1、1 第一章 相似三角形定理与圆幂定理 对应学生用书P32 对应学生用书P32 证明四点共圆问题 证明点共圆的方法有以下几种： (1)利用到一定点的距离相等的各点在一个圆上；2 (2)利用同斜边的几个直角三角形的各直角的顶点在一个圆上； (3)如图，只要具备以下条件之一者，A、B、C、D四点共圆： BACBDC； BADBCD180； FADBCD； AECEBEDE； AFBFCFDF. 例1 已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点B的圆与AD、BC分别交于 E、F， 求证：C、D、E、F四点共圆 证明 连接EF， 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以BC180. 因为四边形ABFE内接
2、于圆， 所以BAEF180. 所以AEFC. 所以C、D、E、F四点共圆 例2 已知：如图，四边形ABCD中，12. 求证：A、B、C、D四点共圆 证明 由A、B、D三点可以确定一个圆，设该圆为O. (1)如果点C在O的外部(如图) 与圆相交于点E， 1AEB，12， 2AEB. 而AEB2，矛盾， 故点C不可能在圆外 (2)如果点C在O的内部(如图) 延长BC与圆相交于点E，连接AE.3 则1AEB，而12， 2AEB，与2AEB矛盾， 点C不可能在圆内， 点C只能在圆上. 证明线段等积式常用的方法 证明命题的一般步骤： (1)弄清题意，辨明题设和结论； (2)用分析法探明证题思路和方法；
3、(3)若已知条件不足，可添设适当辅助线以暴露隐含的已知条件； (4)用综合法有条理地写出证明过程； (5)检查证明过程的合理性 1利用相似三角形 例3 如图，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D 两点，连结DB并延长交O于点E.证明： (1)ACBDADAB； (2)ACAE. 证明 (1)由AC与O相切于A， 得CABADB， 同理ACBDAB， 所以ACBDAB.从而 ， AC AD AB BD 即ACBDADAB. (2)由AD与O相切于A，得AEDBAD， 又ADEBDA，得 EADABD.从而 ， AE AB AD BD 即AEBDADAB.4 结合(1)的结论
4、，得ACAE. 2利用三角形内(外)角平分线的性质 例4 已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于 A点，DC是ACB的平分线交AE于点F，交AB于D点 (1)求ADF的度数； (2)若ABAC，求ACBC. 解 (1)AC为圆O的切线， BEAC. 又DC是ACB的平分线， ACDDCB. BDCBEACACD， 即ADFAFD， 又因为BE为圆O的直径， DAE90， ADF (180DAE)45. 1 2 (2)BEAC，ACBACB， ACEBCA， . AC BC AE AB 又ABAC，BACB30. 在RtABE中， tanBtan 30 . AC BC AE AB 3 3
5、 3利用面积关系 例5 RtABC中，O是斜边BC上一点，以O为圆心的半圆与两直角边相切于 M、N，如果两直角边分别为a、b，半圆的半径为r. 求证： . 1 r 1 a 1 b 证明 连接AO、OM、ON. AB、AC与半圆相切于M、N， OMAB，ONAC. 又设ABa，ACb， 半圆的半径为r，5 S ABC ab. 1 2 又S ABC S AOB S AOC ar br r(ab) 1 2 1 2 1 2 abr(ab)则 . 1 r 1 a 1 b 4利用射影定理 例6 如图，AB是O直径，过A作切线，过B作割线交O于E，交切线于F，过 B再作割线交O于C，交切线于D. 求证：BE
6、BFBCBD. 证明 连接AE、AC. AD是切线， BAAD. AB是直径， AEBF，ACBD. AB 2 BEBF， AB 2 BCBD. BEBFBCBD. 5利用相交弦定理及切割线定理 例7 如图所示，两圆内切于点T，大圆的弦AB切小圆于点 C，TA、TB与小圆分别相交于点E、F，FE的延长线交两圆的公切线 TP于点P. 求证：(1) A CE A CF ； (2)ACPFBCPT. 证明 (1)设小圆的圆心为点O， 连接OC. AB切小圆于点C， OCAB.6 132， EFAB，OCEF， A CE A CF . (2)EFAB， . AE BF AT BT TE TF AB切小
7、圆于点C， AC 2 AEAT，BC 2 BFBT. ， . AC2 BC2 AEAT BFBT TE2 TF2 AC BC TE TF PT是公切线，PTF90， TF是O的直径，TEPF，PTFTEF， ， ，ACPFBCPT. PT PF TE TF AC BC PT PF 平行截割定理的应用 构造出平行关系或作恰当的辅助线是解此类问题的关键，利用成比例或一些特殊的图 形形状是常用的构造平行关系的方法 例8 如图，已知梯形ABCD中，ADBC，BD、AC交于O点，过 O的直线分别交AB、CD于E、F，EFBC，AD12 cm，BC20 cm， .求EF的长 OD OB AD BC 解 A
