1、第6讲 函数及其基本性质1.高中阶段研究的基本初等函数主要有一次函数（正比例函数）、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数以及三角函数共七类.各类函数的五大性质：定义域；值域（最值、极值、边界）；周期性；奇偶性（对称性）；单调性，是高考的重点与热点，是试卷命题的中心，也是体现考试说明中抽象概括能力、推理论证能力及运算求解能力的良好载体，试题多不会趋向简单.,2.备考过程中既要从宏观上掌握研究学习函数的一 般方法和规律，按照“定义定义域、值域图象性质”的思路程序研究每一类函数,又要从微观上理解和把握各类函数的不同性质、运算规律. 3.函数及其基本性质是函数内容的主体部分，是高考考查的重
2、点，其中定义域、单调性、奇偶性、周期性等几乎是每年必考，常常是将这些知识点与集合、不等式、方程、函数图象等知识交汇融合，以填空题的形式进行考查.对于函数定义域，还常常隐性地进行考查，因为研究函数的性质以及其他问题时，必须首先研究函数的定义域.函数的单调性、奇偶性、周期性经常融合为一体，在研究参数的范围问题、求值问题中进行考查.,4.以函数知识为依托，渗透基本数学思想方法.函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过 程，包括解决几何问题.纵观近几年江苏省高考试卷，从老版本教材到新课标教材，选择填空题，解答题均有涉及，以基本函数为背景的应用题和综合题是每一年高考“能力立意”的首选素材.备考过程中还
3、要仔细体会数形结合这一数学思想方法的应用.函数是考查数形结合思想的良好载体，除应熟悉常见函数图象外，还应加强函数与方程、图象与曲线的区别与统一性认识，加强对图象与图象变换的理解与应用.,5.新课标考试说明明确要求“注重数学的应用意识 和创新意识的考查”.“函数”一节为这一要求提供了良好的载体.函数知识与社会现实，经济建设，科技发展密切相关，以社会热点为背景，考查函数应用题，有利于培养学生应用数学的意识，有助于提高学生应用数学的能力和创新实践能力.纵观08、09年高考试卷中，山东、广东、江苏等新课标实施地区均在这方面有不同程度的体现.,【例1】（2008山东）已知f(3x)=4xlog23+23
4、3,则 f(2)+f(4)+f(8)+f(28)的值等于 .分析 首先由题设求出f(x）表达式，进而研究待 求和式的规律.解析 f(3x)=4xlog23+233=4log23x+233,f(x)=4log2x+233,f(2)+f(4)+f(28)=4(1+2+8)+2338=2 008.,2 008,探究拓展 当题设中，f(x)解析式未明确，而由条 件可求时，应首先依相关知识确定f(x)的解析式，这是各个加数的“通项公式”，而规律往往蕴含于其中，备考中要注意体会与掌握.变式训练1 已知函数f(x)0,对任意x,y有f(x+y)2f(x)f(y)和f(x+y)=f 2(x)+f 2(y),则
5、.解析 2 f(x)f(y)f(x+y)=f 2(x)+f 2(y)f(x)-f(y)20 f(x)=f(y) 要求的值为1 004.,1 004,【例2】若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、bR)是偶函数，且它的值域为（-，4，则该函数的解析式f（x）= .分析 f(x)定义域为R,又是偶函数,则f(-x)=f(x)，结合另一条件，可求出待定系数a、b.解析 f（-x）=f（x）且f（x）=bx2+（2a+ab）x+2a2，f(-x)=b(-x)2+(2a+ab)(-x)+2a2=bx2-（2a+ab）x+2a2，-（2a+ab）=2a+ab，即2a+ab=0，a=0或b=-2
6、.当a=0时，f(x)=bx2,f(x)值域为（-，4，,而y=bx2值域不可能为（-，4，a0.当b=-2时,f(x)=-2x2+2a2,值域为（-，2a2.2a2=4,a2=2.f(x)=-2x2+4.答案 探究拓展 本题实质以偶函数定义为条件构造了一个“恒成立问题”,即f(x)为偶函数f(x)=f(-x)恒成立,即xR,（2a+ab)x=0恒成立，这又迫使x的系数2a+ab为零，以满足x取值的“任意”性.类似问题还可用“单调性”、“奇函数”来构造.,xR,-2x2+4,变式训练2 （2008北京）已知函数+ax2+3bx+c (b0),且g(x)=f(x)-2是奇函数，求 a,c的值.解
7、 因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数,所以,对任意的xR,g(-x)=-g(x),即f(-x)-2=-f(x)+2.又f(x)=x3+ax2+3bx+c,所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2.解得a=0,c=2.,f(x)=x3,【例3】设函数f(x)在(-,+)上满足 f(2- f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间0，7上，只有f(1)=f(3)=0.（1）试判断函数y=f(x)的奇偶性；（2）试求方程f(x)=0在闭区间-2 010,2 010上的根的个数，并说明你的结论.分析 由条件可得f(x)是周期函数，依规律探寻-2 010，2 01
8、0上方程根的个数，注意考查清楚目标区间包含多少周期.解 （1）由f(2-x)=f(2+x),得f(-1)=f(5).而f(5)0f(1)f(-1),即f(x)不是偶函数.,x)=,又f(x)在0，7上只有f(1)=f(3)=0,f(0)0.从而知函数y=f(x)不是奇函数.故函数y=f(x）是非奇非偶函数.从而知函数y=f(x)的周期为T=10.又f（3）=f（1）=0，f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0.故f(x)在0，10和-10，0上均有2个根，从而可知函数y=f(x)在0，2 000上有400个根，,在2 000，2 010上有2个根，在-2 000，0上有400个根,
