1、天津市南开中学 2017 届高三第五次月考数学（文）试题第卷一、选择题：本大题共 8 个小题,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数 z满足： (i)25，则 z（ ）A 2i B i C 2i D 2i2. 函数 21logfxx的一个零点所在区间为（ ）A 0, B , C ,3 D 3,43. 若 .30.3,llabce，则（ ）A c B a C cab D bca 4. 若 224，则直线 0xy被圆 21xy所截得的弦长为（ ）A 3 B 1 C. 1 D 345. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ）A B C. D6
2、. 如图， 12,F是椭圆21:4xCy与双曲线 2C的公共焦点， ,AB分别是 12,C在第二、四象限的公共点，若四边形 12为矩形，则 2的离心率是（ ）A 2 B 3 C. 32 D 627. 设 ,xyR， 1,ab，若 3,2xyab，则 1xy最大值为（ ）A 2 B 32 C.1 D 28.设 3log1fxx，则对任意实数 ,0ab是 0fafb的 （ ）A充分必要条件 B 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件第卷二、填空题（将答案填在答题纸上）9.已知全集 UR， |21,|12xAyBx ，则 UCAB 10. 如图是某算法的程序框图，则程序运行
3、后输出的结果是 11.设函数 yfx在区间 0,1上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有 01fx，可以用随机模拟方法近似计算由曲线 f及直线 ,10xy所围成部分的面积 S，先产生两组（每组 N个）区间 0,1上均匀随机数 12,.nx和 12.n，由此得到 N个点 ,2.ixy，再数出其中满足 iiyfN的点数 ，那么由随机模拟方法可得 的近似值为 12.已知 na是首项为 1的等比数列， nS是它的前 项和，且 369S，则数列 1na的前 5项和为 13.如图，在四边形 ABCD中， ,3,4,BACAD是等边三角形，则 ACBD的值为 14.已知函数 2lnxfa，对任意的 12,0,
4、x，不等式 121fxfa恒成立，则实数 a取值范围为 三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数 223sincos1fxxx.（1）求函数 的最小正周期及单调递增区间；（2）在 ABC中， ,abc分别为角 ,ABC所对的边，若 2,1Afbc，求 a的值.16. 某家具厂有方木料 390m，五合板 260，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料 30.1m、五合板 2；生产每个书橱需要方木枓 3m、五合板 21.出售一张书桌可获利润 80元，出售一个书橱可获利润 1元，怎样安排生产可使所得利润最大？最大利润为多少？17. 如图，直三棱柱 1A
5、BC中， 1,2ABCD是棱 1A的中点， 1DCB.（1）证明： 1DCB；（2）求二面角 1A的大小.18. 椭圆 2:0xyEab的左焦点为 1F，右焦点为 2，离心率 12e，过 1F直线椭圆于,B两点，且 2F的周长为 8.（1）求椭圆 的方程；（2）设动直线 :lykxm与椭圆 E有且只有一个公共点 P，且与直线 4x相交于点 Q.试探宄：在坐标平面内是否存在定点 M，使得以 PQ为直径的圆恒过点 M？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.19. 已知数列 na的前 项和12(nnSa为正整数）. （1）令 2b，证明数列 b是等差数列；（2）求数列 na的通项公式；（3）令
6、 12,.ncTcc.是否存在最小的正整数 m，使得对于 nN都有4nTm恒成立？若存在，求出 m的值；若不存在，请说明理由.20. 已知函数 2lnfxaxR. （1）当 3a时，求函数 f的单调区间；（2）若函数 fx有两个极值点 12,x，且 10,，证明 123ln4fxf.天津市南开中学 2017 届高三第五次月考数学（文）试题参考答案一、选择题1-4:DBAB 5-8: DDCA 二、填空题9.1, 10. 10 11. 1N 12.316 13. 72 14. ,e 三、解答题15. 解：(1) 3sin2cos2infxxx,T,由 26kxk，得 6kkZ，故 f的单调增区间
7、为 ,63kZ.(2) 22,sin2,66Af AA ,又 0A，3， cos7,aba.16. 解：设生产书桌 x张，书橱 y个，利润总额为 z元.则0.12906,8120xyzxy，可行域如图.由图可知：当直线 2310z经过可行域上的点 M时，截距 120最大，即 z最大，解方程组926xy得 M的坐标为 ,4， max881204560zy（元）.因此，生产书桌 10张，书橱 0个，可使所得利润最大，最大利润为 56元.17. 解：(1)依题设条件，在 RtDAC中，由 A，易知 45DC，同理可得1145,90ADC，从而可得 1.又依题设 11,B平面 BCD，于是有 B.(2
8、)如图，取 1AB的中点 E，连接 1C.由 AB知 11C，从而有等腰三角形三线合一定理，即知 CE，又平面 1平面 1，则 E平面 AB.从而有 1CED，而已知1D，连结 ，由可知 D，则 即是二面角 1的平面角,设 Aa，则 2a；由（1）知有 1BC，又 1C，故 平面 1，于是 B，求得 12CE.在 1RtEH中， 111sin,26EDH，即二面角 11ADC的大小为 6.18. 解：(1)设 2cab，则 2234,2ceacbBF的周长为2121288ABFAFBF,3,1ac.故椭圆 E的方程为243xy.(2)由对称性可知设 00,Pxy与 ,0Mx，由 2143ykx
9、m，得2243841kxkm，则 .m，得 20k，此时002 3,ykx，即 ,P，又 4,Qm，若存在定点 M满足条件，则当 PQ平行 x轴时，圆也过定点 M，此时得 0,3或 ,3，由图形对称性知两圆在 x轴过相同的交点，点 M必在 x轴上.设 1,0x，则 0MPQ对 式的 ,mk恒成立.易得211443kxm，得 ，故存在定点 1,，使得以 PQ为直径的圆恒过点 M.参考： 2 0233 44xy xxyky，直线 2 00013: ,4xlyQy，0000313xMPQxx，对 02,x恒成立 1x，得 ,M.19. 解：(1)在 2nnSa中，令 1，可得 112Sa，即 2a.
10、当 n时，21 11, nn nnnSSa ，11n，即1 12,nnnnabab，即当 2时， 1nb. 又 12ba，所以数列b是首项和公差均为 的等差数列. (2)于是 2,nn n.（3）由（2）得 11nnca，所以 23111234.2nnT，23411.2nT，由（1）-(2)得23 11.2nnn 1113422nnn73,32,nnnTTm，故 的最小值是 4.20. 解： 1120xafx.(1)当 3a时， 3fx，令 fx，有 12或 x，当 102x或 时，0fx；当 12x时， 0fx.所以 fx的单调递增区间为 10,2和 ,，单调递减区间为 ,.(2)由于 fx有两个极值点 12,x，则 210ax有两个不相等的实根，所以 1212,axx，即 1221,a， 221211lnlnffxa2112121 11lnll04xxax x，设21lln04Fx，则 233 02Fxx，x在 0,上单调递减，所以 31ln4x，即 12ln4ff .
