1、2016 届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三 12 月月考数学试卷(理)考试时间：120 分钟 满分：150 分第卷（选择题 共 60 分）一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合 A ，B ，则 A B（ ）230x2ln(1)xyA B C D (2,1)(,)(1,)(,)2,2.已知数列 满足 ， ，则数列 的前 6项和为（ na112(,)nanNna）A63 B127 C D637643.若 ， 是第三象限的角，则 ( )4cos5sin(A B. C D. 21072104.已知 是两个不同的平
2、面， 是两条不同的直线，则下列命题不正确的是（ ） ,mnA若 ， ，则 B若 ， ， 则m/nmAC若 ， ，则 D若 ， ，则/n/5.已知正项数列 中， ， ， ，则na12a221()nna6a等于（ ）A B4 C8 D 1626.已知两定点 ， ，点 P在椭圆 上，且满足(0,)(,)216xy2，则 为（ ）|PBAA12 B.12 C一 9 D97.一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积 是（ ） 侧侧侧2 1113A 2 B C. D. 32632328.点 F为椭圆 的一个焦点，若椭圆上存在点 使 为正三角21(0)xyabAOF形，那么椭圆的离心
3、率为（ ）A B C D2312319.已知抛物线 的焦点 F到双曲线 C： 渐近线的距离为28yx2(0,)yxab，点 是抛物线 上的一动点，P 到双曲线 C 的上焦点 的距离与到45P2 1(,)Fc直线 的距离之和的最小值为 3，则该双曲线的方程为（ ）xA B C D213y214xy21yx23yx10.已知 是 内的一点，且 若 和M,0,ABAC ,MBCA的面积分别为 ，则 的最小值是（ ）A20 B18 1,2xy4C16 D9 11.已知圆 ： ，平面区域 ： .若圆心 ，且1)()(22byax 037yxC圆 与 轴相切，则 的最大值为（ ）A. B. C2 4937
4、C. D.29512.已知函数 ，设方程 的四个实根从小63),6(0lg)xfxf ()2()xfbR到大依次为 ，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的个数为（ 1234,）（1） 或 ；（2） 且 ；120x34061x120x3461x（3） 或 ； （4） 且 .94595A3 B2 C1 D0第卷（非选择题 共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分.第 13题第 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22题第 24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分）13.在边长为 1的正三角形 ABC中，设 ，则 _2,3BCDAED
5、BA14.若等比数列 的各项均为正数，且 ，则na 510912ae_1220lnl15.利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥 ,其中底面四边形 是边长PABCABC为 的正方形， ，且 平面 ,则球体毛坯体积的最小值应为 1PAD16.若存在实常数 和 ，使得函数 和 对其公共定义域上的任意实数 都满足：kb()FxGx和 恒成立，则称此直线 为 和 的“隔()Fx()Gxykxb()FG离直线” ，已知函数 ， ， ，有下列命2()fR1(0)gx2lnhex题： 在 内单调递增；()()Fxfgx31,02 和 之间存在“隔离直线” ，且 的最小值为 4；f b 和 之间存在“隔离直线”
6、 ，且 的取值范围是 (,0；()xgk 和 之间存在唯一的“隔离直线” .fh2yex其中真命题的个数为 （请填所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共 6小题，共 70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题 12分）在锐角 中, 分别为角 所对的边，且 .ABC,abc,ABC32sinacA（）确定角 的大小；（）若 ，且 的面积为 ，求 的值7c32b18.（本小题 12分）已知数列 的前 项和为 ,若 ( ),且 .nanS14na*N1a（）求证：数列 为等差数列；（）设 ,数列 的前 项和为 ,证明: ( ).1nnbaSnbnT32n*N19.（本小题
7、12分）如图, 已知四边形 和 均为直角梯形， ，ABCDEGADBC ，且 ，平面 平面 ,CEBG2BCEG2D（）证明： 平面 ；A/BE（）求平面 和平面 所成锐二面角的余弦值.G20(本小题 12分)已知椭圆 ： 的一个焦点为 ，左右顶点分别为 ， . M21(0)3xya(1,0)FAB经过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点.FlCD（）求椭圆方程；（）当直线 的倾斜角为 时，求线段 的长；l45（）记 与 的面积分别为 和 ，求 的最大值.ABD1S212|S21（本小题 12分）设函数 axxfln)(（）若函数 在 上为减函数，求实数 的最小值；2， a（）若存在 ，使 成立
