1、1 第二章 参数方程 章末复习课 对应学生用书P37 对应学生用书P38 将参数方程化为普通方程 将参数方程化为普通方程的考查有三个热点考向，其一给出参数方程，直接化为普通 方程；其二给出参数方程研究其形状、几何性质，则需化为普通方程定形状，研究其几何 性质，其三，在用参数法求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程一般地， 消参数经常采用的是代入法和三角公式法但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把 其中的参数消去，还要注意x，y的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得 参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线 例1 在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1 和C 2 的
2、参数方程分别为Error!(t为参数)和 Error!(为参数)，则曲线C 1 与C 2 的交点坐标为_ 解析 由Error!得 y ，又由Error! x 得x 2 y 2 2. 由Error!得Error!2 即曲线C 1 与C 2 的交点坐标为(1,1) 答案 (1,1) 例2 已知曲线C的参数方程为 Error!(t为参数，t0)，求曲线 C的普通方程 解 因为x 2 t 2，所以x 2 2t ，故曲线C的普通方程为 1 t 1 t y 3 3x 2 y60. 例3 已知参数方程Error!(t0) (1)若t为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？ (2)若为常数，t为参数，方程所表
3、示的曲线是什么？ 解 (1)当t1时，由得sin ， x t 1 t 由得cos . y t 1 t 1. x2 ( t 1 t ) 2 y2 ( t 1 t ) 2 它表示中心在原点，长轴长为2|t |， 1 t 短轴长为2 ，焦点在x轴上的椭圆 | t 1 t | 当t1时，y0，x2sin ，x2,2， 它表示在x轴上2,2的一段线段 (2)当 (kZ)时，由得 t . k 2 x sin 1 t 由得 t . y cos 1 t 平方相减得 4，即 1， x2 sin2 y2 cos2 x2 4sin2 y2 4cos2 它表示中心在原点，实轴长为4|sin |，虚轴长为4|cos |
4、， 焦点在x轴上的双曲线 当k(kZ)时，x0，它表示y轴；3 当k (kZ)时，y0，x(t ) 2 1 t t 2(t0时)或t 2(t0时)， 1 t 1 t |x|2.方程为y0(|x|2)，它表示x轴上以(2,0)和(2,0)为端点的向左、 向右的两条射线 例4 已知线段|BB|4，直线l垂直平分BB交BB于点O，并且在l上O点的 同侧取两点P，P，使|OP|OP|9，求直线BP与直线BP的交点M的轨迹 解 如图，以O为原点，l为x轴，BB为y轴，建立直角坐标系xOy. 依题意，可知B(0,2)，B(0，2)，又可设P(a,0)，P ，其中a为参数，可 ( 9 a ，0 ) 取任意非
5、零的实数 直线BP的方程为 1， x a y 2 直线BP的方程为 1. x 9 a y 2 两直线方程化简为Error! 解得直线BP与BP的交点坐标为 Error!(a为参数)， 消去参数a，得 1(x0) x2 9 y2 4 所求点M的轨迹是长轴为6，短轴为4的椭圆(除去B，B点). 直线参数方程的应用 直线参数方程的应用非常广泛，因此是高考重点考查的一个考点，主要考查直线参数 方程在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题中的应用，在解决这类问题时，应用直线的参 数方程，利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运 算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只
