1、1 2.1 平行投影与圆柱面的平面截线 对应学生用书P37 读教材填要点 1平行投影 (1)回顾必修二定义：已知图形F，直线l与平面相交，过F上任意一点M作直线 MM平行于l，交平面于点M，则M叫做点M在平面内关于直线l的平行投 影如果图形F上的所有点在平面内关于直线l的平行投影构成图形F，则F叫做 图形F在内关于直线l的平行投影，平面叫做投影面，l叫做投射线，如果投射线 与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影 (2)平行投影的性质(直线与投影线不平行)： 直线或线段的平行投影仍是直线或线段； 平行直线的平行投影是平行或重合的直线； 平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长； 与投射
2、面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等； 在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段比 2圆柱面的平面截线 如果一个平面垂直于一圆柱的轴，截圆柱所得的截线为一圆；如果一个平面与圆柱的 轴所成角为锐角，截圆柱所得的截线形状为椭圆 小问题大思维 1正投影与平行投影之间有什么关系？ 提示：正投影是平行投影中投射线的方向与投射面垂直的一种特殊情况 2一个圆在一个平面上的正投影是什么形状？ 提示：若一个圆所在平面与平面平行，该圆在平面内的正投影为一个圆；如 果与平面垂直，则圆在平面的正投影为一条线段；若平面与平面不平行也 不垂直时，该圆在平面上的正投影为一个椭圆综上可知，一个圆在一个平
3、面上的投影 可能为一条线段、椭圆或圆 对应学生用书P37 2 点的投影 例1 如图所示，在三棱锥PABC中，E，F分别是AC，AB的中 点，ABC和PEF都是正三角形，且PFAB. 求证：点C在平面PAB内的正射影为点P. 思路点拨 本题考查正投影的概念，解答本题需证明PC平面PAB. 精解详析 在三棱锥PABC中，由ABC是正三角形，可设ABBCACa. E，F分别是AC，AB的中点，且PEF是正三角形， PEPFEF BC a. 1 2 1 2 PFAB， PA 2 AF 2 PF 2 2 2 a 2 ， ( 1 2 a ) ( 1 2 a ) 1 2 同理，PB 2 a 2 . 1 2
4、又AFAE，PFPE， PA 2 PE 2 AE 2 ， PEAC. PC 2 PE 2 EC 2 2 2 a 2 ， ( 1 2 a ) ( 1 2 a ) 1 2 PA 2 PC 2 a 2 a 2 a 2 AC 2 ，PAPC. 1 2 1 2 又PB 2 PC 2 a 2 a 2 a 2 BC 2 ，PBPC. 1 2 1 2 PC平面PAB， 即点C在平面PAB内的正射影是点P. 因为点在任何平面上的投影仍然是点，所以解决此类问题的关键是正确作出点在平面 内的正投影 1.如图，P是ABC所在平面外一点，O是点P在平面内 的正投影3 (1)若P点到ABC的三边距离相等，且O点在ABC的
5、内部，那么O点是ABC的什 么心？ (2)若PA、PB、PC两两互相垂直，O点是ABC的什么心？ 解：(1)由P到ABC的三边距离相等，故有O到ABC的三边距离相等， O为ABC的内心 (2)PAPB，PAPC， PABC， 又POBC， OABC，同理OBAC，OCAB， O为ABC的垂心. 几何图形的投影 例2 有下列4个命题： 矩形的平行投影一定是矩形； 矩形的正投影一定是矩形； 梯形的平行投影一定是梯形； 梯形的正投影一定是梯形，其中正确命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 思路点拨 本题考查平行投影的概念，解答本题需要考虑到投影面的位置不同，则 投影的形状会不同 精解详析 矩形
6、的平行投影可以是矩形、平行四边形或线段，不正确；矩形的 正投影也有矩形、平行四边形、线段三种情况，不正确；梯形的平行投影可以是梯形、 线段，不正确；梯形的正投影也可能是梯形、线段，不正确 答案 A 不论是正投影还是平行投影都应考虑图形所在的平面与投影方向的夹角的变化关系， 注意不漏、不缺，考虑问题要全面 2关于直角AOB在定平面内的投影有如下判断：可能是0的角；可能是锐 角；可能是直角；可能是钝角；可能是180的角，其中正确判断的序号是4 _(注：把你认为是正确判断的序号都填上) 解析：设直角AOB所在平面为，在与垂直时直角AOB投影为一条射线，从而 投影为0的角，与平行时投影为直角，随着与所