8、，求实数 的取值范围1,xexff)()(21 a请考生在第 22，23，24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22.（本小题 10分）选修 4-1：几何证明选讲如图所示， 为 的直径， 为 的中点， 为 的中点ACODABCEB（）求证： ； /DEB（）求证： 223 （本小题 10分）选修 44：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线 的参数方程是 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，l3xty轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为x C22cosin2sin30（）求直线 的极坐标方程；l（）若直线
9、与曲线 相交于 、 两点，求 CAB|A24(本小题 10分)选修 45：不等式选讲设函数 (21fxx=+-（）解不等式 ；0)（）若 对一切实数 均成立，求实数 的取值范围(34fmmA B CDEOACCDB DDDCB BA ； 50； ； 3217.（本小题 10 分）在锐角ABC 中,a,b,c 分别为角 A，B ，C，所对的边，且 32sinacA(1)确定角 C 的大小；（2）若 ，且ABC 的面积为 ，求 十 b 的值7c32a17.（本题 10 分） 解（1）由 32sinacA及正弦定理得， sini3AcCsin0,iACQB是锐角三角形， 35 分（2 ）解法 1：
10、7,.c由面积公式得3sin,62abab即 由余弦定理得 2 2cos7,73ab即 由变形得 52（ a+b)故解法 2：前同解法 1，联立、得 2766abab 消去 b 并整理得 42130解得 2249a或所以 2或 故 5ab10 分18.已知数列 的前 项和为 ,若 ( ),且 .nanS142na*N1a(1) 求证：数列 为等差数列；（2) 设 ,数列 的前 项和为 ,证明: ( ).1nnbaSnbnT32n*18.解() 由题设 ,则 ， .142a214S3415,aS3a当 时， ,213nn两式相减得 , 12分方法一：由 ，得 ，且 .121nna12nna213
11、a则数列 是常数列，即 ，也即 nn6分所以数列 是首项为 ,公差为 的等差数列 na127分方法二：由 ，得 ，12nna123nnaa两式相减得 ,且 1n 326分所以数列 等差数列. na7分() 由()得 , , , 12na21nnS1nb9分当 时, 成立；10 分1n32T当 时, 1112nbnn12分所以 111223nTn 11322n综上所述,命题得证. （理）19.如图, 已知四边形 和 均为直角梯形， ， ，ABCDEGADBCEG且 ，2BCDE平面 平面 ,ABCDEG22BGADCEB（）证明： AG 平面 BDE;/（）求平面 和平面 所成锐二面角的余弦值.
12、A19.如图, 已知四边形 和 均为直角梯形， ， ，且BCEABCEG，平面 平面 ,2BCDEDG22DBC（）证明： AG 平面 BDE;/（）求平面 和平面 所成锐二面角的余弦值.A【解析】由平面 ，平面 ,ABCDEG平 面 BCDEGBC平平面 BCEG, .2分 ,E平根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，可得.3分(0,2(0,(2(,10)(,2)BDEAG平（）设平面 BDE的法向量为 ，则,mxyz0,)(2,0)EBD即 ， ，00Em0xyz平面 BDE的一个法向量为 .5(1,)平分， ，(2,1)AG210AGmAGm， AG平面 BDE. .7分BDE平（）设平
13、面 的法向量为 ，平面 和平面 所成锐二面角为zyxn,BDEAG.8分因为 , ,由 得 ，.10012BA1G0,nA02zyx分 平面 的一个法向量为 ， .0,2n513cosm故平面 和平面 所成锐二面角的余弦值为 .12分BDEAG5120 (本小题满分 12 分)已知椭圆 ： 的一个焦点为 ，左右顶点分别为 ， . M21(0)3xya(1,0)FAB经过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点.FlCD（）求椭圆方程；（）当直线 的倾斜角为 时，求线段 的长；l45（）记 与 的面积分别为 和 ，求 的最大值.ABD1S212|S20 (本小题满分 12 分)解：（I）因为 为椭圆的
14、焦点,所以 又(10F,c23,b所以 所以椭圆方程为 3 分24,a214xy（）因为直线的倾斜角为 ,所以直线的斜率为 1,5所以直线方程为 ,和椭圆方程联立得到1yx,消掉 ,得到 5 分2431xy2780x所以 2128,x所以 6 分4|7CDk（）当直线 无斜率时, 直线方程为 ,l此时 , 面积相等， 7 分3(1,)()2,ABDC12|0S当直线 斜率存在（显然 ）时, 设直线方程为 ,l0k()ykx设 12(,)(,)CxyD和椭圆方程联立得到 ,消掉 得2143()xyky22(34)8410kxk显然 ，方程有根，且 8 分0221218,3434xxkk此时 12
15、2121|Syy21()()|10 分|()|34kkx因为 ,上式 ， （ 时等号成立） 0k12123334|4|kkA2k所以 的最大值为 12 分12|S另解：（）设直线 的方程为： ，则l1myxR由 得， 1342yxm09642设 ， ，1,C2,D则 ， 8 分4362my 043921my所以， ， ，21ABS 1ABS10 分211221 yy 43当 时， 0m21S4322mR由 ，得 432当 时，03021S从而，当 时， 取得最大值 12 分m21321（本小题满分 12 分）设函数 axxfln)(（1）若函数 在 上为减函数，求实数 的最小值；)(xf2，（2）若存在 ，使 成立，求实数 的取值范围1,exff)()(21 a21.解：（1）由已知得 x0，x1
