1、2016 届黑龙江省大庆实验中学高三 12 月月考数学（文）试题及解析一、选择题1已知集合 A= 2|lg1,|30xyBy，则 AB（ ）A |3 B |x C |y D |【答案】D【解析】试题分析：本题综合解简单不等式，集合的交集运算，难度较小因为集合，|1Ax，所以 ，故选 D|3By|13ABx【考点】对数函数的定义域，解一元二次不等式，交集运算2复数 512iz（i 为虚数单位）的共轭复数 z等于（ ）A12i B1+2i C2i D2i【答案】D【解析】试题分析：本题考察复数的简单运算，难度较小又题设得 ，故2zi，故选 D2zi【考点】复数的四则运算，共轭复数3命题“ ”的否定
2、为（ ）020(,)xxA 2,B ()xxC 20,D ()xx【答案】C【解析】试题分析：本题考察命题的否定，难度较小原命题的否定为“， ”，故选 D0,x2x【考点】命题的否定4 “直线 与圆 相交”是“ ”的（ ）yb21y01bA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：本题以直线与圆的位置关系为载体考查充分必要条件，难度中试卷第 2 页，总 14 页等若直线 与圆yxb相交，则 ，所以“直线 与圆 相交”是“21x2yxb21y”的必要不0b充分条件，故选 B【考点】充分必要条件5等差数列 中， 1917350a 则 102a的值
3、是（ ）nA30 B32 C34 D25【答案】A【解析】试题分析：本题考查等差数列的性质，难度中等由条件知 ，所以930a102a= ，故选 A930【考点】等差数列性质【易错点晴】对于等差数列问题来讲，基本量思想的运用是通性通法，一般来说运算量较大，还需要整体思想来看待问题，这样运算会减少些如果能恰时运用等差数列的足标性质，能大大提高我们的解题速度和准确率，值得我们重视，犹如本题，只需秒杀6已知平面向量 满足 ，且 ，则向量 与 的夹角为（ ,ab()=3+2,1=abab）A B C D36【答案】C【解析】试题分析：本题考查向量的夹角的求法，难度较小由条件得 ，所1ab以 ，故 ，故选
4、 C1cos,2|ab2,3ab【考点】向量的夹角7若 4sin()icos()s5，且 为第二象限角，则ta4（ ）A、 B、 17 C、 7 D、 17【答案】B【解析】试题分析：本题运用三角变换公式进行求值，难度中等由条件得，又 为第二象限角，所以 ，所以 ，4cos53tan41tantan()47故选 B【考点】两角和的余弦公式，同角基本关系式，两角和的正切公式8函数 在点 处的切线斜率的最小值2()lnfxxb(0,)R,()bf是（ ）A B C D2231【答案】A【解析】试题分析：本题利用导数求曲线在某点处的切线斜率，综合运用基本不等式求最值，难度中等由条件得 ，所以切线斜率
5、2()fxb，当且仅当 时，等号成立故选 A2()2fbb【考点】求导运算，曲线在某点处的切线斜率，基本不等式9函数 的图象如图所示， 则 （ (x)sin()0,)2f BD）A8 B-8 C D2828【答案】C【解析】试题分析：本题以三角函数图象为背景，考查向量的数量积的计算，难度中等由图象可知，函数的周期 ，所以 由 得 所以T2123， ， ，所以 ， ，(,0)6A(,2)1B7(,2)D(,)4AB(,4)D，故选 C8【考点】函数 图象，向量的数量积(x)sin()fA10已知 分别为双曲线 的左、右焦点，P 为双曲线右支12,F)0,(12bayx上的任意一点，若 的最小值为
6、 8 ，则双曲线的离心率 的取值范围是（ ）21PeA B C D1,3,33,【答案】A【解析】试题分析：本题以双曲线为素材，综合考查双曲线的离心率和函数的最值，难度中等设 ，则 ， 又2|PFt1|2atca，当且仅当 时，等号成立所以 ，221|()48|at2t2ca所以 故选 A3e试卷第 4 页，总 14 页【考点】双曲线的离心率，函数的最值11如图，设 为 内的两点，且 ，,PQABC215APBC ，则 的面积与 的面积之比为（ ）A2314QA B C D15451413【答案】B【解析】试题分析：本题以面积之比为背景，考查平面向量的初等运算和平面向量的基本定理，难度较难连