6、有标准形式中的参数才具有明 显的几何意义4 例5 如图，已知直线l过点P(2,0)，斜率为 ，直线l和抛物线y 2 2x相交于 4 3 A，B两点，设线段AB的中点为M，求： (1)P，M两点间的距离|PM|； (2)线段AB的长|AB|. 解 (1)直线l过点P(2,0)，斜率为 ，设直线的倾斜角为， 4 3 tan ，sin ，cos ， 4 3 4 5 3 5 直线l的参数方程为Error!(t 为参数) 直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y 2 2x中，整理得 8t 2 15t500， (15) 2 48(50)0. 设这个二次方程的两个根分别为t 1 ，t 2 ， 由
7、根与系数的关系，得t 1 t 2 ，t 1 t 2 ， 15 8 25 4 由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得 |PM| . |t1t2| 2 15 16 (2)|AB|t 2 t 1 | . t1t224t1t2 5 73 8 例6 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为Error!(t为参数)在极坐标系(与 直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的 方程2 sin . 5 (1)求圆C的直角坐标方程； (2)设圆C与直线l交于A，B.若点P的坐标为(3， )，求|PA|PB|. 5 解 (1)由2 sin ，得x 2 y 2 2 y0，即
8、x 2 (y ) 2 5. 5 5 5 (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得5 2 2 5， ( 3 2 2 t ) ( 2 2 t ) 即t 2 3 t40. 2 由于(3 ) 2 4420，故可设t 1 ，t 2 是上述方程的两实根， 2 所以Error! 又直线l过点P( ， )， 3 5 故由上式及t的几何意义得|PA|PB|t 1 |t 2 |t 1 t 2 3 . 2 圆锥曲线参数方程的应用 由于圆、椭圆、双曲线的参数方程均以一个角为参数，这给我们解决与其上动点有关 的距离的最值、定值、轨迹等问题带来很大的方便，因此高考中主要考查圆锥曲线参数方 程在这些方面的应用，当圆锥
9、曲线由普通方程给出时，需先化为参数方程再应用，最终转 化为三角的运算问题，求解 例7 点P在圆x 2 (y2) 2 上移动，点Q在椭圆x 2 4y 2 4上移动，求|PQ|的 1 4 最大值及相应的点Q的坐标 解 设圆的圆心为O，在POQ中， |PQ|PO|OQ| |OQ|， 1 2 设Q点的坐标为(2cos ，sin )， 而O(0,2)，则|OQ| 2 4cos 2 (sin 2) 2 3 2 . ( sin 2 3 ) 28 3 28 3 |OQ| ， 2 3 21 此时sin ，cos . 2 3 5 3 |PQ|的最大值为 ，相应点Q的坐标为 1 2 2 3 21 . ( 2 3 5
10、， 2 3 ) 例8 设P是椭圆4x 2 9y 2 36上的一个动点，求x2y的最大值和最小值 解 法一：令x2yt，且x，y满足4x 2 9y 2 36， 故点(x，y)是方程组Error!的公共解 消去x得25y 2 16ty4t 2 360，6 由(16t) 2 425(4t 2 36)0， 即t 2 25， 解得5t5， x2y的最大值为5，最小值为5. 法二：由椭圆方程4x 2 9y 2 36，得 1， x2 9 y2 4 设x3cos ，y2sin ，代入x2y得 x2y3cos 4sin 5sin()， 由于1sin()1， 所以55sin()5. x2y的最大值为5，最小值为5
11、.对应学生用书P40 一、选择题 1直线Error!(t为参数)上与点 P(4,5)的距离等于 的点的坐标是( ) 2 A(4,5) B(3,6) C(3,6)或(5,4) D(4,5)或(0,1) 解析：选C 由题意，可得 |t| t ，将t代入原方程， 32 32 2 3 3 得Error!或Error!所以所求点的坐标为(3,6)或(5,4) 2椭圆Error!上的点到直线 4x3 y200的最小距离为( ) 3 A. B. 4 43 43 20 43 43 C. D2 44 43 43 解析：选A 点P(3cos ，4sin )到直线4x3 y200的距离d 3 |12cos 12 3
