1、五 年 级 暑 期 奥 数 讲 义 第 一 页五 年 级 暑 期 第 一 讲分 数 的 乘 除1. 定义：把单位 “1“ 平均分成若干份，取其中的一份或几份，可以用分数表示。其中的一份叫做 分数单位 。例：4 =取其中的几份7 =平均分成几份三要素：单位 “1“量 表示大小、轻重、多少，大多数有单位。率 表示两个数之间的关系，没有单位。 如：倍、份对于分数、%(百分比)、比例的解题方法：列表格。例： 部分 1 部分 2 全体5 4 9例： 男生比女生多 1/4，女生比男生少多少？男 女 全体4+1 4 9女生比男生少 1/5。五 年 级 暑 期 奥 数 讲 义 第 二 页2. 分数：真分数：分
2、子 = 分母带分数：整数(商) + 分数 (分子为余数)3. 分数与除法：被除数 除数 商分子 分母 分数值4. 最简分数：分子与分母互质互质：两个数只有公因数 1 ，叫做这个两个数互质。类型：相邻的两个整数互质；相邻的两个奇数互质；两个不等的质数互质。5. 分数的基本性质与除法的商不变性质相同。分子、分母同时 缩小 相同的倍数，分数值不变。 =约分分子、分母同时 扩大 相同的倍数，分数值不变。 =通分约分可分为： 整体约分 和 连锁约分 。6. 分数的乘除计算：乘法：分子 分子 分母 分母化带为假，先约分，再计算。除法：除以一个数等于乘这个数的倒数。五 年 级 暑 期 奥 数 讲 义 第 三
3、 页五 年 级 暑 期 第 二 讲分 数 的 加 减1. 通分：分子、分母同时扩大相同的倍数。应用：比较大小 例：2/7 与 3/11同分母：22/77 21/77同分子：6/21 6/22通分的三种情况：一：两个分数分母互质。二：两个分数分母不互质。三：两个分数分母成倍数关系。2. 同分母分数计算：分母不变，分子相加减。3. 异分母分数计算：通分，转异为同。4. 混合运算：分数的四则运算；分(数 )小(数)混合运算；分(数 )小(数)四则混合运算 ;质因数：因数中的质数部分。分母中只包含质因数 2 和 5 的分数可以化为有限小数，否则只能为无限小数。重点：约分、裂项 (裂和、裂差)五 年 级
4、 暑 期 奥 数 讲 义 第 四 页五 年 级 暑 期 第 三 讲棋 盘 中 的 数 学棋盘是解决问“能否”问题的，是需要证明的。此外，通过数的奇偶性，也可以解决“能否”问题。1. 黑白交替染色 染色 位置问题路线问题找矛盾：黑白数量、奇偶性是否一致 杂题覆盖 12 的小格子找矛盾：小图形与大图形黑白数量、奇偶性是否一致T 字形小格子例 6：( 黑白交替染色)染色后，黑色相邻的为白色，白色相邻的为黑色，交换座位即：黑白，白黑，所以如果符合要求黑色必须等于白色，利用这个规律找矛盾。需要 染色白黑黑白黑白 18 黑17 白有矛盾否 (不能完全交换)五 年 级 暑 期 奥 数 讲 义 第 五 页例
5、5： ( 黑白交替染色 ) 按照规律只能：黑白黑 ，所以奇数步为黑色，偶数步为白色。最后一个房间为第 27 步，应为黑色，而且出口也 为黑色，所以不存在矛盾。由于是立体图形，可以采取切片法，分层来考虑。1 2 3 4 27走： 黑 白 黑 白 黑染： 黑 黑无矛盾可以例 1：( 黑白交替染色) 分析小图形大(图一 ) 大(图二 ) 大(图三 )1 个：1 黑 1白7 个：7 黑 7白7 黑 7 白 8 黑 6 白 8 黑 6 白无矛盾 有矛盾 有矛盾能 不能 不能对于 (3 黑 1 白) 和 (1 黑 3 白) 黑白数量是不同的，使得无法通过黑白的数量进行判断，但是发现黑白的数量都是奇数，所以
6、可以小图形和大图形黑白数量的奇偶性来判断。一个 T 字型染色为奇黑奇白，通过计算所有小图形的奇偶性来与大图形的奇偶性进行比较，从中查找是否矛盾。五 年 级 暑 期 奥 数 讲 义 第 六 页对于小图形，设法制造奇黑奇白，其目的是与偶黑偶白制造矛盾。例 3小图形 大图形其他：偶黑偶白：奇黑奇白奇黑奇白 偶黑偶白有矛盾不能2. 条形染色 (斑马染色) 主要用于：1 黑 1 白、2 黑 1 白、3 黑 1 白，制造奇黑奇白。图形： 保证该图形始终是 3 黑 1 白。3. 混换染色 1 2 3 4 1 22 3 4 1 2 33 4 1 2 3 44 1 2 3 4 1图形： 1 2 3 4通过计算各