7、，延长 交 于 ，设 ，QAEAB，21()5EPAABC，又 不共线，所以 又34Q,B45PQ故选 B45ABPSE【考点】平面向量的初等运算，平面向量的基本定理，等积法【思路点晴】本题从面积之比来设问，需要用等积法进行等价转换，注意到，这是本题的难点之一，这样把面积之比转化为线段之12PABPQQhSE比由于点 、 、 共线，从而考虑平面向量的基本定理的运用，便是水到渠成，自然而然12定义域为 R 的函数 满足 ，当 时，fx2ffx0,2，若 时， 恒成立，则实数21.5,0,xfx4,14tft 的取值范围是（ ）A 2,0,B 2,01,C D ,【答案】D【解析】试题分析：本题从
8、不等式恒成立为载体，考查分段函数的最值，类周期函数的最值，知识的综合运用要求比较高，难度较高若 时，4,2x恒成立，只需 又当 时， 的最142tfxmin1()42tfx012()fx小值为 又当 时， 的最小值为-1所以当 时，|.5|)x0,的最小值为-1又 ，所以当 时，()fxfxf4,2，又 ，所以当 时， 的最小1(2)(4)f042,x()fx值为 解不等式 ，得 或 故选 D412tt1t【考点】不等式恒成立，分段函数，解不等式【方法点晴】本题综合性较强如分段讨论求分段函数 的最值，把不等式恒成立()fx问题转化为函数 的最值问题，还有利用恒等式 ，把()fx 2f时函数 的
9、最小值转化为 时 的最小值，都需要扎实地基4,2x0,x()fx本功二、填空题13已知数列 满足条件 ，则 na111,nna0a【答案】 10【解析】试题分析：本题考查等差数列的定义，数列的指定项的值，难度简单有条件得 ，所以数列 是以 为首项，以 1 为公差的等差数列，所以1na1na1，所以 ，所以 n1010【考点】等差数列的定义，数列的通项14已知， ， ，且 与 垂直，则实数 的值为 2a3bba2【答案】 9【解析】试题分析：本题考查两个向量垂直，向量的数量积的计算，难度简单由得 由 得 ，所以 ba0(2)0ab20ab92试卷第 6 页，总 14 页【考点】向量垂直，向量的数
10、量积15已知 ，函数 在 上单调递增，则 的取值范围是 0()sin)4fx(,)2【答案】 1(,4【解析】试题分析：本题已知函数 的单调区间，求参数 的取值()sin()fxAx范围，难度中等由 ， 得 ，224kkZ32244kxk又函数 在 上单调递增，所以 ，即 ，注意到()fx,)324k124k，即 ，所以取 ，得 2T020k1【考点】函数 的图象与性质()sin()fxAx【方法点晴】已知函数 为单调递增函数，可得变量 的取值范围，i4fx其必包含区间 ，从而可得参数 的取值范围，本题还需挖掘参数 的隐含范围，(,)2即函数 在 上单调递增，可知 ，因此 ，综合题设所有条件，
11、)fxT02便可得到参数 的精确范围16定义区间 12,长度为 21()xx，已知函数2()(,0afxRa的定义域与值域都是 m,n，则区间 ,n取最大长度时 的值是 【答案】3【解析】试题分析：本题需分析发现函数 是单调递增函数，从而得()yfx，从而构造以 m，n 为根的一元二次方程，从而可求出两根之差的最大值，(),fmn难度较大因为函数 在区间 m,n上单调递增，所以 ， 是方程221()afxxmn的两个不同的实数根，即 所以()fx()10a，当且仅当 时，等号成立22)414233()anm3a【考点】函数的单调性，一元二次方程，一元二次函数的最值【方法点晴】本题先定义区间 1
12、2,x长度，难度不大本题对函数 适当变形()yfx为 ，从而一眼看穿函数 的单调性，从而得 ，221()afxx()yfx(),fmn从而构造以 ， 为根的一元二次方程，可求出两根之差关于 的解析式mn a，然后进行变形转化为关于 为未知数的一元二次函数，从22()4an 1而利用配方法可求得最大值，得出此时 的值a17在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 cosBCbac2（）求角 B 的大小；（）若 ，求ABC 的面积134，【答案】 （） ；（） 23【解析】试题分析：（）在解三角形的背景下，考查正弦定理，余弦定理，知值求值 （）综合余弦定理，求三角形的面积公式，需
