1、第 1 页数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知 为虚数单位，复数 与 共轭 , 则 （ ）i 2,1zizzA B C D1 1202. 已知全集 ,集合 ,则下列结论正确的是（ ）UR22|,|log,MxNyxA BNUC DC3. 某学校为了更好的培养尖子生，使其全面发展，决定由 名教师对 个尖子生进行“包教”，要求每名35教师的“包教”学生不超过 人，则不同的“包教”方案有（ ）2A B C D 90601501204. 下列命题中的假命题为（ ）A设 为两个不
2、同平面，若直线 在平面 内，则“ ” 是“ ”的必要不充分条件;,llB设随机变量 服从正态分布 ,若 ,则 ;01NPp102PpC ;0,sin2xxD要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向左平移 个单位co23fsin23gx4长度.5. 九章算术之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，张丘建算经卷上第 题为：“今2有女善织，日益功疾（注：从第 天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织 尺布，现一月2 5（按天计）共织 尺布”，则从第 天起每天比前一天多织（ ）尺布. 30390A B C D1281516316296. 如图所示，运行该程序，当输入 分别为 时，最后输出的
3、的值是（ ）,ab2,m第 2 页A B C D2323327. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成 ,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上 ,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)其直观图如下左图 ,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线当其主视图和侧视图完全相同时 ,它的俯视图可能是（ ）A B C D8. 在区间 上随机地取一个数 ,则事件“ ”发生的概率为（ ）0,x1sin2xA B C D3423 139. 某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近 年的广告支出 与销售额 (单位：百万元)进行了5mt初步统
4、计，得到下列表格中的数据：（ ）t304p507m268经测算 ,年广告支出 与年销售额 满足线性回归方程 ,则 的值为t6.517.tmpA B C D4550 6010. 设 ,在约束条件 下，目标函数 的最大值小于 ,则 的取值范围为 （ ）1k1yxkzxky2kA B C D,22,1,33,11. 设点 分别是双曲线 的右顶点、右焦点 ,直线 交该双曲线的,0Fc210,xyab2axc一条渐近线于点 ,若 是等腰三角形 ,则此双曲线的离心率为（ ）PA第 3 页A B C D332212. 已知定义在 上的函数 为其导数 ,且 恒成立，则（ ）0,2,fxtanfxfxA B34
5、3ff264ffC D6ff 1sin1ff:第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知倾斜角为 的直线 与直线 垂直，若向量 满足l230xy,ab,则 ,abab14. 已知高与底面半径相等的圆锥的体积为 ,其侧面积与球 的表面积相等，则球 的体积为 83OO15. 已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为该抛物线的焦点，点 在抛物线上且满A214yxFP足 ,则 的最小值为 PFm16. 已知数列 的首项 前 和为 ,且 ,则 na12nnS12naSNnS三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过
6、程或演算步骤. ） 17. （本小题满分 12 分）已知在 中 ,角 、 、 的对边分别为 、 、 ,且ABCabc.2sin3cos0AB（1）求角 的大小;（2）若 的面积 ,求 的值.C53,21SasinBC18. （本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 中 , .ADFE2,ABEC（1）求证: 平面 ;ABDE（2）若 ,求直线 与平面 所成角 的正弦值 .4EK第 4 页19. （本小题满分12分）2016 年国家已全面放开“二胎”政策，但考虑到经济问题，很多家庭不打算生育二孩，为了解家庭收入与生育二孩的意愿是否有关，现随机抽查了某四线城市 个一孩家庭，它们中有50二孩计划的家
7、庭频数分布如下表:家庭月收入（单位：元） 千以下2千 千25千 千8千 万万 万12万以上调查的总人数5101055有二孩计划的家庭数129734（1）由以上统计数据完成如下 列联表，并判断是否有 的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有05关？说明你的理由收入不高于 千的家庭数8收入高于 千的家庭数8合计有二孩计划的家庭数无二孩计划的家庭数合计（2）若二孩的性别与一孩性别相反，则称该家庭为“好字”家庭，设每个有二孩计划的家庭为“好字”家庭的概率为 ,且每个家庭是否为“好字”家庭互不影响，设收入在 千 万的 个有二孩计划家庭12 813中“好字”家庭有 个，求 的分布列及数学期望x下面的临界值表供
8、参考：22nadbcKd第 5 页2PKk0.15.0.50.2.10.50.17263841637892820. （本小题满分 12 分）已知椭圆 的离心率 ,连接椭圆的四个顶点得到的20xyab2e菱形的面积为 .4（1）求椭圆的方程;（2）设直线 与椭圆相交于不同的两点 ，已知点 的坐标为 ,点 在线段 的垂直l ,AB0a0,QyAB平分线上，且 ,求 的值.4QAB:0y21. （本小题满分 12 分）已知函数 .2ln,11xf fx:（1）若函数 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围；x3,2mm（2）若对任意的 ,恒有 ,求实数 的取值范围.010xfa:a请考生在 22、2