12、sin 20| 43 .当sin 1时， | 24sin ( 6 ) 20 | 43 ( 6 ) d取最小值为 4 43 4 43 43 3设r0，那么直线xcos ysin r与圆Error!(是参数)的位置关系是( 7 ) A相交 B相切 C相离 D视r的大小而定 解析：选B 易知圆的圆心在原点，半径是r，则圆心(0,0)到直线的距离为 d r，恰好等于圆的半径，所以，直线和圆相切 |00r| cos2 sin2 4直线y x 与圆心为D的圆Error!(0,2)交于A，B两点，则直线AD 3 3 2 与BD的倾斜角之和为( ) A. B. 7 6 5 4 C. D. 4 3 5 3 解析
13、：选C 由已知得圆D：(x ) 2 (y1) 2 3， 3 则圆心D到直线y x 的距离等于d ， 3 3 2 | 3 3 31 2 | 1 3 1 6 2 故cos ADB ， 1 2 d 3 2 2 ADB ，ADB ； 1 2 4 2 又ADBD，因此有DBA . 4 而直线y x 的倾斜角是 ，因此结合图形可知，在直线AD，BD中必有一条直 3 3 2 6 线的倾斜角等于 ， 6 4 另一条直线的倾斜角等于 ， 6 4 2 因此直线AD，BD的倾斜角之和等于2 . ( 6 4 ) 2 4 3 二、填空题 5设直线l 1 的参数方程为Error!(t为参数)，直线l 2 的方程为y3x4
14、，则l 1 与l 2 间的距离为_8 解析：将直线l 1 的参数方程化成普通方程为y3x2，又l 2 ：y3x4，故l 1 l 2 ， 在l 1 上取一点(0，2)，其到l 2 ：3xy40的距离就是l 1 与l 2 的距离， 即d . |024| 10 3 10 5 答案： 3 10 5 6(湖北高考)已知曲线C 1 的参数方程是Error!(t为参数)以坐标原点为极点，x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程是2.则C 1 与C 2 交点的直角坐标为 _ 解析：由题意，得Error! x 2 3y 2 (x0，y0)，曲线C 2 的普通方程为x 2 y 2 4，联 立Er
15、ror!，得Error!即 C 1 与C 2 的交点坐标为( ，1) 3 答案：( ，1) 3 7直线Error!(t为参数)与曲线Error!(为参数)的交点个数为_ 解析：直线的普通方程为xy10，圆的普通方程为x 2 y 2 3 2 ，圆心到直线的距 离d 3，故直线与圆的交点个数是2. 2 2 答案：2 8已知圆C：Error!(为参数)，则它的普通方程为_设O为坐标原点，点 M(x 0 ，y 0 )在C上运动，点P(x，y)是线段OM的中点，则点P的轨迹方程为_ 解析：由Error!知Error! (x1) 2 y 2 sin 2 cos 2 1. 由中点坐标公式得Error!Err
16、or! 又点M(x 0 ，y 0 )在圆C上运动， (x 0 1) 2 y 1.故(2x1) 2 4y 2 1. 2 0 答案：(x1) 2 y 2 1 (2x1) 2 4y 2 1 三、解答题 9已知椭圆C 1 ：Error!(为参数)及抛物线C 2 ：y 2 6 .当C 1 C 2 时，求m的 ( x 3 2 ) 取值范围 解：将椭圆C 1 的参数方程代入C 2 ：y 2 6 ， ( x 3 2 ) 得3sin 2 6 ， ( m2cos 3 2 )9 1cos 2 2m4cos 3， 即(cos 2) 2 82m， 1(cos 2) 2 9，182m9. 解之，得 m . 1 2 7 2
17、 当C 1 C 2 时，m . 1 2 ， 7 2 10经过P(2,3)作直线交抛物线y 2 8x于A，B两点 (1)若线段AB被P平分，求AB所在直线方程； (2)当直线的倾斜角为 时，求|AB|. 4 解：设AB的参数方程是Error!(t为参数)， 代入抛物线方程，整理得 t 2 sin 2 (6sin 8cos )t70， 于是t 1 t 2 ，t 1 t 2 . 6sin 8cos sin2 7 sin2 (1)若P为AB的中点，则t 1 t 2 0. 即6sin 8cos 0tan . 4 3 故AB所在的直线方程为y3 (x2) 4 3 即4x3y10. (2)|AB|t 1 t