8、DBC，EFBC， EFAD. ，AD12 cm，BC20 cm， OD OB AD BC ， . OD OB 12 20 3 5 OB BD 5 8 . OE AD OB BD 5 8 OE AD 12 (cm) 5 8 5 8 15 2 同理：OF BC 20 (cm) 3 8 3 8 15 27 EFOEOF15(cm) 例9 已知：在ABC中，点D在BC边上，过点C任作一直线与边AB及AD分别交 于点F，E. (1)如图(1)，当 时，求证： ； BD DC 1 2 AE ED 3AF 2FB (2)如图(2)，当 时，猜想： 与 之间是否存在着一定的数量关系？若存在，请 BD DC
9、m n AE ED AF FB 写出它们之间的关系式，并给出证明过程；若不存在，请说明理由 解 (1)证明：过点D作DGCF交AB于G点， . AE ED AF FG 又 ，DC2BD BC. BD DC 1 2 2 3 DGFC， . FG BF DC BC 2 3 FG BF， . 2 3 AE ED AF 2 3 BF 3AF 2BF (2)当 时，有关等式： . BD DC m n AE ED mn n AF FB 证明：过D作DGCF交AB于G点 . AE ED AF FG 又 ， . BD DC m n BC DC mn n DGFC， . BF FG BC DC mn n FG
10、BF. n mn . AE ED AF n mn BF mn n AF BF8 对应学生用书P35 一、选择题 1.如图，ACB90，CDAB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则( ) ACECBADDB BCECBADAB CADABCD 2 DCEEBCD 2 解析：在RtABC中，ACB90，CDAB， CD 2 ADDB. 又CD是圆的切线，故CD 2 CECB. CECBADDB. 答案：A 2.如图，直线PB、PD分别交O于A，B和 C，D，PA4，AB2，CD5，那么线段PC的长是( ) A3 B. 6 5 C10 D1 解析：PA4，AB2， PB6，设PCx，x(x5)
11、46. x 2 5x240. x 1 3，x 2 8(舍去)，即PC3. 答案：A 3如图所示，ABC内接于圆O，过点A的切线交BC的延长线 于点P，D为AB的中点，DP交AC于点M，若 BP8，AM4，AC6，则PA( ) A4 B3 2 2 C. D5 2 29 解析：由题意MCACAM642. 又D为AB的中点，ADBD. 过点C作CNAB交PD于N， ， AM MC AD CN BD CN BP CP ，PC4. 8 PC 4 2 PA 2 PCPB32， PA4 . 2 答案：A 4如图，两个等圆O和O外切，过O作O的两条切 线OA，OB，A，B是切点，则AOB等于( ) A90 B
12、60 C45 D30 解析：连接OO，OA. OA为O的切线，OAO90. 又O与O为等圆且外切， OO2OA. sinAOO ，AOO30. AO OO 1 2 又由切线长定理知AOB2AOO60. 答案：B 二、填空题 5如图，EB、EC是O的两条切线，B、C是切点，A、D是O上两点，如果 E46，DCF32，则A的大小为_ 解析：因为ECEB， 所以EBCECB67， 又DCF32，所以BCD180673281.10 所以A180BCD99. 答案：99 6如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为 E，EFDB，垂足为F，若AB6，AE1，则 DFDB_. 解析：由相交弦定理可知 E
13、D 2 AEEB155， 又易知EBD与FED相似，得DFDBED 2 5. 答案：5 7.如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足 ABC30，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则 PA_. 解析：连接OA. OP为O的切线， OAAP. 又ABC30，AOC60. 在RtAOP中，OA1，PAOAtan 60 . 3 答案： 3 8.如图，PA、PB分别切O于A、B两点，在劣弧 A AB 上任取一点 C，过C作O的切线分别交PA、PB于D、E两点 (1)若PA5，则PDE的周长为_； (2)若APB50，则DOE_. 解析：(1)由切线长定理知， DCDA，ECEB，P
14、APB， PDE周长为PDPEDEPDDCPECEPDDAPEEBPAPB2PA10. (2)连接OC， 因为DA，DC与圆O相切， 所以AODCOD. 同理，COEBOE. DOE AOB 1 211 (180APB) 1 2 65. 答案：10 65 三、解答题 9如图，AB是O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点 F.求证： (1)AEDAFD； (2)AB 2 BEBDAEAC. 证明：(1)连接AD. 因为AB为圆的直径，所以ADB90. 又EFAB，EFA90， 则A、D、E、F四点共圆， DEADFA. (2)由(1)知，BDBEBABF. 连接BC，
