1、1求多元函数极限的方法【摘要】对于大部分学生,尤其是初接触高等数学的同学而言,极限是一道很难过的关,因为那种“无限逼近”却又“无法达到”的抽象对于刚刚结束中学数学学习,习惯于具体图形分析、函数计算的同学来说,在思维上有了更高的要求。而对于高等数学来讲,极限又是相当重要的基础,不管是函数连续性的验证,亦或是单侧导数的求解,极限都是很重要的一个环节,它就相当于一条线惯于始终,所以说学好极限,是学好高等数学的一个起点。 【1】【关键词】多元函数；求极限多种方法；求极限常出现的错误【引言】之前学过如连续、导数微分和积分等都要用极和秋极限的方法，例如：利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定理等等
2、。这些方法虽然简便易于理解和掌握，但对于一些特殊的极限题目很难解决，例如：设 ， ， 求0a121(3)na的问题题目尽给出了第 项和第 +1 项的关系若用利用定义来求极限、用柯西收敛limnan准则 及求一些复合函数极限的问题本文将探讨一些特殊的求极限的方法，对某些1!likn用常见方法不易求解的题目运用此方法可以容易地解出。 【2】本文将从多个方面,通过利用极限的性质及相关概念和几个典型例题对常用求极限的方法进行解析，并列出容易出错的地方。1 利用极限定义的思想观察函数的极限例 1、讨论当 时函数 = 的极限。我们列出了当 时某些函数值，考x12y21xx12察函数的变化趋势，如下表所示。
3、 x0.493 0.496 0.498 0.499 0.501 0.502 0.503 0.505y0.757 0.754 0.752 0.751 0.749 0.748 0.745 0.745从列表可以看出，当 趋向于 时， 就趋向于 0.7，即 时， = 的极限是x12yx12y21x0.75。2、利用四则运算法则求极限例 2（1）求 231lim(4)xx（2）2lix解（2） =21lix2li()35x3、利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小量的性质求极限例 3 求 0limsnx2解因为 =0，且 即 有界，所以 =00limx1sinxsix01limsnx4、利用两个重要极限求
4、极限例 4 求 lisli(1)xxx解 = =1（因为 时 ） 。limsnxilxx10令 则当 时 所以 =uulim()xx1li()lim()euuex也可以直接计算 =1li()xx1li()xe5、利用初等函数的连续性求极限例 5 求 2limnsx解：点 是初等函数 的一个定义区间 内的点，所以0()lnsifx(0,)2linsli02x6、利用等价无穷小代换求极限例 6 求 01coslimn(2)x解：当 时， ， 21xln()2x所以2001coslilin()xx7、利用罗比达法则求极限例 7 求 0lsi2m3x解： = =0lnisx0cos2inl3x0sin
5、co2lm13xx8、利用左、右极限来确定分段函数在分界点处的极限3求 ，23(0)()1()xf0lim()xf1li()xf解：因为 =0lixf0li(32)x= =10lim()xf21)0li(xf所以 不存在)x因为 1li(2f1 利用极限的定义来验证极限的存在极限定义并未给出求极限的具体方法,但却可以验证极限的存在,而且它是研究理论问题的基本方法,用极限定义验证极限存在,一般需经过变形放大,由 或 去寻nxA()fx找满足条件的充分大的正整数 N 或充分小的正数 或充分充分的正数 X。比如:证明 21lim4x证明对 ，要使 ，只要 因为 ，不妨02x2214xx2x设 ，此时
6、 ，从而 ，因此，21x3524x,于是取 ，从而 ，当243xcminin1,时，总有 ，从而0x2142li4x2 利用化简来求极限(分子有理化、分母有理化、分解、恒等变形)比如 求 213limx此题要用到两个知识点将分子有理化分母分解因式解： =21lix1(32)()lixx11lim2(2)3)xx3 利用极限运算法则和无穷小的性质求极限4比如 求 2lim()xx本题是“-”型的极限,先对分子有理化 ,可转化为 型将分子分母同时除以 x 的最高次幂变形后求解。解 = =2li()xx22()()lixx2lim()xx= 1lim()x在无穷小量的诸多性质中,常用无穷小乘以有界变
