1、2016-2017 学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知全集 U=R，集合 A=x|x1，B=x |x20，则（ UA）B）=（ ）Ax |x2 Bx|1x2 Cx|1x 2 Dx|x 22复数 =（ ）A2 i B22i C1+i D1 i3已知非零实数 a，b 满足 ab ，则下列不等式中一定成立的是（ ）Aa +b0 B Cab b 2 Da 3b304已知平面向量 =（1， 0） ， =（ ， ） ，则 与 + 的夹角为（ ）A B C D5若 a0 ，且 a1
2、 ，则“函数 y=ax 在 R 上是减函数”是“函数 y=（2a）x 3 在 R 上是增函数”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6已知双曲线 （a0，b0）的左、右焦点分别是 F1，F 2，M 是双曲线上的一点，且|MF 1|= ，|MF 2|=1，MF 1F2=30，则该双曲线的离心率是（ ）A B C D 或7某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（ ）A B C D8某校高三（1）班 32 名学生参加跳远和掷实心球两项测试跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为 26 人和 23 人，这两项成绩均不合格的
3、有 3 人，则这两项成绩均合格的人数是（ ）A23 B20 C21 D19二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上.9已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn若 a1=2，S 2=a3，则 a2= ，S 10= 10圆 C：x 2+y2+2x2y2=0 的圆心到直线 3x+4y+14=0 的距离是 11执行如图所示的程序框图，则输出 S 的结果为 12在ABC 中，已知 ，则 C= 13设 D 为不等式组 表示的平面区域，对于区域 D 内除原点外的任一点 A（x ，y） ，则 2x+y 的最大值是 ， 的取值范围是 14甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其
4、中只有一位获奖有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖 ”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说： “丁获奖”；丁说：“丙说的不对”若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15已知函数 f（x ）=2 sinxcosx+2cos2x1（）求 f（x）的最小正周期；（）求 f（x）在区间 ， 上的最大值和最小值16已知等比数列a n的各项均为正数，且 a2=4，a 3+a4=24（）求数列a n的通项公式；（）若数列b n满足 b1=3，b 2=6，且b nan是等差数列，求数列b n的前 n 项和17甲乙两
5、位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了 5 次预赛成绩记录如下：甲 82 82 79 95 87乙 95 75 80 90 85（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率：（3）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由18如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 ABCD平面ABEF，AF BE ，AB BE， AB=BE=2，AF=1（）求证：AC平面 BDE；（）求证：AC平面 DEF；（）求三棱锥 CDEF 的体积19在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 与两定点 A（2
6、，0） ，B （2，0）连线的斜率乘积为，记点 P 的轨迹为曲线 C（）求曲线 C 的方程；（）若曲线 C 上的两点 M，N 满足 OMPA，ONPB ，求证：OMN 的面积为定值20设函数 f（x ）=（x1）e x+ax2，a R（）当 a=1 时，求曲线 y=f（x）在点（1，f （1） ）处的切线方程；（）若函数 f（x）有两个零点，试求 a 的取值范围；（ III）设函数 g（x）=lnx+x ex+1，当 a=0 时，证明 f（x）g（x）02016-2017 学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40
7、分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知全集 U=R，集合 A=x|x1，B=x |x20，则（ UA）B）=（ ）Ax |x2 Bx|1x2 Cx|1x 2 Dx|x 2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：全集 U=R，集合 A=x|x1，B=x|x20= x|x2， UA=x|x1，则（ UA）B= x|1x2 ，故选：C2复数 =（ ）A2 i B22i C1+i D1 i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解： = =1i，故选：D3已知非零实数 a，b 满足 ab ，则下列不等式中一定成
