1、河北省衡水中学 2017 届高三下学期第二次摸底考试数学（文）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， 或 ，则 （ ）AkN|10k|2Bxn3,xNABA B C D6,93,691,6906,9102. 若复数 满足 为虚数单位） ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）z21ii(zA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.已知命题 一组数据的平均数一定比中位数小；命题 ，则下列:p :1,log2labqab命题中为真命题的是 （ ）A B C. Dqpqpp
2、q4. 设函数 ，若 ，则实数 （ ）4,12xaf243faA B C. 或 D 或 23332235. 若实数 满足条件 ，则 的最大值为（ ）,xy102xy4zxyA B C. D144194236. 运行如图所示的程序框图，输出的结果 等于（ ）SA B C. D91315257. 若以 为公比的等比数列 满足 ，则数列 的首项为（ ）2nb222logl3nnbnnbA B C. D121248.已知函数 的图象向左平移 个单位所得的奇函数gx3的部分图象如图所示，且 是边长为 的正三角形， cos0,f AMNE1则 在下列区间递减的是 （ ）xA B C. D53,294,21
3、,31,269. 已知 分别是双曲线 的左、右焦点， 分别是双曲线 的左、右12,F2:10,xyCab,MNC支上关于 轴对称的两点，且 ，则双曲线 的两条渐近线的斜率之积为（ ）y1FONMCA B C. D4423324210. 如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A B 28431236412C. D611.椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ，右顶点为 ，若 的外接圆圆心210yxbFABFA在直线 的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）,PmnxA B C. D2,11,220,10,212. 设函数 为自然对数的底数） ，定
4、义在 上的连续函数 满足：3(xgeaR,eRfx，且当 时， ，若存在 ，使得2fxf0fx0|xf，则实数 的取值范围为（ ）0gxaA B C. D1,2e,2e1,2e,2e第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一 人、高二 人、高三 人中，抽24020n取 人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为 ，那么高三被抽取的人数为 90 3614. 中， ） ，若 ，则 RtABC,4,5,(,2ABCAMBCR)AMBC15. 九章算术是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良
5、马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里.良马初日行一百零三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意:“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是 里 .良马第一天走 里，之后每天比前一天多走 里.驽马笫一天走 里，1251031397之后每天比前一天少走 里.良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中驽马0从出发到相遇行走的路程为 里.16.点 是棱长为 的正方体 的内切球 球面上的动点，点 为 上一点，M321ABCDON1BC，则动点 的轨迹的长度为 12,NBCDNM三、解答题 （本大题共 6
6、 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，内角 的对边分别为 ，已知 . A,B,abc24os4sin3BC（1）求 ；（2）若 ，求 面积.243cosbaA18. 如图是某市 2017 年 3 月 1 日至 16 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数 小于 表示AQI10空气质量优良，空气质量指数大于 表示空气重度污染. 0（1）若该人随机选择 3 月 1 日至 3 月 14 日中的某一天到达该市，到达后停留 天（到达当日算 天)，求31此人停留期间空气重度污染的天数为 天的概率；（2）若该人随机选择 3 月 7 日至 3 月 12 日中的 天到达
7、该市，求这 天中空气质量恰有 天是重度污染22的概率.19. 如图，四棱锥 中，平面 平面 ，底面 为梯形，PABCDPABCDA，且 与 均为正三角形， 为 的重心./,23,ABCFGPAD（1）求证： 平面 ；/GFPDC（2）求点 到平面 的距离.20. 已知抛物线 的焦点为 为 上位于第一象限的任意一点，过点 的直线 交2:0ypx,FACAl于另一点 ，交 轴的正半轴于点 .CB（1）若当点 的横坐标为 ，且 为等腰三角形，求 的方程；A3D（2）对于（1）中求出的抛物线 ，若点 ，记点 关于 轴的对称点为 交 轴C01,2xBx,EAx于点 ，且 ，求证：点 的坐标为 ，并求点
