1、1 3.1 正整数指数函数 核心必知 1定义 一般地，函数 ya x (a0，a1，xN )叫作正整数指数 函数其中x是自变量(x在指数位置上)， 底数a是常数 2图像特征 正整数指数函数的图像是位于第一象限， 且在x轴的上方的一群孤立的点 问题思考 1正整数指数函数的解析式的结构有 何特征？ 提示：有三个特征：底数a为常数；指 数为自变量x；系数为1. 2正整数指数函数ya x (a0，且 a1)的单调性与底数a的大小有何关系？ 提示：当0a1时，ya x 是减少的， 当a1时，ya x 是增加的 讲一讲 1若函数y(a 2 3a3)(2a1) x 是正整数指数函数，则实数a的值是 _ 尝试
2、解答 由正整数指数函数的定义 可知： Error! 即Error! a2. 答案：2 正整数指数函数是一个形式定义，处理 有关正整数指数函数概念的问题只要抓住它 的三个特征确认与应用即可2 练一练 1若函数f(x) (a 2 4a4)a x (xN )为正整数指数函 数，则f(4)_. 解析：由正整数指数函数的定义可知： Error! 即Error!a3.f(x)3 x ，故f(4)3 4 81. 答案：81 讲一讲 2画出函数：(1)y x ，(2) ( 5 4 ) y x (xN )的图像，并说明函数的单调 ( 3 4 ) 性 尝试解答 在同一坐标系中分别画出函数y x ( 5 4 ) 和
3、y x (xN )图像如图所示 ( 3 4 ) 由图像知：函数y x (xN )是增加 ( 5 4 ) 的；而y x (xN )是减少的 ( 3 4 ) (1)正整数指数函数的图像特点：正整 数指数函数是函数的一个特例，它的定义域 是由一些正整数组成的集合，它的图像是由 一些孤立的点组成的 (2)当0a1时，ya x (xN )是减 函数当a1时，ya x (xN )是增函 数 练一练 2画出函数(1)y2 x (xN )，(2)y x (xN )的图像，并说明它们的单调性 ( 1 4 ) 解：(1)函数y2 x (xN )的图像如图 (1)所示，由图像可知，该函数是增加的； (2)函数y x
4、 (xN )的图像如图(2) ( 1 4 ) 所示，由图像可知，该函数是减少的讲一讲 3某种放射性物质不断变化为其他物3 质，每经过1年，剩留的这种物质是原来的 84%. (1)写出这种物质的剩留量y随时间 x(xN )变化的函数关系式； (2)画出该函数的图像； (3)说明该函数的单调性； (4)利用图像求出经过多少年，剩留量 是原来的一半 尝试解答 (1)设这种物质最初的质 量是1，经过x年，剩留量是y. 经过1年，剩留量y184%0.84 1 ； 经过2年，剩留量 y184%84%0.84 2 ； 一般地，经过x年，剩留量y随时间x 变化的函数关系式为y0.84 x (xN ) (2)根
5、据这个函数关系式可以列表如下： x 0 1 2 3 4 5 6 y 1 0.8 4 0.7 1 0.5 9 0.5 0 0.4 2 0.3 5 用描点法画出正整数指数函数 y0.84 x 的图像(如图)，它的图像是由一些 孤立的点组成的 (3)通过计算和看图可知，随着时间的 增加，剩留量在逐渐减少，即该函数为减函 数 (4)从图像可以看出，当x4时， y0.5，即约经过4年，剩留量是原来的一 半 实际问题中与“递增率” 、 “递减率”有 关的问题，多抽象为正整数指数函数型函数 yN(1p%) x ，xN (其中N为原产值，增 长(减少)率为p，x为经过的时间) 练一练 3有关部门计划于2016
6、年向某市投入 128辆电力型公交车，且随后电力型公交车 每年的投入量比上一年增加50%，试问，该 市在2022年应投入多少辆电力型公交车？ 解：由题意知，在2017年应投入电力 型公交车的数量为128(150%)； 在2018年应投入的数量为 128(150%)(150%)128(150%) 2 ； 故在2022年应投入电力型公交车的数 量为128(150%) 6 ，即128 6 1 ( 3 2 ) 458(辆) 答：该市在2022年应投入1 458辆电 力型公交车 用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的 ，若要使存留污垢不超过原来的1%，则至 3 4 少要漂洗_次 巧思 先根据题意写出存留污垢与
7、漂 洗次数的函数关系式，再用估算法求解4 妙解 函数关系式为 y x (xN ) ( 1 4 ) 令 x 1%，得4 x 100. ( 1 4 ) 4 3 64100,4 4 256100， 当x4时，4 x 100， 故至少要漂洗4次 答案 41给出下列函数： y( ) x ；y x ；y3 x1 ；y(1 ) x .当xN 时，以上函数中是正整 2 ( 1 4 ) 2 数指数函数的个数为( )A1 B2 C3 D4 答案：B 2函数f(x)3 x 2中，xN 且x1,3，则f(x)的值域为( ) A1,1,7 B1,7,25 C1,1,7,25 D. 5 3 ，1，1，7，25 解析：选B