15、显然ABCAEF， ，即ABAFAEAC， AB AE AC AF BEBDAEACBABFABAF AB(BFAF)AB 2 . 10如图，已知在O中，P是弦AB的中点，过点P作半径OA的垂线分别交O于 C，D两点，垂足是点E. 求证：PCPDAEAO.12 证明：连接OP，P为AB的中点， OPAB，APPB. PEOA， AP 2 AEAO. PDPCPAPBAP 2 ， PDPCAEAO. 11.如图，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两 点，若CFAB，证明： (1)CDBC； (2)BCDGBD. 证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所
16、以DEBC. 又已知CFAB， 故四边形BCFD是平行四边形， 所以CFBDAD. 而CFAD，连接AF， 所以四边形ADCF是平行四边形，故CDAF. 因为CFAB，所以BCAF，故CDBC. (2)因为FGBC，故GBCF. 由(1)可知BDCF，所以GBBD， 所以BGDBDG. 由BCCD知CBDCDB， 又因为DGBEFCDBC， 所以BCDGBD. 对应学生用书P45 (时间90分钟，总分120分) 一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，13 只有一项是符合题目要求的) 1如图，AB与圆O相切于点B，过点A作圆O的割线交圆O于C，D两点， B
17、CAD，AB2AC2，则圆O的直径等于( ) A. B2 3 3 C3 D4 3 解析：由切割线定理知AB 2 ACAD，即2 2 1AD，解得AD4，所以 CDADAC3，连接BD，因为BCAD，所以BD为圆O的直径，又因为 BC 2 AB 2 AC 2 3，所以BD 2 . CD2BC2 323 3 答案：B 2在O的直径CB的延长线上取一点A，AP与O相切于点P上APB30，AP ，则CP等于( ) 3 A. B 3 2 3 C. 1 D 1 2 3 2 3 解析：连接CP，BP， 则PCB30， CPB90. 于是PBC60， PBA120， A30PCB， CPPA . 3 答案：A
18、 3点P为O的弦AB上一点，且AP9，PB4，连接PO，作PCOP交圆于点C，则 PC等于( ) A4 B6 C8 D9 解析：延长CP交O于点D，则OP垂直平分弦CD， 且CPPDAPPB36 PC 2 36，PC6.14 答案：B 4如图，已知O是ABC的外接圆，I是ABC的内切圆， A80，则BIC等于( ) A80 B100 C120 D130 解析：A80， ABCACB100. IBC ABC， 1 2 ICB ACB， 1 2 IBCICB (ABCACB)50， 1 2 BIC18050130. 答案：D 5.如图，在O中，弦AB与CD相交于P点，B30，APD80， 则A(
19、) A40 B50 C70 D110 解析：易知AD， 又APDBD，B30，APD80， DAPDB803050. A50. 答案：B 6如图所示，PC切O于A，PO的延长线交O于B，BC切 O于B，若ACCP12，则POOB等于( ) A21 B11 C12 D14 解析：连接OA，则OAPC， PAOPBC， ，即 ， PO PC OA BC PO OA PC BC 又OAOB，ACCP12，15 设ACx，则CP2x， CAxBC， 2，POOB21. PO OA 2x x 答案：A 7在等腰ABC中，ABAC，BAC120，BC6 cm，则其外接圆的直径为( ) A. cm B2 c
20、m 3 3 C4 cm D6 cm 3 3 解析：作BC边上的中线AD，则ADBC，延长AD交ABC外接圆于 E，连接CE. AEBC，AE平分BC， AE为ABC外接圆的直径， ACE90. 在RtACD中， CAD BAC60， 1 2 CD BC3 cm， 1 2 AC 2 (cm) CD sinCAD 3 3 2 3 在RtACE中，AE 4 (cm) AC cosCAD 2 3 1 2 3 即ABC外接圆的直径为4 cm. 3 答案：C 8.如图所示，在O中，弦AB与半径OC相交于点M，且 OMMC，AM1.5，BM4，则OC等于( ) A2 B 6 6 C2 D2 3 2 解析：延
21、长CO交O于D，则DM3CM，CMMDMAMB，所以 1.543CM 2 ，CM ，OC2 . 2 2 答案：D 9(天津高考)如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交16 圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出 下列四个结论： BD平分CBF； FB 2 FDFA； AECEBEDE； AFBDABBF. 则所有正确结论的序号是( ) A B C D 解析：因为BADFBD，DBCDAC， 又AE平分BAC，即BADDAC， 所以FBDDBC， 所以BD平分CBF，结论正确； 易证ABFBDF，所以 ， AB AF BD BF 所以ABBFA