18、 2 | t1t224t1t2 ( 6sin 8cos sin2 ) 24 ( 7 sin2 ) . 2 sin2 1612sin2 又 ， 4 |AB| 2 sin2 4 1612sin ( 2 4 ) 8 . 7 对应学生用书P4310 (时间：90分钟，满分：120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中只 有一个是正确的) 1当参数变化时，动点P(2cos ，3sin )所确定的曲线必过( ) A点(2,3) B点(2,0) C点(1,3) D点 ( 0， 2 ) 解析：选B 令x2cos ，y3sin ，则动点(x，y)的轨迹是椭圆： 1，曲线
19、过点(2,0) x2 4 y2 9 2以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是( ) A2cos B2sin ( 4 ) ( 4 ) C2cos(1) D2sin(1) 解析：选C 由已知得圆心在相应的直角坐标系下的坐标为(cos 1，sin 1)， 所以圆在直角坐标下的方程为(xcos 1) 2 (ysin 1) 2 1，把xcos ，ysin 代入上式，得 2 2cos(1)0.所以0或2cos(1)， 而0表示极点，适合方程2cos(1)，即圆的极坐标方程为2cos (1) 3直线Error!(t为参数)与椭圆Error!(为参数)的交点坐标是( ) A(0,2)或(2,0
20、) B(4,0)或(0,4) C(0,2)或(4,0) D(4,2) 解析：选C 法一：直线参数方程消去参数t，得 x2y40. 椭圆参数方程消去，得 1. x2 16 y2 4 由Error!解得Error!或Error! 直线与椭圆的交点坐标为(4,0)或(0,2) 法二：两曲线相交 Error!即Error! 两式平方相加，消去，得 t 2 (1t) 2 1. 整理，得2t(t1)0.11 解得t 1 0，t 2 1. 分别代入直线的参数方程，得交点坐标为(0,2)或(4,0) 4直线cos 2关于直线 对称的直线方程为( ) 4 Acos 2 Bsin 2 Csin 2 D2sin 解
21、析：选B 直线x2关于直线yx对称的直线是y2， 直线方程为sin 2. 5参数方程Error!(t为参数)所表示的曲线是( ) 解析：选D 将参数方程进行消参，则有t ， 1 x 把t 代入y 中， 1 x 1 t t21 当x0时，x 2 y 2 1，此时y0； 当x0时，x 2 y 2 1，此时y0. 6过点(0,2)且与直线Error!(t 为参数)的夹角为30的直线方程为( ) Ayx 或x0 By x2或y0 3 3 3 3 Cy x2或x0 Dy x 或x0 3 3 2 3 3 3 解析：选C 直线Error!的斜率 k ，倾斜角为60.故所求直线的倾斜角为30或 3 90.所以
22、所求直线方程为y x2或x0. 3 3 7直线Error!(t为参数)与双曲线x 2 y 2 1没有公共点，则m的取值范围是( ) A. B. ( 3 2 ， 3 2 ) ( 2 2 ， 2 2 )12 C. D. ( 1 3 2 ， 1 3 2 ) ( 1 2 2 ， 1 2 2 ) 解析：选C 把xmt，y12t代入x 2 y 2 1并整理得 3t 2 2(m2)tm 2 20，由题意得 4(m2) 2 12(m 2 2)0. 即2m 2 2m10，得 m . 1 3 2 1 3 2 8若圆的参数方程为Error!( 为参数)，直线的参数方程为Error!(t为参数)，则直线 与圆的位置关
23、系是( ) A过圆心 B相交而不过圆心 C相切 D相离 解析：选B 将圆、直线的参数方程化成普通方程，利用圆心到直线的距离与圆的半 径进行比较，可知圆心到直线的距离小于半径，并且圆心不在直线上 9已知点(4,2)是直线l被曲线Error!所截的线段中点，则 l的方程是( ) Ax2y0 Bx2y40 C2x3y40 Dx2y80 解析：选D 法一：(4,2)在直线l上，点的坐标满足方程，把点(4,2)的坐标代 入四个选项中的直线方程，排除A，B，C. 法二：曲线化为普通方程是： 1. x2 36 y2 9 设曲线与l的交点坐标为(x 1 ，y 1 )，(x 2 ，y 2 )， 则Error!