7、个数字的个数，来查找矛盾。4. 大方格染色 图形： 保证该图形始终是 1 黑 3 白。五 年 级 暑 期 奥 数 讲 义 第 七 页5. 牙齿染色 该染色不同之处在于，大图形是奇黑奇白，通过多个小图形的和，得到偶黑偶白，从而查找矛盾。注：所有染色的目的都是查找 奇黑奇白 和 偶黑偶白 之间存在的矛盾6. 阶梯型标数法要求：有先后限制，有大小(数量)限制，两个限制缺一不可，限制方用 ，受限方用表示。例：有 4 个不同的脏碗上下摞在一起，甲洗碗，乙擦碗，问干净的碗有多少种摞法？分析：首先甲乙有先后的限制，甲先乙后，而且有数量的限制，乙的数量不可能超过甲，所以要有阶梯型标数法。例：10 人去公园，其
8、中 5 人只有 50 元，另 5 人只有 100 元，公园门票 50 元，而且售票处开始时没有钱，问共有多少种买票的方法？分析：有 100 元钱的人受 50 元钱的人的限制， 100 元钱的人不可能多余 50 元钱的人，所以用阶梯型标数法。425！5！1 223 45 95141 1 1 1 1五 年 级 暑 期 奥 数 讲 义 第 八 页五 年 级 暑 期 第 四 讲枚 举 法 进 阶1. 有序从小到大2. 分类3. 板书例 4：设三边为 a、b、c(由大到小)，则 abc，cb a。由 c ba，可知 cb2、3、4。a b c a b c b c a b c b c b c a b c
9、b c a b c2 3 4 3 4 5 4 6 4 5 6 5 7 5 8 5 6 7 6 8 6 7 84 5 5 6 5 7 6 7 6 8 7 85 6 6 7 6 8 7 86 7 7 87 8例 6：飞飞必须站中间，所以 2、5 是等同的，3、4 是等同的。飞飞在 2 (5) 位，盛、东：1 3、1 4、1 5、1 6、3 5、3 6、4 6剩下三人：6 种总共：7226飞飞在 3 (4) 位，盛、东：1 4、1 5、1 6、2 4、2 5、2 6、4 6剩下三人：6 种总共：7226五 年 级 暑 期 奥 数 讲 义 第 九 页拓展：5 个药瓶，其中三个帖错了标签，问共有多少种错
10、误方法？(两个帖对的 )2(全帖错 ) C25五 年 级 暑 期 奥 数 讲 义 第 十 页五 年 级 暑 期 第 五 讲排 列 组 合 初 步排列 组合都是不同元素理解有序交换位置后结果不一样。关键在排 (先选再排)全排列 =5！阶乘A55超过 10 的阶乘不用计算。无序交换位置结果一致，或本身不能交换位置。关键在选 (只选不排)计算= n(n-1).(n-m+1)Amnn! = 123. nn!(n+1) = (n+1)!0! = 1= != = = 10 . = 0 1 2 2应用：1. 判断 有序(A) 或 无序 (C)2. 方法：捆绑法、插空法、挡板法、直排法 .3. 从 . 中选
11、. 个例：11！ 2 2！ 33 ！ 44！ . 20142014!=(2-1)1！ (3-1)2！ (4-1)3！ (5-1)4！ . (2015-1)2014!五 年 级 暑 期 奥 数 讲 义 第 十 一 页=2!1! 3! 2! 4! 3! . 2015! 2014!=2015! 1拓展：8 人前后站两排，后面的人比前面的高，问有多少种排法。1123C36C410五 年 级 暑 期 奥 数 讲 义 第 十 二 页五 年 级 暑 期 第 五 讲质 数 与 合 数1：既不是质数，也不是合数。质数 ：只能分解成 1 和它本身 2 个因数。合数 ：至少有 3 个因数。2：偶质数、最小的质数。明星质数 ：2、3、5合数 ：分解质因数 短除法 (除数为质数)。把合数分解成质数相乘的形式。2 1802 905 453 93180 = 22335= 22 32 51应用：