9、在-2 010，-2 000上有2个根，所以方程f(x)=0在-2 010，2 010上有804个根.探究拓展 本题考查抽象函数的奇偶性、周期性等函数性质，利用周期性求方程根的个数.对抽象函数问题的考查在近几年高考中有逐年增加的趋势.解题的关键是：合理赋值，化抽象为具体，由此探究函数的性质.,变式训练3 设f(x）定义如下面数表，xn满足x0=5,且对任意自然数n均有xn+1=f(xn)，则x2 010的值为 .解析 x0=5,x1=f(x0)=f(5)=2,x2=f(x1)=f(2)=1,x3=f(x2)=f(1)=4,x4=f(x3)=f(4)=5,x5=f(x4)=f(5)=2=x1,可
10、见数列xn周期为4，x2 010=x2=1.,1,【例4】定义在（0，+）上的函数f(x)，对于任意的m,n(0,+)，都有f(mn)=f(m)+f(n)成立，且当x1时，f(x)0.（1）求f(1)的值；（2）求证：f(x)在（0,+)上是减函数；（3）比较 的大小.分析 赋值法求出f(1）=0,单调性的证明紧扣条件,依靠定义完成.比较大小可根据单调性作出结论. （1）解 令m=n=1,则有f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0.,（2）证明 设x1x20,f(mn)=f(m)+f(n),f(x1)-f(x2)=f（x）在（0,+）上是减函数.（3）解,探究拓展 （1）抽象函数是近几年
11、来高考考查的一个重点，在近几年的高考试题中经常出现，因此也是一个热点.(2)抽象函数的背景函数常见形式如下：,f(x+y)=f(x)f(y)，其背景函数为f(x)=ax (a0,且a1);f(xy)=f(x)+f(y)，其背景函数为f(x)=logax(a0,且a1);f(x+y)=f(x)+f(y)，其背景函数为f(x)=kx;变式训练4 定义在R上的函数f(x)满足 =f(x)+f(y)+2xy (x,yR),f(1)=2,则f(-3)=.,f(x+y),解析 令x=n,y=1,则f(n+1)=f(n)+f(1)+2n f(n+1)-f(n)=2n+2f(n)=f(n)-f(n-1)+f(
12、n-1)-f(n-2)+f(n-2)-f(n-3)+f(2)-f(1)+f(1)=2(n-1)+2+2(n-2)+2+21+2+2=答案 6,【例5】已知a0且f(logax)=（1）求f(x)；（2）判断f(x)的奇偶性和单调性；（3）若函数f(x)定义在（-1，1）时，有f(1-m)+f(1-m2)0,求m的集合M.分析 (1)换元法求f(x).(2)依奇偶性和单调性的定义来解.(3)若将不等式具体化将是十分麻烦 的，紧扣性质解题，可使过程优化.,a1,解 （1）令t=logax,则x=at.代入f(logax)=可得 函数解析式为（2）对于任意实数x,f(x)为奇函数.,设x1,x2R,
13、且x11时，a2-10,f(x1)0且a1时，f(x)是增函数.（3）当x(-1,1)时，有,由f(1-m)+f(1-m2)0.解得m1或m-2.综上所述，可知1m ,所以集合M=m|1m .探究的展 (1)求函数解析式是一项基本功，多不会单独考察，而是融于大题之中，是处理后面各小题的基础，务必掌握好.,(2)单调性与奇偶性的证明与判断，要求理由充分详实，多依据定义.(3)抽象不等式处理，通常不要具体化，多依据单调性解决，但要注意限制在函数的定义域内.变式训练5 已知二次函数f(x)=ax2+bx (a,b为常数且a0)满足条件f(x-3)=f(5-x),且方程f(x)=x有等根.（1）求f(
14、x)的解析式；（2）是否存在实数m,n (mn)使f(x)的定义域和值域分别为m,n和3m,3n.如果存在，求出m,n的值；如果不存在，请说明理由.,解 （1）由f(x-3)=f(5-x)可知，函数f(x)的对称轴为直线x=1,又方程f(x)=x有等根.即ax2+(b-1)x=0.所以b-1=0,故b=1.代入可得所以,函数f(x)在m,n上单调递增.假设存在实数m,n （mn）使f(x)的定义域和值域分别为m,n和3m,3n，则有即m,n是方程f(x)=3x的两根.由f(x)=3x,得x1=-4,x2=0.所以m=-4,n=0.,规律方法总结 1.周期性（1）类比“三角函数图象与性质”得：若
15、y=f(x)图象有两条对称轴x=a,x=b (ab),则y=f(x)必是周期函数，且其周期为T=2|a-b|;若y=f(x)图象有两个对称中心A（a,0）,B(b,0) (ab)，则y=f(x)是周期函数，且其周期为T=2|a- b|;如果函数y=f（x)的图象有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b (ab)，则函数y=f(x)必是周期函数，且其周期为T=4|a-b|.,或者叙述为：如果函数y=f(x)满足f(T1+x)=f(T1-x)且=f(T2-x)(T1与T2是不相等的常数)，则y=f(x)是以2（T1-T2）为周期的周期函数.（本质上，f(x)关于 x=T1与x=T2对称，实为前