8、立的是（ ）Aa +b0 B Cab b 2 Da 3b30【考点】不等式的基本性质【分析】根据不等式的性质求解即可【解答】解：对于 A：ab ，则 ab0，b a0，A 不对对于 B：ab，当 a0b，则 ，B 不对对于 C：a b，当 ab0，则 abb 2，C 不对对于 D：ab，则 a3b 3，即 a3b30，D 对故选 D4已知平面向量 =（1， 0） ， =（ ， ） ，则 与 + 的夹角为（ ）A B C D【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用两个向量的数量积的定义，两个向量坐标形式的运算法则，求得 cos=的值，可得 的值【解答】解：向量 =（ 1，0） ， =（ ， ）
9、， + =（ ， ） ， （ + ）=（1，0）（ ， ） = ，设 与 + 的夹角为 ，则由 cos= = = ，可得 = ，故选：B5若 a0 ，且 a1 ，则“函数 y=ax 在 R 上是减函数”是“函数 y=（2a）x 3 在 R 上是增函数”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据函数单调性之间的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若函数 y=ax 在 R 上是减函数，则 0a 1，此时 2a0，则函数 y=（2a）x 3 在R 上是增函数成立，即充分性成立，若函数
10、y=（2a）x 3 在 R 上是增函数，则 2a0，即 0a 2，则函数 y=ax 在 R 上不一定是减函数，即必要性不成立，即“函数 y=ax 在 R 上是减函数 ”是“函数 y=（2a）x 3 在 R 上是增函数”的充分不必要条件，故选：A6已知双曲线 （a0，b0）的左、右焦点分别是 F1，F 2，M 是双曲线上的一点，且|MF 1|= ，|MF 2|=1，MF 1F2=30，则该双曲线的离心率是（ ）A B C D 或【考点】双曲线的简单性质【分析】利用正弦定理计算MF 2F1=60或 120，分类求出 c 的值，利用双曲线的定义计算a，即可求得双曲线的离心率【解答】解：M 是双曲线上
11、的一点， |MF1|= ，|MF 2|=1，MF 1F2=30，由正弦定理可得， = ，即 = ，解得 sinMF 2F1= ，MF 2F1=60或 120，当MF 2F1=60时，MF 2F1 为直角三角形，此时 2c=|F2F1|=2即 c=1，2a=|MF 1|MF2|= 1，即 a=e= = +1，当MF 2F1=120时，MF 2F1 为直角三角形，此时 2c=|F2F1|=|MF1|=1即 c= ，2a=|MF 1|MF2|= 1，即 a= ，e= = = ，故选：D7某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（ ）A B C D【考点】棱柱、棱锥、棱台
12、的体积；由三视图求面积、体积【分析】由已知中的某四棱锥的三视图，画出几何体的直观图，代入棱锥体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的某四棱锥的三视图，可得：该几何体的直观图如下图所示：其底面面积为：S=2 = ，高 h= ，故体积 V= = ，故选：C8某校高三（1）班 32 名学生参加跳远和掷实心球两项测试跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为 26 人和 23 人，这两项成绩均不合格的有 3 人，则这两项成绩均合格的人数是（ ）A23 B20 C21 D19【考点】Venn 图表达集合的关系及运算【分析】设这两项成绩均合格的人数为 x，根据集合关系建立方程进行求解即可【解答】解：设这两
13、项成绩均合格的人数为 x，则跳远合格掷实心球不合格的人数为 26x，则 26x+23+3=32，得 x=20，即这两项成绩均合格的人数是 20 人，故选：B二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上.9已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn若 a1=2，S 2=a3，则 a2= 4 ，S 10= 110 【考点】等差数列的前 n 项和【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，a 1=2，S 2=a3，2a 1+d=a1+2d，即 2=d，a 2=2+2=4S10=10 2=110故答案为：4，11010圆
14、C：x 2+y2+2x2y2=0 的圆心到直线 3x+4y+14=0 的距离是 3 【考点】圆的一般方程；点到直线的距离公式【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心的坐标，利用点到直线的距离公式即可求出圆心到已知直线的距离【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1） 2+（y 1） 2=4，可得圆心坐标为（1，1） ，则圆心到直线 3x+4y+14=0 的距离 d= =3故答案为：311执行如图所示的程序框图，则输出 S 的结果为 30 【考点】程序框图【分析】根据程序框图进行模拟计算即可得到结论【解答】解：第一次，i=1，满足条件，i6，i=1 +2=3，S=6，第二次，i=3，满足条件，i6，i=3 +2=5，S=6+10=16，第三次，i=5，满足条件，i6，i=5 +2=7，S=16+14=30，第四次，i=7，不满足条件 i6，程序终止，输出 S=30，故答案为：3012在ABC 中，已知 ，则 C= 105 【考点】正弦定理【分析】由正弦定理可得角 A，再运用三角形的内角和定理，计算即可得到 C【解答】解：由题意：已知 ，即 b= a由正弦定理 = ，则有 sinA= ，0 A135A=30则 C=1803045=105故答案为：10513设 D 为不等式组 表示的平面区域，对于区域 D 内除原点外的任一点 A（x ，y） ，