8、到直线 的距离 的取值范围.PBP0,PAd21. 函数 ， .21ln(fxxaR)23xge（1）讨论 的极值点的个数；（2）若 .0,xfgx求实数 的取值范围；a求证： ，不等式 成立.212xeex请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中 中，曲线 的参数方程为 为参数， ）. 以坐标原点为极点， 轴xOyCcos(2inxaty0ax正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为 .ls24（1）设 是曲线 上的一个动点，当 时，求点 到直线 的距离的最大值；PC23aPl（2）若曲线 上所有
9、的点均在直线 的右下方，求 的取值范围.l23.选修 4-5：不等式选讲已知定义在 上的函数 ，且 恒成立.R2,fxmxN4fx（1）求实数 的值；m（2）若 ，求证： .0,1,3ff18河北省衡水中学 2017 届高三下学期第二次摸底考试数学（文）试题参考答案一、选择题1-5: DCBAD 6-10: CDBCB 11-12：AB二、填空题13. 14. 15. 16.24251685305三、解答题17. 解：(1) 1cos44sin2cos2sin2cos2BCBCBC, .2s3,A0,3A(2) ,222224bcacbc a,2222223bac,2222 2240,03ba
10、cAbca.31310,3,sin2ABCScb18. 解：(1)设 表示事件“ 此人于 3 月 日到达该市” .依题意知， ，且i i1,24i 14iPA.ijAj设 为事件“此人停留期间空气重度污染的天数为 天” ，则 ，所以B 356710BA，即此人停留期间空气重度污染的天数为 天的35671054PPAPA概率为 .514(2) 记 3 月 7 日至 3 月 12 日中重度污染的 天为 ，另外 天记为 ，则 天中选 天到达2,EF,abcd62的基本事件如下： ，, ,abcdabcdEFEcF共 种，其中 天恰有 天是空气质量重度污染包含,dEF151这 个基本事件，故所求事件的
11、概率为 .,acEF881519. 解：(1)连接 并延长交 于 ，连接 .由梯形 且 ，知AGPDHC,/ABDC2ABD，又 为 的重心， ，在 中， ，故 .又21FC21AG1GFH/HC平面 平面 平面 .H,PF,/FP(2)连接 并延长交 于 ，连接 ，因为平面 平面 与 均为正三角PGADEBPAD,BCPADB形， 为 的中点， 平面 ，且 .由（1）知 平E,PE3E/GF面 .又由梯形 ，且1, 3GPCDFCDFCDFVVS,/，知 .又 为正三角形，得23AB2BAB，得 ，1360, sin2CDFS 1332PCDFCDFVES所以三棱锥 的体积为 .又GP32.
12、在 中，23, 3CDEEPE P，故点 到平面1815153cos,sin,2444PDCPS G的距离为 .CD32515420. 解：(1) 由题知 ，则 的中点坐标为 ，则,0322ppFA3,0DpF3,024p，解得 ，故 的方程为 .324pC4yx(2) 依题可设直线 的方程为 ，则 ，由B012,xmAyBx2,Exy消去 ，得 ，20yxm20004,.62yxm，设 的坐标为 ，则 ，由题知121204,xP,P221,PPExyAxy，所以 ，即/PEA1210yx，显然 ，所以122211244Pyxyx 1240ym，即证 ，由题知 为等腰直角三角形，所以 ，即 ，
13、也1204Pyxx0,PxEPB1APk21yx即 ，所以 ，即 ，12y2121124,46yyy22006,m又因为 ，所以 ，令02x000022,xxxdxm，易知 在 上是减函数，所200641,ttt t 42ftt61,以 .,23d21. 解：(1) . 1 ,0,2,fxaxfa 当 ，即 时， 对 恒成立， 在 上单调递增，20a20xfx0,没有极值点. 当 ，即 时，方程 有两个不等正数解 ，fx,21a12,x，不妨设 ，则当 时，2121 0xxaf x12x10,递增，当 时， 递减，当 时，0,fxf12,ff2,递增，所以 分别为 的极大值点和极小值点. 有两
14、个极值点.综上所述， xxfx当 时， 没有极值点，当 时， 有两个极值点.2,af ,2af(2) （i） ,由 ，即 对于 恒成立，设2lnxfxgex02lnxea0x22 21lln(0),xxxex， 当 时， 递减，当 时，21l1xx0,x,10,x1,x递增， .0,ea（ii）由（i）知，当 时，有 ，即1aefxg， 当且仅当 时取等号. 2223ln1lnxexex1x以下证明 ，设 ，所以当 时，ln2ex21ln,eexxx0,xe递减，当 时， 递增， ， 0,0,2ln2x当且仅当 时取等号. 由于等号不同时成立，故有 .xe 21xeex22. 解：(1)由 ，
15、得 ，化成直角坐标方程，得cos24cosin，即直线 的方程为 ，依题意，设 ，则 到直线22xyl40xy23cos,inPtP的距离 ，当 ，即lcos3cosin46cs622tttd t 2tk时， ，故点 到直线 的距离的最大值为 .2,6tkZmaxdPl42(2)因为曲线 上的所有点均在直线 的右下方， ， 恒成立，即CltRcosin0att（其中 ）恒成立， ，又 ，解得 ，故24cos4at2tn223a取值范围为 .0,323. 解：（1） ,要使 恒成立，则 ，解得22xmxm24xm.又 ， .2N1（2） ，即0, 3ff，当且仅当1444,2252518，即 时取等号，故 .1,3618