16、述结论.只是叙述角度 上此为代数方式，彼为几何法）.如果偶函数y=f(x)满足f(T+x)=f(T-x) (T0),则y=f(x)是以2T 为周期的周期函数.（你能指出与结论的联系吗？）如果奇函数y=f(x)满足f(T+x)=f(T-x) （T0），则y=f(x)是以4T为周期的周期函数.（你能指出该结论与前述之间的联系吗？）,f(T2+x),（2）函数周期的若干给出方式：函数f(x)满足-f(x)=f(a+x),则f(x)是周期为2a的周期函数；若 恒成立，则T=2a;若 恒成立，则T=2a.运用函数的周期性，是实现化归思想方法的重要 手段. 2.关于函数的对称性（1）函数图象自身的对称性（
17、自对称）函数y=f(x)满足f(T+x)=f(T-x) (T为常数）的 充要条件是y=f(x)的图象关于直线x=T对称.,函数y=f(x)满足f(x)=f(2T-x) (T为常数）的充要条件是y=f(x)的图象关于直线x=T对称.函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)的充要条件是y=f(x）的图象关于直线 对称.(2)两个函数的图象对称性（互对称）（利用解析几何中对称曲线的方程理解）曲线y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称.曲线y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称.曲线y=f(x)与y=f(2a-x)关于直线x=a对称.曲线f(x,y)=0关于直线y=b的对称曲线为f(x,2b
18、-y)=0.曲线f(x,y)=0关于直线,x+y+c=0的对称曲线为f(-y-c,-x-c)=0.曲线f(x,y)=0关于直线x-y+c=0的对称曲线为f(y-c,x+c)=0.曲线f(x,y)=0关于点P(a,b)的对称曲线为f(2a-x,2b-y )=0.特别地，f(x,y)=0关于点（0，0）的对称曲线为f(-x,-y)=0. 3.判断函数单调性的常用方法（1）定义法；（2）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数，一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；（3）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；（4）奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性,偶函数在对称的两个区间上具有相反
19、的单调性；(5)利用导数的理论去研究函数的单调性.,复合函数单调性的判断方法：如果y=f(u)和u=g(x)的单调性相同，那么y=fg(x)是增函数；如果y=f(u)和u=g(x）的单调性相反，那么y=fg(x)是减函数. 4.函数的奇偶性（1）对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x)，那么f(x）就叫做奇函数；如果对于函数定义域内任意一个x都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.偶函数性质：f(-x)=f(x)f(x)=f(|x|);奇函数f(x)若在x=0处有意义，则f(0)=0.(2)函数f（x）可以是奇函数也可以是偶函数，也可以既是奇函数又是偶
20、函数,也可以两者都不是.但是,必须注意的是，研究函数的奇偶性必须首先明确函数的定义域是否关于原点对称.（3）奇函数的图象是关于原点成中心对称的图 形；偶函数的图象是关于y轴成轴对称的图形.反之也成立.在定义域的公共部分内，两奇函数之积（商）为偶函数；两个偶函数之积（商）也是偶函数；一奇一偶函数之积（商）为奇函数（注：取商时应使分母不为0）.奇（偶）函数有关定义的等价形式：,(4)任意一个定义域关于原点对称的函数f(x)均可写成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)和的形式，且 5.函数图象的几种变换（1）平移变换函数y=f(x+a)（a0）的图象可以由函数y=f(x）的图象向左平移a个单位而得
21、到；函数y=f(x)+b (b0)的图象可以由函数y=f(x)的图象向上平移b个单位而得到.,（2）伸缩变换函数y=Af(x)（A0，且A1）的图象可由函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长（A1）或缩短（00,且 1)的图象可由函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短（ 1）或伸长（0 1）到原来的 倍，纵坐标不变而得到.,（3）对称变换函数y=-f(x)的图象可通过作函数y=f(x）的图象关于x轴对称的图形而得到； 函数y=f(-x)的图象可通过作函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图形而得到；函数y=-f(-x)的图象可通过作函数y=f(x)的图象关于原点对称的图形而得到；函数y=|f
22、(x)|的图象可通过作函数y=f(x)的图象，然后把其在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方，其余部分保持不变而得到.,一、填空题 1.若函数f(2x)的定义域是-1，1，则f(x-1）的定义域是 .解析 因x-1，1，则知f(x）定义域为故f(x-1)中,2.已知函数f(x)的定义域为R，值域为1，2，则函数f(x+2)的值域是 .解析 函数f(x)图象向左平移2个单位可得函数f(x+2)图象，可知图象只有左右平移则不会改变值域，故函数f(x+2)的值域仍是1，2. 本题解答时易由“y1，2”而得“f(x+2)3，4”的错误，主要是对定义域与值域的概念理解不清而造成的.,1，2,3.