8、 ，xN 且x 1,3 ，x ， 1，2，3 3 x ， 3，9，27 f(x) . 1，7，25 3某产品计划每年成本降低的百分率为p，若三年后成本为a元，则现在的成本为( ) Aap 3 元 Ba(1p) 3 元 C. 元 D. 元 a (1p)3 a (1p)3 解析：选C 假设现在的成本为y元，则y(1p) 3 a， y . a (1p)3 4已知f(x)a x (a0且a1，xN )的图像过点(5,32)，则f(8)_. 解析：由题意得a 5 32，a2，f(x)2 x ， f(8)2 8 256. 答案：256 5光线通过一块玻璃板时，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，
9、设光线 原来的强度为a，通过x块玻璃板后的强度为y，则y关于x的函数关系式为_解析：光线通过第1块玻璃板后的强度为a(110%)， 通过第2块玻璃板后的强度为a(110%) 2 ， 依次类推，通过第x块玻璃板的强度为 ya(110%) x a0.9 x (xN ) 答案：ya0.9 x (xN ) 6一种机器的年产量原为1万台，在今后10年内，计划使年产量平均比上一年增加 10%， (1)试写出年产量y随年数x变化的关系式，并写出其定义域； (2)画出其函数图像 解：(1)y(110%) x 1.1 x ， y与x的关系式是y1.1 x ， 其定义域是x|x10，xN (2)如图所示： 一、选
10、择题 1下列函数中一定是正整数指数函数的是( ) Ay2 x1 ，xN Byx 5 ，xN Cy3 x ，xN Dy32 x ，xN 解析：选C 根据正整数指数函数的定义知y3 x x ，xN 符合要求 ( 1 3 ) 2函数y x (xN )的图像是( ) ( 7 3 ) A一条上升的曲线 B一条下降的曲线 C一系列上升的点 D一系列下降的点解析：选C 1且xN ，故图像是一系列上升的点 7 3 3某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂1次(1个分裂成2个)，经过3小时，这 种细菌由1个可以繁殖成( ) A511个 B512个 C1 023个 D1 024个 解析：选B 由题意知，经过x次分裂
11、后，这种细菌分裂成y2 x (个)，易知分裂9次， 即x9时，y2 9 512(个) 4某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价 格比较，变化情况是( ) A增加7.84% B减少7.84% C减少9.5% D不增不减 解析：选B 设原来价格为a，依题意四年后的价格为 a(120%) 2 (120%) 2 a(10.04) 2 ， aa(10.04) 2 a1(10.04) 2 a(110.080.001 6) a7.84%. 二、填空题 5已知函数ya x (a0，a1，xN )在1,3上的最大值为8，则a的值是 _ 解析：由题意知a1，且a 3 8，解得
12、a2. 答案：2 6比较下列数值的大小： (1)( ) 3 _( ) 5 ； 2 2 (2) 2 _ 4 . ( 2 3 ) ( 2 3 ) 解析：由正整数指数函数的单调性知，( ) 3 ( ) 5 ， 2 2 2 4 . ( 2 3 ) ( 2 3 ) 答案：(1) (2) 7预测人口的变化趋势有多种方法，最常用的是“直接推算法” ，使用的公式是 P n P 0 (1K) n (K为常数)，其中P n为预测期内n年后的人口数，P 0 为初期人口数，K为预 测期内的年增长率，若1K0，则在这期间人口数_(填呈上升趋势或是下降趋 势) 解析：P n P 0 (1K) n 是指数型函数，1K0，0
13、1K1，由ya x (0a1)是N 上的减函数可知，人口呈下降趋势 答案：呈下降趋势 8一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留物质的质量约是原来的 ， 4 5 则经过_年，剩留的物质是原来的 . 64 125 解析：设物质最初的质量为1，则经过x年，y x . ( 4 5 ) 依题意得 x ，解得x3. ( 4 5 ) 64 125 答案：3 三、解答题 9已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27) (1)求函数f(x)的解析式； (2)求f(5)； (3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，请说明原因 解：设正整数指数函数为f(x)a x (a0且a1，xN ) 函
14、数f(x)的图像经过点(3,27)， f(3)27，即a 3 27. a3. (1)函数f(x)的解析式为f(x)3 x (xN ) (2)f(5)3 5 243. (3)正整数指数函数f(x)3 x (xN )在正整数集N 上是增加的，故函数无最大值， 有最小值为f(1)3. 10某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)， 研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数， 记作yf(t) (1)写出函数yf(t)的定义域和值域； (2)在坐标系中画出yf(t)(0t6)的图像； (3)写出研究进行到n小时(n 0，nZ)时，细菌的总个数(用关于n的式子表示) 解：(1)yf(t)的定义域为t|t0，值域为y|y2 t ，tN (2)0t6时，为一分段函数， yError! 图像如图所示 (3)n为偶数时，y2 1；n为奇数时，y2 1. n 2 n1 2 yError!
