1、普宁英才华侨中学 2016-2017 学年度第二学期 摸底考试高三数学（理科）注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号等相关信息填写在答题卷密封线内，并在“座位号”栏内填写座位号。2. 所有题目必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。第卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知集合 3,21,0A， 23Bx，则 AB（A） ,0（B） （C） ,1,0（D
2、） 0,2（2）复数 z 满足(1i) zi2，则 z 的虚部为（A） 3（B） 1（C） 2（D） 12i（3）已知等差数列 na的前 n 项和为 nS，且 315S,则数列 na的公差为（A）3 （B）4 （C）5 （D）6（4）设 D 为ABC 所在平面内一点，且 BD,则 A（A） 21C（B） 123A（C） 413（D） 253ABC（5）若 空 间 四 条 直 线 a、 b、 c、 d， 两 个 平 面 、 ， 满 足 ba， dc， a， c， 则（A） /b（B） （C） /（D） b 与 d 是异面直线（6）若命题：“ 20,0xRx”为假命题，则 的取值范围是（A） (,
3、8) （B） (8,)（C） (,0（D） 8,0（7）函数 ,|,siny的大致图象是-xyO -xyO -xyO -xyO（A） （B） （C） （D）（8）已知 0a且 1， 函 数 13log,0xfab满足 2f， 13f， 则 3f（A） 3（B） 2（C）3 （D）2（9）阅读如图 1 所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（A）1234 （B）2017 （C）2258 （D）722 （10）六 个 学 习 小 组 依 次 编 号 为 1、 2、 3、 4、 5、 6， 每 组 3 人 ， 现 需 从 中任 选 3 人 组 成 一 个 新 的 学 习 小 组 ， 则 3 人
4、来 自 不 同 学 习 小 组 的 概 率 为（A） 5204（B） 68（C） 18（D） 568（11）直线 :lxy与圆 2:xy交于 A、B 两点，O 为坐标原点，若直线 OA 、OB 的倾斜角分别为 、 ，则 cos= 图 1（A） 187 （B） 17 （C） 417（D） 417（12）已知 ,abR、 且 290ab，若 M为 2ab的最小值，则约束条件.2|32Myx所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为（A）29 （B）25 （C）18 （D）16第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题，每个考生都必须作答。第 2223 题为选考题，考
5、生根据要求作答。二、填空题：本小题共 4 题，每小题 5 分。 （13）已知菱形 ABCD的边长为 2， 60ABC , 则 DC_（14）按照国家规定, 某种大米质量(单位:kg)必须服从正态分布 210,N:, 根据检测结果可知 9.10.9P,某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利, 若该公司有20名职工, 则分发到的大米质量在 .kg 以下的职工数大约为 .（15）已知 ,xy满足约束条件20,xy若 0zxay的最大值为 4，则 a . （16）在数列 na中, 12, 8a,对所有正整数 n均有 21na，则2071na. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
6、。（17） （本小题满分 12 分）已知 ABC的内角 , , 的对边分别为 a， b， c，若 1a， bcC2os.（）求 ；（）若 12b, 求 sin.（18） （本小题满分 12 分）某产品按行业生产标准分成 8个等级，等级系数 X依次为 1,2 8，其中 5X为标准 A，3X为标准 B. 已知甲厂执行标准 A生产该产品，产品的零售价为 6元/件; 乙厂执行标准 生产该产品，产品的零售价为 4元/件，假定甲, 乙两厂的产品都符合相应的执行标准. （）已知甲厂产品的等级系数 1X的概率分布列如下所示：且 1X的数学期望 16E, 求 ab的值;（）为分析乙厂产品的等级系数 2X，从该厂
7、生产的产品中随机抽取 30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 2X的数学期望；（）在（）,（）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可15678P0.4ab0.1MDECBA购买性？说明理由.注: 产品的“性价比” ；“性价比”大的产品更具可购买性.(19) （本小题满分 12 分）如图, EA平面 BC， D平面 ABC, 是等边三角形， 2ACE, M是 的中点. （）求证： ; （）若直线 与平面 所成角的正切值为 2，求二面角 BCDE的余弦值.(20) （本小题满分 12 分）已知动圆 P与圆 21
8、:()49Fxy相切，且与圆 1)2(:yxF相内切，记圆心 P的轨迹为曲线 C.（）求曲线 的方程；（）设 Q为曲线 上的一个不在 x轴上的动点， O为坐标原点，过点 2F作 OQ的平行线交曲线 于 ,MN两个不同的点 , 求 QMN面积的最大值(21) （本小题满分 12 分）设函数 ()lnfxmx. 若曲线 ()yfx在点 e,()Pf（ 处的切线方程为2ey（ 为自然对数的底数）.（）求函数 ()fx的单调区间；（）若 ,Rab，试比较 ()2fab与 ()2af的大小，并予以证明.请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。（22） （本小题满分 10