23、设定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x+2)=13,若 f(1)=2,则f(99)= .解析 f(x)f(x+2)=13 以4为周期，25-1)=f(-1)=,f(99)=f(4,4.设函数 则f(10)的值为 .解析 学生在解题中不能挖掘出“x”与“ ”之间结 构关系而无法解决.,1,5.（2009江苏押题）二次函数f(x)满足f(3-x),又f(x)是0，3上的增函数,且f(0)，那么实数a的取值范围是 .解析 f(3+x)=f(3-x),y=f(x)关于x=3对称，又f（x）是0，3上的增函数.f（x）是3，6上的减函数，又f（a）f（0），0a6. 6.（2009徐州调研）设函数
24、y=f(x）的定义域为 R，则下列命题：,f(3+x)=,f(a),0a6,设y=f(x)是偶函数,则y=f(x+2)的图象关于y轴对 称；设y=f(x+2)是偶函数，则y=f(x)的图象关于直线 x=2对称；设f(x-2)=-f(2-x)，则y=f(x）的图象关于直线x=2对称；y=f(4-x)与y=f(x)的图象关于直线x=2对称.其中正确命题的序号是 .解析 因y=f(x)是偶函数可知其图象关于y轴对称，则y=f(x+2)图象关于直线x=-2对称；设f(x-2)=-f(2-x),则y=f(x)的图象关于点（2，0）对称.,二、解答题 7.设定义在-2，2上的偶函数在区间0，2上单调递减，
25、若f(1-m)f(m),求实数m的取值范围.解 f（x）是偶函数，f（x）=f（|x|）. 由f(1-m)f(m)，得f(|1-m|)f(|m|). (*)又-21-m2,-2m2,0|1-m|2,0|m|2,而y=f(x)在0，2上单调递减，由式*得|m|1-m|2.,8.设奇函数f(x)在-1，1上是增函数，且f(-1)=-1,若函数f(x)t2-2at+1对所有的x-1，1都成立，则当a-1，1时，求t的取值范围.解 奇函数f(x)在-1，1上是增函数，且f(-1)=-1,f（1）=1，函数f(x)t2-2at+1对所有的x-1，1都成立，t2-2at+11,又a-1，1，令g(a)=(
26、-2t)a+t2,t=0时，g(a)=0成立；t0时，g(1)0且g(-1)0,t-2或t2;由得t-2或t=0或t2.,9.已知y=f(x)是偶函数，当x0时， 且当x-3，-1时，nf(x)m恒成立，求m-n的最小值.解 由题意知，当x-3，-1时，nf(x)min,mf(x)max,所以(m-n)min=f(x)max-f(x)min.由f(x）是偶函数知当x-3，-1时，f(x)min=f(-2)=4,故(m-n)min=1.,10.（2009镇江调研）函数f(x)满足:定义域是(0,+);当x1时,f(x)2;对任意+),总有f(xy)=f(x)+f(y)-2.回答下面的问题：（1）求出f(1)的值；（2）写出一个满足上述条件的具体函数；（3）判断函数f(x)的单调性，并用单调性的定义证明你的结论.解 （1）令x=1，有f(1y)=f(1)+f(y)-2,所以f(1)=2.（2）f（x）=2+logax，0a1.,x,y(0,（3）f（x）在（0,+)上单调递减.证明如下：设x1,x2(0,+），且x1x2,所以f(x)在（0,+）上单调递减.,返回,
