1、山西大学附属中学2016-2017 学年高三第二学期 3 月模块诊断数学试题（理）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合 ，则 （ ）2|2,|logAxZxBxyABA B C D1,1010,12.若复数 满足 （ 为虚数单位） ，则 的共轭复数为（ ）z()3izizA B C D 2i 2i2i3. 将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得到的图象关于 轴对称，3cosinyxR my则 的最小值是（ ）mA B C. D6123564. 我们可以用随机模拟的方法估计 的值，
2、如图程序框图表示其基本步骤（函数 是产生随机数的函数，它能随机产生 内的任何一个实数）RND(0,1)若输出的结果为 ，则由此可估计 的近似值为（ ）5A3.11 B3.126 C3.132 D3.151 5.焦点为 6,0且与双曲线 12yx有相同渐近线的双曲线方程是( )A. 124yxB. 4 C. 2x D. 124y6.设 ，函数 ，则 恒成立的（ ,abR0fxab0f）是 .0A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D即不充分也不必要条件7.已知函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点，则 的取值范210xfe2lngxxaya围是（ ）A B C. D1e， e， 1
3、e， 1 e，8.已知函数 是偶函数，记 则 的大小关系为txf3logtfcfbfa2,4log5.13.0cba,（ ）A B C. Dbcacbac9. 已知直线 与双曲线 相切于点 ， 与双曲线两条渐进线交于 ， 两点，则 的l214xyPl MNON值为（ ）A B C D与 的位置有关 3 5P10. 九章九 术是我国古代数学名著 ,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵 中， ，若 ，当1ABA12AB阳马 体积最大时，则堑堵 的体积为（ ）1BC1A B C. D 832
4、2211已知数列 的前 项和为 ，若 且 ，则下列四个结论：nanS1a1()()nna； ； 1na(1)2S 是增数列； 是等差数列，其中正确的个数为（ ）nA1 B2 C3 D412设函数 ，若曲线 上存在点 使得 成立()lfxxae1sin2yx0(,)xy0()fy则实数 的取值范围为（ ）aA B C D 20,e120,e0,2,e1第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 如图，网格纸上每个小正方形的边长为 ，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 1 14. 已知 满足约束条件 ，求 的最小值是 xy，02xy22
5、1zxy 15. 多项式 展开式中的常数项是 52214x16. 已知 的面积为 ，内角 所对的边分别为 ，且 成等比数列，ABCS,ABC,abc2sin,i,cosCBA，则 的最小值为 . 23,183baca24196ca三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分）已知 分别是 的三个内角 的对边，且cba,ABCCBA,2sin()3.aCb（I）求角 的值；（II）若 ， 边上的中线 的长为 ，求 的面积. 3D13AB18. （本小题满分 12 分）2016 年年初不合格疫苗事件震惊全国，事件发生后，
6、涉事地的某防疫组织迅速行动，对现存有的六类涉事疫苗进行抽样调查，从中共随机抽取了 50 支疫苗进行达标检验，并将检验结果向社会公布如下： 疫苗名称 1 号疫苗 2 号疫苗 3 号疫苗 4 号疫苗 5 号疫苗 6 号疫苗频数 6 10 12 12 a4达标数量 3 6 6 6 4 3（I）根据上述检验结果，求 的值并估计该组织现存有涉事疫苗达标的概率；a（II）若从 5 号、6 号样本疫苗中各随机选取 2 支调查，调查的 4 支中没有达标的支数为 ，求随机变量的分布列和数学期望19 （本小题满分 12 分）在如图所示的空间几何体中，平面 平面 与 是边长为 的等边三角形，ACD,BACD2和平面
7、 所成的角为 ，且点 在平面 上的射影落在 的平分线上.2,BEB60EABC（I）求证: 平面 ；/D（II）求二面角 的余弦值.20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 ，过点 作圆 的切线，2:10xyab2,1Q21xy切点分别为 .直线 恰好经过 的右顶点和上顶点.,ST（I）求椭圆 的方程；（II）如图，过椭圆 的右焦点 作两条互相垂直的弦 ，若直线 的斜率均存在时，求由F,ABCD,AB四点构成的四边形面积的取值范围.,ACBD21.（本小题满分 12 分） 已知函数 在 处取得极值.源:ZXXK2()ln,().xfaxR2x（I）求实数 的值及函数 的单调区间；)f（II）已