9、3、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，已知： 是以 为直径的半圆 上一点， 于点 ，直线 与过 点的切线相交于CABOCHABACB点 为 中点，连接 交 于点 .,DFFE（1）求证： 是 的切线;:（2）若 的半径为 ,求 .,BE2C23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 为参数） ,以原点为极点， 轴正半轴为极轴xOyl132(xtyx建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 .C3sin（1）写出直线 的普通方程和圆 的直角坐标方程；l第 6 页（
10、2）在圆 上求一点 ,使它到直线 的距离最短 ,并求出点 的直角坐标.CDlD24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知 ,且 .,abcR1abc（1）求证: ;3（2）若 ,使得对一切实数 不等式 恒成立，求 的取值范围x,ac21mxabcm贵州省遵义市南白中学 2017 届高三第一次联考数学（理）试题参考答案一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1-5.BDACD 6-10.BBDDA 11-12.DC第 7 页二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13. 14. 15. 16.14832132nS三、解答题17.解：（1）由 ，得 ，即2sincos0ABC
11、2cos30A，2cos0解得 或 （舍去） ，因为 .cs2,3.sin397sinsini 142bcABCAbcaa18. 解：（1）在直三棱柱 中 , 平面 .又DFBCE,BCEABC,且222,AE平面 平面,.,CBA.D平面 .DBECBE（2）设 交 于点 ,由（1）知 , 两两垂直且长度都为 ,所以 是边长为AKBFN,ABFD2BDF的正三角形. 所以点 在平面 内的射影 为 的中心 , 连接 ,如图所示 , M,MNA则 为 与平面 所成的角 . 又MD第 8 页.222232663,FMAMF,2954, 4EBKBK,即 ,解得 ,在 中 ,ANAN532AN107
12、RtANM, 所以直线 与平面 所成角 的正弦值为 .237sin105MKBDF731519. 解：（1）依题意得 ,2,18,46abcd收入不高于 千的家庭数 收入高于 千的家庭数8合计有二孩计划的家庭数 1426无二孩计划的家庭数 1864合计 302050225016845.27.43K因此有 的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关.09（2）由题意知 , 的可能取值为 ,13,2XB:0,1233 213130,28PXPXC:.23,388PCPX的分布列为:X012P8381.32EX20. 解：（1）由 ,得 .再由 ,解得 ,由题意可知 ，32cea24c22abb124a
13、b即 ,解方程组， 得 ,所以椭圆的方程， .2abb124xy第 9 页（2）由（1）可知点， 的坐标是 ,设点 的坐标为 ,直线 的斜率为 .则直线 的方程为A20B1xylkl,于是 两点的坐标满足方程组 ,消去 并整理，得ykx,B24yk.由 ,得 .从而 .222(14)6140k216kx2184kx124ky.设线段 的中点为 ，则 的坐标为22 284ABk ABM以下分两种情况: 当 时 , 点 的坐标是 ,线段 的垂直平分线为22,14k020AB轴，于是 .由 ,得 .y00,2,QAyBy4QAB:0y当 时 ,线段 的垂直平分线方程为 .令 ,解得 ,由 ,0k22
14、18kkx0x02614ky0101010,2QAyBxyQABxy:2 422228165164441k kk 整理得 .故 .综上 , 或 .27k01414,75y02y02145y21. 解：（1）因为 ,2lnln, ,ln111xxff xx 且则 ,当 时 , , 此时 单调递减，若函数 在区间，2xx0 上单调递减，则 ,所以 ,所以 ,所以实数 的取13,2m 13,02m3012m14m值范围 .10,4（2）对任意的 ,恒有 ,即x120xfa:ln120,xa:因为 式可变为 , 设 .10,0()lnx2(1)lnaxh则要使对任意的 恒(),ln1xx成立 , 只需
15、 .max第 10 页,22(4)1xaxh设 .22,416t aa当 时 , , 此时 在 上单调递增，又01a00,txhx0,1符合条件.,hxh当 时, , 注意到 ,所以存在 ,使得 .于是对1,4tta01x0tx任意的 ,则 在 上单调递减，又 ,所以当 时,010xtxhx0,1h1, 不符合要求. 综合 可得 .h 22. 解：（1）证明: 连接 . 是直径, , 又 是 中点，OCAB9CBFBD，BCF又 ，从而 ，即：,O90FO是 的切线 .:（2）延长直线 交直线 于点 ,由 得: , 又CFABGCBEFCE,从而 是等腰三角形, .,EGFAG2BA由切割线定理得： .22416:在 中, 由勾股定理得： 由、得: .RtBF8C1FC23. 解：（1）消去参数 得,直线 的普通方程为 ,由 ,得tl30xy23sin,23sin从而有 .222xyxy（2）因为点 在圆 上，所以可设点 ,所以点 到直线 的距离为DCcos,3in02DDl,因为 ,所以当 时, .3cosin432in2d16min231d此时 ,所以点 的坐标为 .1,31,224. 解：（1） ,22 3abcbcabcabc