13、要把 作为整体求之ac试题解析：（）由正弦定理 得aAbBCRsinisin2aRAbcR222sin， ，将上式代入已知 cososisBCaA得即 ， 即 0siicinB20incoi()BC A， ， sn()sss sincoB ， ，012B 为三角形的内角， 3（）由余弦定理 得 ，结合 ，可22cosba213ac4ac得 ，所以ABC 的面积 3ac0in4S【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式三、解答题18已知等差数列 的前 n 项和为 ，且 anS495,aS（1）求数列 的通项公式与 ；n（2）若 ，求数列 的前 n 项和1nbSb【答案】 （1） ， ；（2）
14、 na3n121()933nTn试卷第 8 页，总 14 页【解析】试题分析：（1）考查等差数列的通项和前 n 项和 （2）利用裂项相消法求特殊数列的前 n 项和，不过第（2）问的求和过程中，需要特别留意，在裂项相消过程中，该保留哪几项，否则要出差错试题解析：（1）依题意知 ，解得 ，954Sa56a公差 ， 5461da(1)2d ， 2()nn32nnS（2）由（1）知 ，设数列 的前 项和为 ，21()33nbnbnT则 2nT 1)45631( )32n(2nn193【考点】等差数列的通项，前 n 项和，用裂项相消法求特殊数列和19已知椭圆 ： 214xy（）求椭圆 的离心率；（）设直
15、线 与椭圆 交于不同两点 ，若点 满足 ，xm,AB0,1PAPB求实数 的值【答案】 （） ；（） 3253【解析】试题分析：（）已知椭圆方程求其离心率 （）由 知点 在线PAB段 的垂直平分线上，从而可得 的值Am试题解析：（） ， ，所以 故椭圆离心率为 2a1b3c32（）设 ，由 得 ，12,xyB2,40yx258410xm由 得 ，得 ，05,m128m12y故 的中点 A4,M因为 ，所以 ，得 满足条件PB154m53【考点】椭圆的离心率，直线与椭圆的位置关系20已知椭圆 C: 的离心率为 ，且过点（1， ）21,(0)xyab6363（1）求椭圆 C 的方程；（2）设与圆
16、相切的直线 交椭圆 C 与 A,B 两点，求 面积的最大23:4Oxyl OAB值，及取得最大值时直线 的方程l【答案】 （1） ；（2） ， 213xy31yx【解析】试题分析：（1）利用题设条件可列出关于 、 、 的方程组，从而可得 、abca、 的值（2）因为直线 与圆 相切，所以欲求 面积的最大值，只需求弦bclOAB长 的最大值，所以可求出弦长 关于斜率 的解析式，利用基本式可求得其最AAk大值试题解析：（1）由题意可得： 2136abc2223,1,13xaby（2）当 不存在时， ， k3,2xy4OABS当 存在时，设直线为 ，km12,xy2221,(3)6303xyxkm2
17、12126,3xk4()dr224222 461()109|13313669kmkkABk24396k当且仅当 即 时等号成立 21,3，2OABSr试卷第 10 页，总 14 页 面积的最大值为 ，此时直线方程 OAB3231yx【考点】求椭圆方程，直线与圆相切，弦长公式，基本不等式【方法点睛】 （1）对于直线的斜率，需要分类讨论斜率存在与不存在，这也是易忘易错之处 （2）注意到直线与圆相切，那么 的高就是圆的半径，所以欲求OAB面积的最大值，只需求弦长 AB 的最大值，也是本题的难点之一（3）关于OAB的化简，变形，进而结合基本不等式求解，是本题另一个2409316k难点21设函数 ()l
18、n()fx（）求函数 的单调区间；（）设 是否存在极值，若存在，请求出极值；若，)R()(F2af(Fx不存在，请说明理由；（）当 时，证明： 0x1)(fex【答案】 （） 的单调增区间为 ， 的单调减区间为 ；（）)(f ,)(xf )1,0(e当 时， 无极值；当 时， 有极大值 ，无极小0aFx0aFa2ln1值 （）证明详见解析【解析】试题分析：（）利用一阶导数的符号来求单调区间 （）对 进行分类讨论， 的极值 （）把证明不等式转化求函数的最小值大于 0)(x试题解析：（） )0(1ln)(xxf令 ，即 ，得 ，故 的增区间为 ；0)(xfle(f),1(e令 ，即 ，得 ，故 的减区间为 ；xx)x0 的单调增区间为 ， 的单调减区间为 )(xf ),1(e(f ),(e（） ，0lnF2xa )0(12)F xax