24、得： (x 1 x 2 )(x 1 x 2 ) (y 1 y 2 )(y 1 y 2 ) 1 36 1 9 . y1y2 x1x2 9 36 x1x2 y1y2 9 36 2 4 2 2 1 2 直线l的斜率为 ，由点斜式方程可得l方程 1 2 10已知方程x 2 axb0的两根是sin 和cos (| )，则点(a，b)的轨 4 迹是( ) A椭圆弧 B圆弧 C双曲线弧 D抛物线弧 解析：选D 由题Error!Error!13 a 2 2b(sin cos ) 2 2sin cos 1.又| . 4 表示抛物线弧 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上) 11若
25、x 2 y 2 4，则xy的最大值是_ 解析：x 2 y 2 4的参数方程为Error!(为参数)， xy2cos 2sin 2 cos . 2 ( 4 ) 最大值为2 . 2 答案：2 2 12(重庆高考)已知直线l的参数方程为Error!(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin 2 4cos 0(0，02)，则直线l与曲线C的公共点的极径_. 解析：依题意，直线l与曲线C的直角坐标方程分别是xy10，y 2 4x.由Error! 得x 2 2x10，解得x1，则y2，因此直线l与曲线C的公共点的直角坐标是(1,2)， 该点与原点的距离为
26、，即直线l与曲线C的公共点的极径 . 1222 5 5 答案： 5 13(重庆高考)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极 坐标系若极坐标方程为cos 4的直线与曲线Error!(t为参数)相交于A，B两点，则 |AB|_. 解析：cos 4化为直角坐标方程为x4， Error!化为普通方程为 y 2 x 3 ， 联立得A(4,8)，B(4，8)，故|AB|16. 答案：16 14在直角坐标系xOy中，已知曲线C 1 ：Error!(t为参数)与曲线C 2 ：Error!(为参数， a0)有一个公共点在x轴上，则a_. 解析：曲线C 1 的普通方程为2xy3，曲线C 2
27、 的普通方程为 1，直线 x2 a2 y2 9 2xy3与x轴的交点坐标为 ，故曲线 1也经过这个点，代入解得a ( 3 2 ，0 ) x2 a2 y2 9 3 2 . ( 舍去 3 2 )14 答案： 3 2 三、解答题(本大题共4小题，共50分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15(本小题满分12分)已知直线l的参数方程：Error!(t为参数)和圆C的极坐标方程： 2 sin (为参数) 2 ( 4 ) (1)将直线l的参数方程和圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线l和圆C的位置关系 解：(1)消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y2x1； 2 sin 即2(sin
28、 cos ) 2 ( 4 ) 两边同乘以得 2 2(sin cos )， 消去参数，得圆C的直角坐标方程为： (x1) 2 (y1) 2 2. (2)圆心C到直线l的距离 d ， |211| 2212 2 5 5 2 所以直线l和圆C相交 16(本小题满分12分)(新课标全国卷)已知曲线C： 1，直线l：Error!(t x2 4 y2 9 为参数) (1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程； (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与 最小值 解：(1)曲线C的参数方程为Error!(为参数) 直线l的普通方程为2xy60. (2)曲线C上任意一点
29、P(2cos ，3sin )到l的距离为d |4cos 3sin 5 5 6|. 则|PA| |5sin()6|， d sin 30 2 5 5 其中为锐角，且tan . 4 315 当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为 . 22 5 5 当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为 . 2 5 5 17(本小题满分12分)(辽宁高考)将圆x 2 y 2 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐 标变为原来的2倍，得曲线C. (1)写出C的参数方程； (2)设直线l：2xy20与C的交点为P 1 ，P 2 ，以坐标原点为极点，x轴正半轴为 极轴建立极坐标系，求过线段P 1 P 2 的中点且
30、与l垂直的直线的极坐标方程 解：(1)设(x 1 ，y 1 )为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得Error! 由x y 1得x 2 2 1， 2 1 2 1 ( y 2 ) 即曲线C的方程为x 2 1. y2 4 故C的参数方程为Error!(t为参数) (2)由Error!解得Error!或Error! 不妨设P 1 (1,0)，P 2 (0,2)，则线段P 1 P 2 的中点坐标为 ，所求直线斜率为k ， ( 1 2 ，1 ) 1 2 于是所求直线方程为y1 ， 1 2 ( x 1 2 ) 化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3， 即 . 3 4sin 2co
31、s 18(本小题满分14分)已知直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为Error!(为 参数)定点A(0， )，F 1 ，F 2 是圆锥曲线C的左，右焦点 3 (1)以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F 1 且平行于直线AF 2 的 直线l的极坐标方程 (2)在(1)条件下，设直线l与圆锥曲线C交于E，F两点，求弦EF的长 解：(1)由圆锥曲线C的参数方程知其普通方程为 1. x2 4 y2 3 A(0， )，F 1 (1,0)，F 2 (1,0) 3 直线l的斜率k ，l：y (x1) 3 3 直线l的极坐标方程为sin cos . 3 316 即2sin . ( 3 ) 3 (2)联立Error!得 5x 2 8x0. EF . 1k2 x1x224x1x2 16 5 即弦EF的长为 . 16 5
