sin；所以无解。所以错误。设201420142014sin,cos,tan,333abc则3,21,3cba，所以;bc正确；函数2sin(3)6yx的图象向左平移个单位，)63cos(63sin2xxy从而得到函数 =2cos(
12、3x+)的图象.所以选 D【备注】无10.C【解析】本题考查椭圆的性质.如图，延长 FM 交 PE 于 A 点，连接 AN .由题意知：M 为 AF 的中点，所以 AE=2OM，PA=PF；在 EPF 中，AEPFE即 AE0 在 ,t上恒成立；所以 在 ,上单增， maxf(t)21， minf(t)2)e；所以 maxf(t)- int2e.所以f（x）的最大值与最小值的差是 2.【备注】无15.【解析】由 sin C=2 sin B 及正弦定理得 c=2 b,代入 a2-b2= bc 得 a2=7b2,cos A=,又 0A,A= .【备注】本题主要考查利用正弦定理与余弦定理解三角形,考
13、查考生基本的运算能力.首先利用正弦定理将角之间的关系转化为边之间的关系,再结合余弦定理即可求得 A.16. 1【解析】由题意知,三棱柱的内切球的半径 r 等于底面内切圆的半径,即 r= 2 =1,此时三棱柱的高为 2r=2,底面外接圆的半径为 2 =2,所以三棱柱的外接球的半径 R=.所以该三棱柱的外接球与内切球的半径之比为 1.【备注】本题主要考查三棱柱的结构特征及球的相关知识,考查考生的空间想象能力和基本运算能力.首先明确三棱柱的几何特征,再根据几何体内切球的特征求内切球的半径,然后根据球的截面的性质确定三棱柱外接球的半径,从而可得结果.17.()(i)由已知及频率分布直方图中的信息知 ,甲型号节排器中的一级品的概率为 ,二级品的概率为 ,则用分层抽样的方法抽取的 10 件甲型号节排器中有 6 件一级品,4 件二级品,所以从这 10 件节排器中随机抽取 3 件,至少有 2 件一级品的概率 P=1- .(ii)由已知及频率分布直方图中的信息知,乙型号节排器中的一级品的概率为 ,二级品的概率为 ,三级品的概率为 ,若从乙型号节排器中随机抽取 3 件,则二级品数 所有可能的取值为 0,1,2,3, 且 B(3, ),