22、FBD，结论正确； 由切割线定理，得BF 2 AFDF，结论正确；由相交弦定理，得AEDEBECE， 结论错误选D. 答案：D 10如图，在ABC中，C90，AC8 cm，AB10 cm，点P由C出发以每秒2 cm的速度沿线段CA向点A运动(不运动至A点)，O的圆心在BP上，且O分别与 AB、AC相切，当点P运动2 s时，O的半径是( ) A. cm B cm 12 7 12 5 C. cm D2 cm 5 3 解析：PC224 cm， P是AC的中点， BC6 cm，BP2 cm.连接OD， 1317 D为切点， ODAC，则ODBC， 即 . DP OD PC BC 4 6 2 3 设半径
23、OD3k，DP2k， OP k， 3k22k2 13 OB2 k. 13 13 AE、AD为O的切线， AEADAPPD42k， BE10(42k)62k. 在RtBOE中，OB 2 BE 2 OE 2 ， (2 k) 2 (62k) 2 (3k) 2 ， 13 13 解得k . 4 7 故半径OD3k . 12 7 答案：A 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分把答案填写在题中的横线上) 11.如图，在ABCD中，BC24，E、F为BD的三等分点，则 BM_，DN_. 解析： ， BM AD BE ED 1 2 BM BC12， ， 1 2 DN BM DF FB 1 2 DN
24、 BM6. 1 2 答案：12 6 12(湖南高考)如图，已知AB，BC是O的两条弦，AOBC，AB ，BC2 ，则 3 2 O的半径等于_18 解析：设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点，则 在直角三角形ABD中，AD 1，设圆的半径为r，延长 AB2BD2 AO交圆O于点E，由圆的相交弦定理可知BDCDADDE，即( ) 2 2r1，解得r . 2 3 2 答案： 3 2 13如图，O中的弦AB与直径CD相交于P，M为DC延长线上一点，MN为O的切 线，N为切点，若AP8，PB6，PD4，MC6，则MN的长为_ 解析：由相交弦定理得：CPPDAPPB，CP 12，又由切割线定理
25、得： APPB PD MN 2 MCMD622，所以，MN2 . 33 答案：2 33 14如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若 AB3AD，则 的值为_ CE EO 解析：连接AC，BC，则ACBC. AB3AD，AD AB，BD AB，OD AB. 1 3 2 3 1 6 又AB是圆O的直径，OC是圆O的半径， OC AB. 1 2 在ABC中，根据射影定理有： CD 2 ADBD AB 2 . 2 919 在OCD中，根据射影定理有：OD 2 OEOC， CD 2 CEOC，可得OE AB，CE AB， 8. 1 18 4 9 CE EO 答案：8 三
26、、解答题(本大题共4个小题，共50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 15(本小题满分12分)如图所示，已知边长为12的正三角形 ABC，DEBC，S BCD S BAC 49，求EC的长 解：如图，过D作DFBC， 过A作AGBC， S BCD BCDF， 1 2 S BAC BCAG. 1 2 因为S BCD S BAC 49， 所以DFAG49. 因为BDFBAG， 所以BDBADFAG49. 因为AB12，所以CEBD . 16 3 16(本小题满分12分)如图，AD是BAC的平分线，O过点A且与BC边相切于点 D，与AB，AC分别交于E，F，求证：EFBC. 证明：如
27、图，连接DF. 因为BC与圆相切， 所以CDFDAF. 因为EFD与EAD同为弧 A DE 所对的圆周角， 所以EFDEAD. 又因为AD是BAC的平分线， 故EADDAF.20 所以CDFEFD， 所以EFBC. 17(本小题满分12分)在ABC中，BC2A. 求证：AB 2 BC 2 ABBC. 证明：如图所示 延长BC到点D，使CDAB，连接AD. BACB，ABAC. 又ABCD，ACCD. D ACBBAC. 1 2 BB，ABCDBA. . AB BD BC AB AB 2 BCBDBC(BCCD) BC 2 BCCD BC 2 ABBC. 18(本小题满分14分)(辽宁高考)如图
28、，EP交圆于E，C两点， PD切圆于D，G为CE上一点且PGPD，连接DG并延长交圆于点A，作 弦AB垂直EP，垂足为F. (1)求证：AB为圆的直径； (2)若ACBD，求证：ABED. 证明：(1)因为PDPG，所以PDGPGD. 由于PD为切线，故PDADBA， 又由于PGDEGA，故DBAEGA， 所以DBABADEGABAD， 从而BDAPFA. 由于AFEP，所以PFA90，于是BDA90.故AB是直径 (2)连接BC，DC. 由于AB是直径，故BDAACB90. 在RtBDA与RtACB中，ABBA，ACBD， 从而RtBDARtACB， 于是DABCBA.21 又因为DCBDAB，所以DCBCBA，故DCAB. 由于ABEP，所以DCEP，DCE为直角 于是ED为直径由(1)得EDAB.