7、成角的变化也可以为锐角、 钝角或平角，因而正确的结果为. 答案： 例3 设四面体ABCD各棱长均相等，E、F分别为AC、AD的中点，如图，则BEF 在该四面体的面ABC上的正投影是下列中的( ) 思路点拨 本题考查正投影的应用解答此题的关键是确定F在平面ABC上的正投 影的位置 精解详析 由于BEBF，所以BEF为等腰三角形，故F点在平面ABC上的正投影 不在AC上而在ABC内部，又由于EF与CD平行，而CD与平面ABC不垂直，所以F点在 平面ABC上的正投影不在直线BE上，从而只有B图形成立 答案 B 确定一个几何图形的正投影，其实质是确定其边界点的正投影的位置在解决此类问 题时，一定要全面
8、考虑，否则极易出错 3如图，E、F分别为正方体的面ADD 1 A 1 、面BCC 1 B 1 的中心，则四边形BFD 1 E在该正 方体的面上的正投影可能是下图中的_(把可能的图的序号都填上)5 解析：四边形BFD 1 E在平面ABCD和平面A 1 B 1 C 1 D 1 上的正投影均为图，四边形BFD 1 E 在平面ADD 1 A 1 和平面BCC 1 B 1 上的正投影均为图，四边形BFD 1 E在平面ABB 1 A 1 和平面 DCC 1 D 1 上的正投影均为，故正确的为和. 答案： 对应学生用书P39 一、选择题 1梯形ABCD中，ABCD，若梯形不在平面内，则它在的投影是( ) A
9、平行四边形 B梯形 C一条线段 D一条线段或梯形 解析：当梯形所在的平面平行于投影线时，梯形在上的投影是一条线段；当梯形所 在的平面与投影线不平行时，梯形在上的投影是一个梯形 答案：D 2一条直线在一个面上的平行投影是( ) A一条直线 B一个点 C一条直线或一个点 D不能确定 解析：当直线与面垂直时，平行投影可能是点 答案：C 3ABC的一边在平面内，一顶点在平面外，则ABC在面内的投影是( ) A三角形 B一线段 C三角形或一线段 D以上均不正确 解析：当ABC所在平面平行于投影线时，投影是一线段，不平行时，投影是三角 形 答案：C 4圆柱的正投影可能是( ) A圆 B矩形6 C圆或矩形
10、D圆或平行四边形 解析：根据圆柱的三视图可知圆柱的正投影是圆或矩形 答案：C 二、填空题 5一个平行四边形的平行投影是_ 答案：平行四边形或线段 6两条相交直线的平行投影是_ 解析：两条相交直线的平行投影，仍然有一公共点，因为两条相交直线的交点的平行 投影必在两条直线的平行投影上，从而有两条相交直线的平行投影为两条相交直线，或者 是一条直线 答案：两条相交直线或一条直线 7在四棱锥PABCD中，四条侧棱都相等，底面ABCD为梯形，ABCD，ABCD，为保 证顶点P在底面ABCD所在平面上的正投影O落在梯形ABCD外部，则底面ABCD需满足条件 _(填上你认为正确的一个充分条件即可) 解：由已知
11、四条侧棱都相等得P在底面ABCD上正投影O应为四边形ABCD的外接圆圆 心，要使圆心O在四边形ABCD外，则应使ACB90，或ADB90. 答案：ACB90(或ADB90) 8已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的正投影有可能 是： 两条平行直线； 两条互相垂直的直线； 同一条直线； 一条直线及其外一点 在上面结论中，正确结论的编号是_(写出所有正确的结论的编号) 解析：当a、b均与 斜交且二者的公垂线与平行时，a、b在上的正投影是两 条平行直线；当a、b均与斜交且其中一条垂直于另一条在内的正投影时，两直线在 内的正投影为相互垂直的直线；当其中一条与垂直，另一条与斜交时，正投影为 一直线及其外一点 答案： 三、解答题 9如图，ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点A、B、C在平面内的正投影7 分别是A、B、C，如果ABC是等边三角形，且 AAa，BBa2，CCa1，设平面ABC与平面ABC所成的二面角的平面角 为 ，求的余弦值 ( 0 AB 2 AC 2 . 所以AB 2 AC 2 BC 2 0. 因为cosBAC 0， AB2AC2BC2 2ABAC 所以BAC为钝角 所以ABC为钝角三角形 故该图形的形状为线段或钝角三角形
