1、1 2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算 学习目标 1.理解平行向量基本定理，能熟练运用该定理处理向量共线和三点共线问题.2. 理解轴上向量坐标的含义及运算.3.能运用轴上向量的坐标及长度公式进行相关的计算. 知识点一 平行向量基本定理 思考 若b与非零向量a共线，是否存在满足ba？若b与向量a共线呢？梳理 (1)平行向量基本定理：如果ab，则_；反之，如果ab，且_， 则一定存在唯一一个实数，使ab. (2)a的单位向量：给定一个非零向量a，与a_且_的向量，叫做向量a的 单位向量，记作a 0 .由数乘向量的定义可知，a_或a 0 _. 知识点二 轴上向量的坐标及其运算 思考1 轴与
2、数轴有何区别与联系？思考2 实数与数轴上的向量建立了什么关系？思考3 与AB有何区别？ AB 梳理 (1)轴上向量的坐标2 名称 定义 轴 规定了_和_单位的直线叫做轴 轴的基向量 取_向量，使其方向与轴_，则该单位向量为轴的基向量 a在轴l上 的坐标 如果_，则x叫做向量a在轴l上的坐标(或数量) (2)轴上向量的坐标运算 法则 (或公式) 文字语言 符号语言 轴上两个向量相等的法则 轴上两个向量相等的条件是 它们的_ 设ax 1 e，bx 2 e， 则abx 1 x 2 轴上求两个向量的和的法则 轴上两个向量和的坐标等于 两个向量的_ 设ax 1 e，bx 2 e， 则ab(x 1 x 2
3、 )e 轴上向量的坐标公式 轴上向量的坐标等于向量 _的坐标减去 _的坐标 ABx 2 x 1 ， |AB|x 2 x 1 | 类型一 轴上向量的坐标运算 例1 已知A、B、C为数轴上三点，且x A 2，x B 6，试求符合下列条件的点C的坐标. (1)AC10；(2)| |10；(3)| |3| |. AC AC BC 反思与感悟 轴上向量的坐标及长度计算的方法 (1)轴上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标；(2)轴 上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度. 跟踪训练1 已知数轴上A、B两点的坐标x 1 、x 2 ，根据下列各题中的已知条件
4、，求点A的3 坐标x 1 . (1)x 2 3，AB5；(2)x 2 5，|AB|2.类型二 向量共线的判定及应用 命题角度1 判定向量共线或三点共线 例2 已知非零向量e 1 ，e 2 不共线. (1)若a e 1 e 2 ，b3e 1 2e 2 ，判断向量a，b是否共线. 1 2 1 3(2)若 e 1 e 2 ， 2e 1 8e 2 ， 3(e 1 e 2 )，求证：A、B、D三点共线. AB BC CD 反思与感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表 示，从而判断共线. (2)利用平行向量基本定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化
5、为证 明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用ba(a0)，还要说明向4 量a，b 有公共点. 跟踪训练2 已知非零向量e 1 ，e 2 不共线，如果 e 1 2e 2 ， 5e 1 6e 2 ， 7e 1 2e 2 ，则共线的三个点是_. AB BC CD 命题角度2 利用向量共线求参数值 例3 已知非零向量e 1 ，e 2 不共线，欲使ke 1 e 2 和e 1 ke 2 共线，试确定k的值.反思与感悟 利用平行向量基本定理，即b与a(a0)共线ba，既可以证明点共线或 线共线问题，也可以根据共线求参数的值. 跟踪训练3 已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若 x y
6、 ，则 OP OA OB xy_. 1.已知数轴上两点A，B的坐标分别是4，1，则AB与| |分别是( ) AB A.3,3 B.3,3 C.3，3 D.6,6 2.数轴上三点A，B，C的坐标分别为1,2,5，则( ) A.AB3 B.BC3 C. 6 D. 3 AC AB 3.设e 1 ，e 2 是两个不共线的向量，若向量me 1 ke 2(kR)与向量ne 2 2e 1 共线，则 ( ) A.k0 B.k1 C.k2 D.k 1 2 4.已知ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且 ，则( ) PA PB PC AB A.P在ABC内部 B.P在ABC外部 C.P在AB边上或其延长线上
7、 D.P在AC边上5 5.已知e 1 ，e 2 是不共线的向量，a3e 1 4e 2 ，b6e 1 8e 2 ，则a与b是否共线？1.平行向量基本定理是证明三点共线的重要工具.即三点共线问题通常转化为向量共线问题. 2.轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.6 答案精析 问题导学 知识点一 思考 若b与非零向量a共线，存在满足ba；若b与向量a共线，当a0，b0 时，不存在满足ba. 梳理 (1)ab b0 (2)同方向 长度等于1 |a|a 0a |a| 知识点二 思考1 规定了方向和长度单位的直线叫做轴，而数轴是规定了坐标原点的轴 思考2 数轴上的实数与轴上的向量建立起一一对应的
8、关系，可以用数值表示向量 思考3 是一个向量，既有大小，也有方向，而AB表示 的坐标，它是一个实数 AB AB 梳理 (1)方向 长度 单位 同方向 axe (2)坐标相等 坐标的和 终点 始点 题型探究 例1 解 (1)AC10，x C x A 10，x C x A 108. (2)| |10，AC10或AC10， AC 当AC10时，x C x A 10，x C x A 108； 当AC10时，x C x A 10，x C x A 1012. (3)| |3| |， 3 或 3 . AC BC AC BC AC BC 当 3 时，x C x A 3(x C x B )， AC BC x C
9、 (3x B x A )10； 1 2 当 3 时，x C x A 3(x C x B )， AC BC x C (3x B x A )4. 1 4 跟踪训练1 解 (1)ABx 2 x 1 5，x 1 x 2 52. (2)|AB|x 2 x 1 |2， x 2 x 1 2或2. x 1 x 2 (2)3或x 1 x 2 27. 例2 (1)解 b6a，a与b共线7 (2)证明 e 1 e 2 ， 2e 1 8e 2 3e 1 3e 2 5(e 1 e 2 )5 ， AB BD BC CD AB ， 共线，且有公共点B， AB BD A、B、D三点共线 跟踪训练2 A，B，D 例3 解 ke 1 e 2 与e 1 ke 2 共线， 存在实数，使ke 1 e 2 (e 1 ke 2 )， 则(k)e 1 (k1)e 2 . 又e 1 与 e 2 不共线，Error! k1. 跟踪训练3 1 当堂训练 1B 2.B 3.D 4.D 5解 若a与b共线，则存在R， 使ab，即3e 1 4e 2 (6e 1 8e 2 )， 所以(36)e 1 (48)e 2 0. 因为e 1 与e 2 不共线，所以Error! 所以 不存在，所以a与b不共线