9、分）选修 44：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点 O为极点, x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线 l 的参数方程为 sin(1coxtty为参数 0), 曲线 C的极坐标方程为 2cos4in.() 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程;（II）设直线 与曲线 C 相交于 ,AB两点, 当 变化时, 求 AB的最小值.(23)（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已 知 1fxa，不等式 3fx的解集是 21|x.（）求 的值；（II）若 |3fk存在实数解，求实数 k的取值范围 .普宁英才华侨中学 2016-2017 学年度第二学期 摸底考试高
10、三数学（理科）参考答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B C C A B D C B A B D A二、填空题（13） 6 （14） 40 （15） 3 （16） 2三、解答题（17）解：（）因为 1a， bcC2os，由余弦定理得221bcb,即 21cb. 2 分所以221cosAc. 4 分由于 0, 所以 3. 6 分（）法 1: 由 12b及 2cb, 得211c, 7 分即 430c, 8 分解得 1或 134c(舍去). 9 分由正弦定理得 siniaCA, 10 分得 1339si6048. 12 分法 2: 由 2b及正弦定理得 s
11、inibaB, 7 分得 13sini604B. 8 分由于 ba, 则 A,则 213cos1in4. 9 分由于 80ABC, 则 0B. 10 分所以 sini12cos12sin 11 分332498. 12 分(18) 解:（） 150.4670.16EXab, 即 73.2ab, 1 分z yxMDECBA又由 1X的概率分布列得 0.4.1,0.5abab, 2 分由得 .3,2ab 4 分（）由已知得，样本的频率分布表如下：5 分用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数 2X的概率分布列如下：6 分所以 230.4.250.6.170.8.14EX. 7
12、分即乙厂产品的等级系数的数学期望为 48. 8 分 （）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 6, 价格为 元/件，所以其性价比为 61，9 分因为乙厂产品的等级系数的期望等于 4.8, 价格为 元/件，所以其性价比为 4.82，10 分据此，乙厂的产品更具可购买性. 12 分(19) 解:（）因为 ABC是等边三角形， M是 AB的中点,所以 . 1 分因为 E平面 , 平面 C, 所以 . 2 分因为 A, 所以 CM平面 . 3 分 因为 E平面 ,所以 . 4 分2X45678f0.3.20.10.12X345678p0.20.10.1PNMDECBA
13、（）法 1: 以点 M为坐标原点， C所在直线为 x轴，B所在直线为 y轴，过 且与直线 BD平行的直线为 z轴，建立空间直角坐标系 xz.因为 D平面 A,所以 B为直线 与平面 BC所成角. 5 分由题意得 tan2DM, 即 M,6 分从而 C.不妨设 2A, 又 AE, 则 3, 1AE.7 分故 0,1B, 30, 12D, 0. 8 分于是 C, B, ,C, 3,12CD,设平面 与平面 E的法向量分别为 12(,),(,)mxyznxyz,由 0,mBD得 130,2xyz 令 1,得 13, 所以 1,. 9 分由 0,nCE得 2230,xyz令 21x,得 23y, 2z
14、. 所以 1,3. 10 分所以 cos,0mn. 11 分 所以二面角 BCDE的余弦值为 . 12 分法 2: 因为 平面 A,所以 M为直线 与平面 BC所成角. 5 分由题意得 tan2, 即 M,6 分从而 BDC.不妨设 2A, 又 AE, 则 3, 1, 2BCD. 7 分由于 E平面 , 平面 , 则 B.取 BD的中点 N, 连接 E, 则 2NAB.在 Rt 中, 25D,在 Rt AC中, C,在 Rt B中, 22B,取 D的中点 P, 连接 E, , ,则 E. 8 分所以 B为二面角 CD的平面角. 9 分在 Rt P中, 23EP,在 Rt 中, 1,在 Rt E
15、AB中, 25AB,因为 25P, 10 分所以 90. 11 分所以二面角 BCDE的余弦值为 0. 12 分(20) 解：（）设圆 P的半径为 R, 圆心 P的坐标为 (,)xy，由于动圆 与圆 21:()49Fx相切，且与圆 1)2(:yxF相内切，所以动圆 与圆 只能内切. 1 分所以 127,.PRF 2 分则 4|6|211. 3 分所以圆心 P的轨迹是以点 ,F为焦点的椭圆, 且 3,ac, 则 225bac.所以曲线 C的方程为 19yx. 4 分（）设 123(,) (,) (,)MxyNQ，直线 MN的方程为 2xmy，由 ,1592yxm可得 29025ym+-=（ ，则
16、 1212220,5. 5 分所以 212124)(yymMN 6 分950222m）（ ()2301.59m+=7 分因为 /MNOQ，所以 N的面积等于 OMN的面积 . 8 分点 到直线 2:yx的距离 21dm=+. 9 分所以 的面积 9513095)(301 222 mS .10 分令 21mt，则 21t() ， ()22303045519ttSt=+-. 设 )(45)(ttf，则 24)( ttf.因为 1t, 所以 .0452tf所以 ()ftt=+在 ）,1上单调递增.所以当 时, ()f取得最小值, 其值为 9. 11 分所以 QMN的面积的最大值为 30. 12 分说明: 的面积 951304)(21 2212121 myyyOFS .