7、量仍为无穷小及用等价无穷小代换来求极限。比如 求 sinl2xe解 注意到 且 所以由无穷小的性质得sin1lim0xsinlm02xe又比如求5320l()iarctnx解 当 时， ， ， ，3l1x2arctnx所以 =5320()limarctnx51320lix4.2 重要极限 2， ， ，1li()xxe10li()xxe01()lim(fxxe0()1lim(fxxe特征:“1 ”型;底数中要转化为有“1”的形式; “1”的后面的变量与幂指数互为倒数。比如 求 20lim(cos)xx解 = =210li()xx 21cos0li(cs)x1e5 利用极限存在准则(夹逼定理、单调
8、有界原理 )来求极限5.1 利用夹逼定理求极限比如 求 22211lim(xnn5解 因为 ， =1，2，3 ，从而21n221knk n2n2221( )n 2而 ， 所以2limx2li1xn22211lim( )xnn5.2 利用“单调有界数列必有极限”定理求极限特点:能出现关系式;可转化为关系式解题方法 :一是利用数学归纳法证有界 ,二是证单调。比如 设 试证数 列极限存在，并求此极限。112,(12)nnxx nx显然 ， 假设 因 由数02122nx学归纳法知对 ,0 ,所以 单调增加。1()102nn xx1nxn因此 存在。limnx不妨设 = ，由 得 ，从而 =2 即a1n
9、nx2aalim2nx6 利用洛必达法则求极限用洛必达法则时要注意:要注意洛必达法法则条件,有时要用多次洛必达法则,无限次循环型号不能用洛必达法则,如 ,0limxe每次用洛必达法则前,要先化简,x0(或 x)时,极限中含有 sin ,cos (或 sinx,cox)不能用洛必达法则。1x“0g”,“-”,“1 ”,“ ”,“ ”,“ ”型未定式,通过变形、通分、有理化00分子、取对数等方式转化为“ ”或“ ”未定式极限后再用洛必达法则。比如求 1limlnxxe6解 1limlnxxe111()ilimlixxxeeee7 利用连续性求极限比如 求 1l()iarctnxxe解注意到 在 x
10、=1 处连续,所以l()rtxf=1ln(imarctxxe1l()4ln()rtae8 利用函数极限存在的充要条件求极限主要用来解决在求分段函数在分段点处的极限或某些特殊函数在一些点处的极限时,可用此方法。如求10limxe解 ， ，10limxe20li1xxe12001lilixxee所以 不存在。10lixe9 利用导数求极限 比如设 求()1,()0ff()limxf解 = =0limx0lixf110 利用泰勒公式求极限特点“ ”型; 或 或122()fgx22()kfgx1()kfgx用洛必达法则较复杂或根本不可能用。解题的关键是展开到含 项,或相互抵消后的后一项。比如求nx 2
11、01lim(cos)inxxe7解 =201lim(cos)inxxe224460 241(0()8lim)3xxx）（ -+） （ -+）！ ！ ！=404()8li32xx1211 利用定积分和积分中值定理求极限比如设 = ， ，求n(1)()n (1,2) limnx解因为 1ll()niix所以 =1limll()nnii10ln()2ln1xd12 利用函数极限与数列极限关系求极限比如求 2li(s)nn解 = = =21lin210il()xn3sini0sinlim()xn 16e13 利用级数收敛的必要条件求极限比如 求 ,考察级数 ,3!limn13!ni而 0 时成立，而当
12、 0 时y22xyxy11本例的正确解法应该是由 有2xy2220xy可见不论动点 沿什么曲线，趋向于点（0，0）时，总有此不等式成立。由夹逼定(,)P理知 =0 忽视算数跟所造成的错误，在求一元函数极限时也常发生。02limxy例 9221lili1xx例 10 2221lim()lilim1xxx这两个例子的错误均是由于忽视了 2例 9 的正确解法是 可见当 时 当2211limli()xxx21x时 所以 是不存在的。x21x2x例 10 的正确解法是 2221lim()lilim1xxxx可见 时x2(1)21x时x2()x2x所以 是不存在的。2lim(1)x【1】王伟珠.常用求极限方法浅析【J】中国科教创新导刊，2007（23）12【2】姜伟.对求极限方法的探究【J】中国科教创新导刊 2008（28）