8、知方程 有三个实根 求证： .mxf)(123123,(),213x请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 （ 为参数， ）.C24cosinl cos1inxtyt0（I）把曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线 的形状；C（II）若直线 经过点 ，求直线 被曲线 截得的线段 的长.l1 0， l AB23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 .fxa（I）若 的解集为 ，求实数 的值；fxm15x am，（II）当
9、且 时，解关于 的不等式 .2a0t2fxtft山西大学附属中学2016-2017 学年高三第二学期 3 月模块诊断数学答案（理）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A 2.D 3.A 4.B 5. B 6. B 7. B 8. A 9.A 10.C 11.C 12. C二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 14. 15. 18 16. 101234三、解答题 17. 试题解析：( )由 ，变形为bCa3sin2 BCAsin3sico3sins2，ACAi3cosin3sin
10、即 s即 ，即 . sinco3inii CAAsinco3sin因为 ，所以 ， .又 -6 分 0scsta,0（）在 中， ， ， ，利用余弦定理， ABD31BA22osD得 ，又 D 是 的中点 ， .-12 分 4C836sin21ACBSABC18. 19 解： (1) 由题意知， 都是边长为 的等边三角形，取 中点 ，连接 ，,ABCD2ACO,BD则 .又平面 平面 ，平面 平面 平面 ，,BOACDABD,BAC所以 平面 .作 平面 于 .由题意，点 落在 上，且 .在EFF60EF中， .在 中，RtEF3sin2RtO.因为 平面 平面 ，所以 ，又3sin2DOCA
11、DO,ABCEFABDOEFA，所以四边形 是平行四边形.所以 .又 平面 平面 ，EFEF,CB所以 平面 .-6 分B(2) 作 ，垂足为 ，连接 平面 .又GG,平面 .所以 .所以 就,C G是二面角 的一个平面角.在 中，ARtBF.在 中，1sinsin302FE.在 中，6EBFt,即二面角2132.cosGGF的余弦值为 .-12 分EBCA1320. 解：(1)过 作圆 的切线，一条切线为直2,2xy线 ，1y切点 .设另一条切线为 ，即0,1S2k .因220kxk为直线与圆 相切，则 .解得 .所以切线2xy214方程为.由 ，解得 ，直线33yx1,3T的方ST程为：,
12、即 .令 ，则 所以1023x0xy 上顶点的坐标为 ，所以 ；令 ，则 ，所以右顶点的,b2 坐标为，所以 ，所以椭圆 的方程为 .0a(2) 若直线 斜率均存在，设直线 , 则由,ABCD12:,ABkAxBy得 .可知判别式 恒成立. 由韦达定理，得210ykx2240kx0，当直线 的斜率均存在且不为 时， 214,2222 211214411kkABkxkxx.同理， ，22 2kk 22CDkk22241112 5kSABCDA四 边 形，因为 ，当且22244115kkk 22119kkA仅当 时取等号，所以 ，即 .1k2 2160,91kk1629S四 边 形所以，由 四点构
13、成的四边形面积的取值范围为 .,ACBD,21.试题解析：()由已知 ， ，2()fxa2()0fa3所以 ，23(1xfx由 ，得 或 ； 由 ，得 ，()01,x()0f2所以函数的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .(0)2,(1,)（）由（1）可知极小值 ；极大值为 ，可知方程 三个实根满足ln4f52f()fxm，230xx设 ， ，1()hf(0,1)，则 ，21 42()xx11()210hxf即 ，所以 ，,0,1)f2112ff由（1）知函数 在 上单调递减，从而 ，即 fx2x2x同理设 ， ，2()4,(1,2)h2()()40xhf，即 ，22 0xf,(1,2)fxx
14、，由（1 ）知函数 在 上单调递增，从而 ，即324fx324x ，2由可得 得证 .31x22.解：（1）曲线 的直角坐标方程为 ，故曲线 是顶点为 ，焦点为 的抛物线.C24yxC0 O， 1 0F，（2）直线 的参数方程为 （ 为参数， ） ，故 经过点 ，若直线 经过点l cos1inxtyt0l ， l，则 . 0， 34直线 的参数方程为 （ 为参数）l32cos41inxttyt代入 ，得 ，24yx260tt设 对应的参数分别为 ，则 ， ， AB， 12 ， 126t12t .121248ttt23.解：（1）由 得 ，xamxam所以 ，解得 为所求.5a3（2）当 时， ，2fx所以 ， 2fxtttxt当 时，不等式恒成立，即 ；0tR当 时，不等式 或 或2xtt2txt2xtt解得 或 或 ，即 ；2xtttxt综上，当 时，原不等式的解集为 ，当 时，原不等式的解集为 .0R0t2tx
